מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

[עריכה] אלגברה תיכונית

ספר זה טרם הושלם, ונמצא עדיין בכתיבה.

ייתכן שחסרים בו פרקים, או אף נושאים שלמים. לפיכך, כרגע לא ניתן ללמוד ממנו על כל הנושא בצורה מקיפה.

כמו בכל אחד מהספרים, מהדפים ומהנושאים בוויקיספר, גם כאן אתם מוזמנים להוסיף את הפרקים שלדעתכם חסרים. כל פעולה שעשויה לעזור תתקבל בברכה, כולל הערות ובקשות בדף השיחה של הספר.

עדכון מצב הספר

[עריכה] הקדמה

מטרת ספר זה היא להוות עזר לימוד ללומדי האלגברה בתיכון וחטיבת הביניים. הספר מניח ידע בסיסי בחשבון שכולל את כל פעולות הכפל והחיבור על המספרים השלמים (גם שליליים) והשברים. כמו-כן, בשלב זה כותבי הספר מניחים שהקורא כבר בקיא ומתורגל בנושא ההצבה של מספרים בביטויים אלגבריים. ספר זה נועד להיות עשיר בתרגילים (אולי קצת יותר מדי) אשר נועדו לשפר את היכולת הטכנית בנושאי הלימוד, יכולת זו היא לרוב קריטית, שכן מרבית הנושאים באלגברה אינם קשים להבנה אלא לביצוע, קושי אשר נפתר לרוב לאחר תרגול. מומלץ בזאת לקוראים לנצל את תרגילי החזרה בספר. על מנת להפיק את מירב התועלת מן התרגילים מומלץ לתרגל באופן רצוף ולאורך זמן.

[עריכה] איזה ידע קודם נדרש?

פעולות החשבון

תוכן עניינים

טכניקות בסיסיות

אלגברה אלמנטרית

ביבליוגרפיה
להדפסת כל הספר (דורש הרבה זיכרון!) (עריכה)

גרסא בפורמט PDF (קישור חיצוני)

[עריכה] קישורים חיצוניים

ערך בוויקיפדיה: אלגברה

[עריכה] חוקי החשבון

חוקי החשבון הינם החוקים הבסיסיים של האלגברה. חוקים אלו מבוססים על מספר עקרונות פשוטים, אך יש צורך לתרגל אותם כדי לשלוט בהם בצורה מלאה. אלו חוקים אשר בלעדיהם קשה ביותר ואף בלתי אפשרי להמשיך את לימודי המתמטיקה, שכן משתמשים בהם ברוב ענפיה. למרות שכך הדבר, רבים התלמידים אשר מזלזלים בחשיבות חוקים אלו ולא מתרגלים אותם, דבר אשר מקשה עליהם בהמשך לימודיהם. לכל התלמידים הקוראים ספר זה מומלץ בזאת לתרגל את החומר ככל הניתן, למרות שבדרך כלל התרגול מסוג זה עלול להיראות בנאלי.
זכרו: בלימוד מתמטיקה, כמו בבניית בניין, צריך יסודות מוצקים. לכן גם אם נדמה לכם שאתם יודעים "בערך" את החומר, יש לפתור את התרגילים שניתנים לכם כדי לשפר את היכולת שלכם. מי מכם שלומד נגינה או משחק משחקי ספורט ודאי יודע שככל שמשחקים יותר או ככל שמנגנים יותר, כך נעשים טובים יותר בזה. כך גם אלגברה ומתמטיקה. תרגול רב יהפוך את החומר לטבע שני.
בסוף כל פרק תמצאו את התרגילים אשר יעזרו לכם להבין ולהשתפר ביכולתיכם האלגבריות הבסיסיות.

רשימת הפרקים

[עריכה] המספרים הנייטרליים 0 ו-1

0 הוא מושג מתמטי אשר מסמל את ה"אין". מספר עדויות ארכיאולוגיות קיימות שמעידות שהשימושים הראשונים של המושג 0 היו כבר במאה ה-5 לפני הספירה בתרבויות העתיקות של אמריקה. ב"עולם הישן" המושג הוכנס לשימוש לכל המאוחר במאה התשיעית, אם כי ישנן עדויות שהוא הוכנס לשימוש עוד מוקדם יותר.
המספר מייצג את מושג ה-אין. זהו מספר אשר חיבור של כל מספר איתו תמיד ייתן את אותו המספר. כלומר, לכל מספר $\ a$ תמיד מתקבל $\ a+0=a$ ועל כן תפקידו כמספר נייטרלי לחיבור. המספר 1 גם הוא מהווה מספר נייטרלי, הפעם ביחס לפעולת הכפל: לכל מספר $\ a$ נקבל תמיד $\ a\cdot 1=a$ .

[עריכה] המספר ההופכי והמספר הנגדי

המספר הנגדי למספר $\ a$ הינו מספר שחיבור שלו עם $\ a$ נותן 0. מספר זה הוא יחיד. כלומר, קיים רק מספר אחד שהוא נגדי למספר מסויים. מספר כזה מסומן בסימן - (מינוס). בשפה מתמטית נגיד: לכל מספר $\ a$ קיים מספר נגדי שמסומן ב

$\ \left(-a\right)$

כך שמתקיים

$\ a+\left(-a\right)=\left( -a \right)+a =0$

מהגדרה זו נובע שהנגדי של הנגדי למספר כלשהו זה המספר עצמו, באופן הבא:
מהגדרת הנגדי מתקיים:

$\ \left(-a\right)+\left[-\left(-a\right)\right]=0$

כלומר נקבל:

$\ \left( -a \right) + \left[ - \left( -a \right) \right] = \left( -a \right) +a$

משיוויון זה, וכן בהסתמך על העובדה שהנגדי הוא יחיד (לפי הגדרה), נקבל שמתקיים:

$\ \left[-\left(-a\right)\right]=a$ .

גם בפעולת הכפל קיים מספר דומה. במקרה של הכפל, מכפלה במספר זה (הקרוי הופכי) מביאה לקבלת המספר 1. לכל המספרים קיים מספר הופכי, פרט למספר 0 שלו אין הופכי. למספר ההופכי יש קשר ישיר לפעולת החילוק, כמו שלמספר הנגדי ישנו קשר ישיר לפעולת החיסור. את המספר ההופכי אנו נסמן בעזרת קו שבר באופן הבא: יהא $\ a$ מספר השונה מ-0. אזי, ההופכי שלו מסומן באופן הבא:

$\ \frac{1}{a}$

כך שמתקיים:

$\ \frac{1}{a} \cdot{a}=a\cdot\frac{1}{a} =1$

כאשר מחלקים מספר כלשהו במספר אחר, הפעולה שאנו מבצעים הלכה למעשה הינה כפל במספר ההופכי. אם כן, את פעולת החילוק נגדיר ככפל בהופכי. כך גם נגדיר את פעולת החיסור כחיבור עם הנגדי. את החיסור של שני מספרים

$\ a,b$ נסמן באופן הבא:

$\ a-b$

כאשר למעשה הפעולה האמיתית שאנו מבצעים הינה

$\ a+\left(-b\right)$

באותו אופן מוגדר גם החילוק, כך שלמעשה מקבלים:

$\ \frac{a}{b}=\frac{1}{b}a$

הסיבה שבגללה אין הופכי לאפס היא שניתן להוכיח כי $\ a\cdot 0=0$ לכל מספר $\ a$ (לצורך כך יש להכיר את חוק הפילוג שטרם למדנו). בשל כך, לא ייתכן שיהיה קיים מספר $\ a$ כך ש- $\ a\cdot 0=1$ .

מכיוון שלאפס אין הופכי, לא ניתן להגדיר חילוק באפס באותה צורה בה הוגדר החילוק עבור שאר המספרים, ולכן לרוב משאירים את תוצאת החילוק באפס בלתי מוגדרת.

חלוקה באפס עלולה לגרום לטעויות: למשל, נביט במשוואה $\ 0\cdot 1=0\cdot 2$ . ברור כי היא נכונה שכן שני אגפיה שווים לאפס. אם נחלק את שני אגפי המשוואה באפס נקבל $\ 1=2$ וזה בבירור לא נכון.

[עריכה] חוקי החילוף של החיבור והכפל

בחיבור ניתן להחליף את מיקום האיברים בחיבור מבלי לשנות את התוצאה. לדוגמא $\ 5+2=2+5$ ולכן לכל $\ a,b$ מספרים מתקיים ש: $\ a+b=b+a$ . חוק זה תקף גם לגבי כפל, אך אינו תקף לגבי חיסור או חילוק.

הסיבה שהחוק אינו תקף עבור חיסור היא שבפעולת החיסור אנחנו מחברים את אחד המספרים עם הנגדי של השני, והשאלה לאיזה משני המספרים ניקח את הנגדי תלויה במיקום שלו: בחיסור אנחנו תמיד לוקחים את הנגדי של האיבר שמימין לסימן החיסור. מסיבה דומה החוק אינו תקף עבור חילוק.

הערה: ניתן להחליף את מיקום האיברים בחיסור מבלי לשנות את התוצאה אם נרחיב את פעולת החיסור לחיבור בהופכי לדוגמא במקום לרשום $\ 5-2$ נרשום $\ 5+(-2)$ ואז הסדר לא משנה כי בעצם לכל $\ a,b$ מספרים מתקיים ש: $\ a-b=a+(-b)=(-b)+a$ בדיוק כמו בחיבור רגיל.

[עריכה] חוק הקיבוץ

חוק זה קובע שאין חשיבות למיקום הסוגריים כאשר אנו מבצעים פעולות חיבור בלבד או פעולות כפל בלבד. כלומר: לכל $\ a,b,c$ מספרים כלשהם, מתקיים:

$\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)$

ובאותה צורה מתקיים:

$\left(ab\right)c=a\left(bc\right)$

בזכות קיומו של חוק זה ניתן לכתוב פשוט $\ a+b+c$ או $\ abc$ ללא סוגריים, וזאת למרות שפעולות החיבור והכפל הוגדרו עבור זוג של מספרים ולא עבור שלשות.

נשים לב שהחוק עוסק בסדר חישוב פעולת הסוגריים רק עבור פעולות זהות, ועבור פעולות שונות החוק אינו נכון. למשל:

$\ 9=(1+2)\cdot 3\ne 1+(2\cdot 3)=7$ .

[עריכה] חוק הפילוג

חוק זה קובע קשר בין פעולות הכפל והחיבור. בעזרת חוק זה ניתן לפתוח סוגריים ולהוציא מספר מסוגריים, פעולות שנדון בהן בהמשך.

$a\left(b+c\right)=ab+ac$

[עריכה] הסכם סדר הפעולות

במתמטיקה קיים הסכם שקובע את סדר הפעולות שעושים כאשר מחשבים את הערך של שרשרת פעולות כלשהי. ההסכם קובע שכפל וחילוק קודמים לחיבור וחיסור. הסכם זה נקבע כך בשל הקיום של חוק הפילוג. למרות הסכם זה ולפי חוק הפילוג, כאשר מחשבים את ערכה של תבנית כלשהי יש לחשב קודם את הערך שבסוגריים, כאשר יש להתחיל בסוגריים הפנימיים ביותר ולעלות בהיררכיה בהדרגה. במילים אחרות, בבואינו לחשב ערך של ביטוי מתמטי מסויים, עלינו לפעול בסדר הבא:

איתור הסוגריים וחישוב תוכנם, באופן הבא:
1. חישוב כל פעולות החזקה (פעולה שטרם למדנו).
2. חישוב כל פעולות הכפל והחילוק.
3. חישוב כל פעולות החיבור והחיסור.
לאחר שחישבנו את ערכו של כל אחד מהביטויים הרשומים בסוגריים, עלינו לבצע את הפעולות לפי הסדר הנ"ל בין המספרים שהתקבלו כתוצאה מהחישוב.

דוגמה: חשבו את ערך הביטוי הבא:

$\ \left( 1+\left( 3-2\right) \cdot 4-3\right) \cdot\left( 4+1\cdot 2\right) +\left( 0+2-1\right)=?$

פתרון:

נפתח בחישוב הסוגריים הראשונים, כלומר השמאליים ביותר: $\ \left( 1+\left( 3-2\right) \cdot 4-3\right)$ . מאחר וסוגריים אלה מכילים בתוכם זוג נוסף של סוגריים, נטפל קודם כל בו. נחשב את הסוגריים הפנימיים: $\ 3-2=1$ . נכניס את תוצאת החישוב לתוך הסוגריים הגדולים יותר, ונקבל: $\ \left( 1+1\cdot 4-3 \right)$ .
נזכור, שפעולת הכפל קודמת לפעולת החיבור. לכן, נחשב כעת את המכפלה שבתוך הסוגריים: $\ 1\cdot 4 =4$ . כלומר, עכשיו כתוב לנו בתוך הסוגריים: $\ \left( 1+4-3\right)$ .

כעת, משנותרנו רק עם פעולות חיבור וחיסור, נחשב אותן לפי הסדר: $\ 1+4-3 =5-3=2$ . לכן, תוצאת הסוגריים השמאליים היא 2.

נחשב כעת את הסוגריים האמצעיים: $\ \left( 4+1\cdot 2\right)$ . סוגריים אלה אינם מכילים בתוכם סוגריים נוספים, אבל מכילים פעולות מסוגים שונים: גם כפל וגם חיבור. נזכור, שכפל קודם לחיבור, ונחשב קודם אותו, לפי הגדרת המספר הנייטרלי לכפל שראינו למעלה: $\ 1\cdot 2=2$ . כלומר, נותרנו עם: $\ \left( 4+2\right)$ .

ונעבור לחישוב הסופי עבור סוגריים אלה: $\ 4+2=6$ .

נעבור כעת לסוגריים האחרונים, כלומר הימניים ביותר: $\ \left( 0+2-1 \right)$ . בתוך סוגריים אלה יש פעולות מהסוגים חיבור וחיסור, לכן נבצע אותן לפי הסדר בו הן מופיעות, תוך שאנו זוכרים את האיבר הנייטרלי לחיבור המופיע למעלה: $\ 0+2-1=2-1=1$ .

כעת, משפתחנו את כל הסוגריים, נעבור לשלב הבא: במקום כל סוגריים נכתוב את תוצאת הביטוי הרשום בתוכם. נקבל: $\ 2\cdot 6 + 1$ . בביטוי החדש שהתקבל יש לנו פעולת כפל ופעולת חיבור. נפתח, כזכור, בפעולת הכפל: $\ 2\cdot 6=12$ . ונותר לחשב את: $\ 12+1=13$ .

כלומר, תוך שמירה על סדר הפעולות מצאנו שסכום הביטוי הנ"ל הוא 13.

נקודה למחשבה: מה היה קורה אם לא היינו שומרים על סדר הפעולות? מה היינו מקבלים אז?

[עריכה] חיבור וחיסור של שברים

חיבור וחיסור של שברים אינם חוקים בפני עצמם, כלומר הם נובעים ישירות מהחוקים שכבר היכרנו. החוקים החשובים ביותר הם כפל ב-1, והוצאת גורם משותף מהסוגריים. פעולות אשר נדון בהן בהמשך כאשר נדון בטכניקות אלגבריות פשוטות. ראשית, הבא נתבונן בדוגמא:

$\frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

אנו יכולים לחסר בקלות שני שברים אלו מכיוון שיש להם מכנה משותף. הסיבה לכך שמכנה משותף מאפשר זאת נעוצה בשתי עובדות:

$\frac{3}{2} = 3\cdot\frac{1}{2}$

ובעובדה ש-

$\frac{1}{2} = 1\cdot\frac{1}{2}$

כלומר, אם נכתוב את בעיית החיסור לדוגמא באופן מעט שונה:

$\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 3\cdot\frac{1}{2} - 1\cdot\frac{1}{2}$

וכעת ניתן להוציא גורם משותף ( $\frac{1}{2}$ ) מחוץ לסוגריים, ולקבל:

$3\cdot\frac{1}{2} - 1\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\left(3-1\right)$

ומכיוון שידוע לנו ש- $\;3-1 = 2$ הרי שנקבל בקלות ש-

$3\cdot\frac{1}{2} - 1\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\left(3-1\right) = \frac{1}{2}\cdot 2 = 1$

בבואנו לפתור בעיות שבהן אין לשני שברים מכנה משותף, עלינו לשנות את הדרך שבה מוצגים שני השברים להצגה שבה כל המכנים יהיו שווים. פעולה זו נקראת מציאת מכנה משותף, ולמען פשטות החישוב, מומלץ גם שמכנה משותף זה יהיה הקטן ביותר (אם כי לא חובה). את פעולה זו אנו ודדאי כבר מכירים מלימודינו הקודמים, אך אנו נחזור על ההגיון מאחורי גישה זו. הרעיון מתבסס על כך שכל מספר ניתן לכפול ב-1 ולא לשנות את ערכו, אבל את-1 ניתן להציג בדרכים שונות, למשל: $\frac{2}{2}$ . עובדה זו, מאפשרת לנו "לצמצם ולהרחיב" שברים. פעולות אלו מאפשרות לשנות את המכנה של שבר מבלי לשנות את ערכו. למשל:

$\frac{3}{4} + \frac{1}{6}$

לשברים אלו אין מכנה משותף ועלינו לשנות מצב זה. על מנת לעשות זאת, נכפול את השבר הראשון (שלושת-רבעי) ב- $\frac{3}{3}$ כלומר ב-1 (זה לא משנה את ערכו של השבר), ואת השבר השני נכפול ב- $\frac{2}{2}$ כלומר ב-1 גם כן. הסיבה לבחירת מספרים אלו היא העובדה שהכופל המשותף הקטן ביותר בין 4 ל-6 הוא 12, ולכן יש לכפול את 6 ב-2 ואת 4 ב-3. התוצאה המתקבלת היא:

$\frac{3}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{2} = \frac{3\cdot 3}{4\cdot 3} + \frac{1\cdot 2}{6\cdot 2} = \frac{9}{12} + \frac{2}{12}$

ומכאן ההמשך קל וברור שכן ישנו מכנה משותף. שימו לב שבכל אחת מפעולות הכפל ב-1 שעשינו, ערך השבר לא השתנה. פעולות אלו נקראות הרחבה, ואילו פעולות דומות, בהן מחלקים את השבר ב-1 באופן דומה, ניקראות צמצום.

באותו האופן, פעולות צמצום והרחבה ניתן לבצע בפרמטרים. גם כאן, יש לוודא שאיננו מחלקים ב-0, אבל לרוב בעיה זו לא תופיע. במקרה של פרמטרים במכנה, לא ניתן (לרוב) למצוא מכנה משותף קונקרטי (מספרי) ועלינו להסתפק במכנה משותף פרמטרי. למשל:

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$

הפרמטרים $\;b$ ו $\;d$ אינם 0. במקרה זה, עלינו להרחיב את השבר הראשון ב- $\;d$ ואילו את השבר השני ב- $\;b$ ובכך נקבל מכנה משותף שערכו יהיה $\;b\cdot d$ . נקבל:

$\frac{ad}{bd} + \frac{cb}{db} = \frac{ad+cb}{bd}$

כמובן, אם הינו מציבים במקום הפרמטרים הנתונים את המספרים מהדוגמא הקודמת, היינו מקבלים תוצאה סופית זהה, אך המספרים היו גדולים יותר במהלך החישוב: נציב $\; a=3, b=4, c=1, d=6$ . נקבל:

$\frac{ad+cb}{bd} = \frac{3 \cdot 6+1\cdot 4}{4\cdot 6} = \frac{22}{24}$

לאחר צמצום השבר ב-2 (כלומר חילוק השבר כולו ב- $\frac{2}{2}$ ), נקבל בדיוק את אותה התוצאה שקיבלנו קודם.

הפרק הקודם:
חוקי החשבון

חוקי פעולות החשבון
תרגילים

הפרק הבא:
חוקי חשבון חזקות

[עריכה] תרגילי חזרה על חוקי פעולות החשבון הבסיסיות

[עריכה] שברים

הבא לצורה הפשוטה ביותר. אין להשתמש במחשבון לחישוב פעולת החילוק חיבור או חיסור. מכיוון שיתכן כי תגיעו למספרים גדולים מותר להשתמש במחשבון לחישוב מכפלות מספרים גדולים.

[עריכה] תרגילים

$\left( {2} \right) +\left( {\frac{4}{3}} \right)$
$\left( \left({-1}\right) - {3} \right)$
$\left( {2} \right) \cdot{ \left( {-4} \right) }$
$\left( \left({-2}\right) - {\frac{4}{3}} \right)$
$\left( \left({-\frac{1}{3}}\right) \right) +\left( {\frac{3}{4}} \right)$
$\left( {\frac{3}{2}} \right) \cdot{ \left( \left({-\frac{5}{2}}\right) \right) }+\left( {3} \right)$
$\left( \left({-\frac{2}{3}}\right) + \left({-1}\right) \right) -\left( \left({-\frac{9}{5}}\right) \right)$
$\left( \left({-1}\right) - {\frac{1}{3}} \right) \cdot{ \left( \left({-\frac{7}{3}}\right) \right) }$
$\left( \left({-1}\right) + {\frac{5}{6}} \right) +\left( {7} \right)$
$\left( {\frac{4}{3}} + \left({-\frac{1}{5}}\right) \right) +\left( {\frac{5}{6}} \right)$
$\left( \left({-\frac{15}{2}}\right) - \left({-3}\right) - {\frac{8}{3}} \right) \cdot{ \left( \left({-2}\right) \right) }+\left( \left({-15}\right) \right)$
$\left( {\frac{10}{7}} \left({-\frac{14}{5}}\right) \left({-1}\right) \right) -\left( \left({-\frac{13}{2}}\right) \right) +\left( \left({-\frac{15}{4}}\right) \right)$
$\left( {\frac{11}{2}} \left({-\frac{2}{9}}\right) \left({-7}\right) {\frac{5}{4}} \right) +\left( \left({-\frac{3}{5}}\right) \right)$
$\left( \left({-3}\right) \left({-\frac{8}{3}}\right) \left({-\frac{5}{4}}\right) \left({-\frac{13}{9}}\right) \right) +\left( {\frac{2}{7}} \right)$
$\left( {\frac{2}{5}} \left({-\frac{9}{10}}\right) \left({-\frac{6}{7}}\right) {\frac{7}{4}} \right) \cdot{ \left( \left({-4}\right) \right) }$
$\left( \left({-10}\right) \left({-\frac{8}{5}}\right) \left({-\frac{3}{8}}\right) \right) \cdot{ \left( {\frac{11}{9}} {\frac{14}{3}} \right) }$
$\left( \left({-\frac{8}{7}}\right) - {\frac{5}{6}} - \left({-5}\right) \right) \cdot{ \left( \left({-\frac{5}{4}}\right) - {3} \right) }$
$\left( \left({-2}\right) - \left({-\frac{7}{5}}\right) - {\frac{7}{4}} \right) +\left( \left({-\frac{3}{2}}\right) + {\frac{2}{7}} \right)$
$\left( \left({-\frac{5}{6}}\right) + {\frac{9}{8}} + {\frac{1}{3}} \right) +\left( \left({-2}\right) \right) \cdot{ \left( {\frac{1}{7}} \right) }$
$\left( {3} \left({-1}\right) \right) \cdot{ \left( \left({-\frac{3}{7}}\right) \left({-15}\right) \right) }+\left( {1} \right)$
$\left( \left({-\frac{6}{7}}\right) {\frac{11}{3}} {21} {\frac{19}{2}} \right) \cdot{ \left( {1} {\frac{3}{7}} \right) }+\left( {\frac{5}{13}} \right)$
$\left( \left({-15}\right) {\frac{11}{10}} \left({-\frac{20}{3}}\right) \right) +\left( \left({-\frac{7}{3}}\right) \left({-\frac{13}{11}}\right) {\frac{12}{13}} \right) \cdot{ \left( \left({-\frac{5}{3}}\right) \right) }$
$\left( \left({-\frac{10}{13}}\right) - \left({-\frac{14}{5}}\right) - \left({-\frac{15}{11}}\right) - \left({-\frac{4}{13}}\right) - {\frac{13}{5}} \right) \cdot{ \left( \left({-\frac{7}{6}}\right) - \left({-2}\right) \right) }$
$\left( {21} \left({-1}\right) \right) +\left( {\frac{4}{3}} {\frac{17}{5}} \left({-\frac{4}{3}}\right) \right) -\left( {\frac{7}{8}} - {2} \right)$
$\left( \left({-\frac{17}{5}}\right) \left({-\frac{15}{13}}\right) {\frac{16}{9}} \left({-18}\right) \left({-\frac{19}{5}}\right) {\frac{19}{12}} {\frac{17}{2}} \right)$
$\left( \left({-\frac{3}{2}}\right) {\frac{8}{9}} \left({-\frac{19}{5}}\right) {\frac{3}{7}} {\frac{3}{7}} \right) \cdot{ \left( \left({-\frac{5}{3}}\right) - {\frac{3}{4}} \right) }$
$\left( {\frac{2}{5}} - \left({-20}\right) - \left({-3}\right) - \left({-\frac{21}{13}}\right) \right) \cdot{ \left( {\frac{3}{5}} + \left({-\frac{13}{5}}\right) + {\frac{13}{7}} \right) }$
$\left( {\frac{7}{4}} + \left({-\frac{7}{4}}\right) + \left({-\frac{3}{7}}\right) + {\frac{2}{3}} + {21} \right) +\left( {\frac{11}{8}} {\frac{4}{7}} \right)$
$\left( {\frac{10}{7}} + \left({-2}\right) + \left({-2}\right) \right) +\left( {\frac{12}{11}} + \left({-\frac{4}{3}}\right) + {\frac{6}{13}} \right) +\left( \left({-2}\right) \right)$
$\left( {\frac{12}{5}} {\frac{11}{14}} \right) +\left( {\frac{9}{7}} \left({-\frac{17}{4}}\right) \left({-\frac{16}{11}}\right) \right) +\left( \left({-17}\right) \right) +\left( \left({-\frac{17}{11}}\right) \right)$
$\left( {\frac{1}{3}} \left({-\frac{7}{4}}\right) \right) +\left( {\frac{1}{3}} \right) +\left( \left({-\frac{11}{14}}\right) \left({-\frac{5}{2}}\right) \right) +\left( {\frac{19}{8}} \right) -\left( {\frac{17}{5}} \right)$
$\left( \left({-\frac{7}{11}}\right) \left({-\frac{1}{3}}\right) {\frac{1}{7}} {4} \right) \cdot{ \left( {\frac{21}{13}} \right) }+\left( \left({-\frac{1}{13}}\right) - \left({-2}\right) \right)$
$\left( {\frac{15}{7}} \left({-\frac{20}{3}}\right) \left({-\frac{17}{8}}\right) \left({-3}\right) \right) +\left( \left({-\frac{3}{10}}\right) - {21} \right) -\left( \left({-\frac{19}{8}}\right) \right)$
$\left( \left({-12}\right) \left({-\frac{9}{2}}\right) {\frac{9}{7}} {\frac{17}{11}} \left({-6}\right) \right) -\left( {\frac{12}{5}} \right) \cdot{ \left( \left({-\frac{20}{9}}\right) \right) }$
$\left( \left({-\frac{5}{7}}\right) \left({-1}\right) {\frac{19}{5}} \right) +\left( \left({-3}\right) {\frac{9}{5}} \left({-\frac{8}{11}}\right) \right) +\left( \left({-\frac{2}{9}}\right) \right)$
$\left( \left({-1}\right) \left({-\frac{20}{13}}\right) {\frac{6}{5}} \left({-\frac{1}{2}}\right) \right) -\left( \left({-\frac{17}{11}}\right) \right) +\left( {\frac{11}{14}} \right) -\left( {\frac{8}{3}} \right)$
$\left( {5} - {\frac{2}{5}} - {\frac{4}{11}} - \left({-\frac{11}{2}}\right) \right) +\left( \left({-\frac{11}{14}}\right) - {\frac{17}{5}} - {\frac{7}{9}} \right)$
$\left( {2} {\frac{3}{7}} {\frac{8}{9}} {\frac{17}{11}} {13} \right) +\left( {1} \left({-\frac{3}{13}}\right) \right)$
$\left( {\frac{5}{3}} + \left({-\frac{5}{3}}\right) + \left({-1}\right) + \left({-\frac{13}{5}}\right) + {\frac{19}{12}} \right) -\left( {\frac{14}{13}} \right) -\left( \left({-\frac{10}{11}}\right) \right)$
$\left( \left({-\frac{5}{6}}\right) \left({-\frac{6}{7}}\right) \left({-\frac{7}{10}}\right) {4} {\frac{5}{6}} {\frac{9}{11}} \right) +\left( \left({-\frac{3}{4}}\right) \right)$

[עריכה] פתרונות

${\frac{10}{3}}$
$\ {-4}$
$\ {-8}$
${-\frac{10}{3}}$
${\frac{5}{12}}$
${\frac{3}{4}}$
${\frac{2}{15}}$
${-\frac{28}{9}}$
${\frac{41}{6}}$
${-\frac{59}{30}}$
${-\frac{2}{3}}$
${-\frac{5}{4}}$
${-\frac{2033}{180}}$
${\frac{928}{63}}$
${-\frac{54}{25}}$
${-\frac{308}{9}}$
${-\frac{2159}{168}}$
${-\frac{499}{140}}$
${-\frac{11}{56}}$
${-\frac{128}{7}}$
${-\frac{24418}{91}}$
${\frac{1970}{11}}$
${\frac{394}{429}}$
${\frac{5789}{360}}$
${\frac{417316}{65}}$
${-\frac{551}{245}}$
${\frac{1626}{455}}$
${\frac{925}{42}}$
${-\frac{13070}{3003}}$
${-\frac{4806}{385}}$
${\frac{1559}{840}}$
${\frac{303}{143}}$
${-\frac{30799}{280}}$
${\frac{331712}{231}}$
${\frac{22243}{3465}}$
${-\frac{7559}{6006}}$
${\frac{16538}{3465}}$
${\frac{45275}{3003}}$
${-\frac{18743}{8580}}$
${-\frac{93}{44}}$

דף זה מועמד לאיחוד
ערך זה דן בנושא של הדף [[: מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/שאלון ה/אלגברה/חוקי חזקות]] וככל הנראה מוסיף עליו מידע. על כן יש לאחד את שני הדפים. (דיון)

חזקות הן מעין הכללה של פעולת הכפל, ומאפשרות לכתוב ביטויים מסובכים בצורה פשוטה.

[עריכה] סימון חזקות

את החזקה מסמנים כמעין אינדקס עליון למספר (או משתנה). לדוגמא, אם נרצה לכתוב 3 בחזקת 5 יש לכתוב זאת כך:

$\ 3^{5}$

במקרה זה נקרא את זה כ-3 בחזקת 5. ה-5 יקרא מעריך החזקה, ואילו ה-3 יקרא הבסיס שלה. אם המעריך הוא 2 אז אומרים בריבוע ואם הוא 3 או 4 אז אומרים בשלישית או ברביעית וכו'.

[עריכה] משמעות החזקה

[עריכה] חזקה עם מעריך טבעי

אם המעריך של חזקה הוא מספר טבעי (דוגמת 1,2,3... וכו') אז נגדיר את החזקה להיות הבסיס כפול עצמו כמספר הפעמים שכתוב במעריך. לדוגמא, אם כתוב $\ 3^{4}$ אז למעשה עלינו לכפול את 3 בעצמו 4 פעמים על מנת לקבל את הערך של החזקה. כלומר:

$\ 3^{4}=3 \times 3 \times 3 \times 3$

על כן, כאשר מדובר בחזקה עם מעריך טבעי $\ n$ ובסיס $\ a$ נקבל

$\ a^{n}= \underbrace{ a\times{a}\times{a}\cdots\times{a} }_{n\;\;times}$

כדוגמא נחשב כמה חזקות

$\ 5^{3}=5\times{5}\times{5}=125$
$2^{8}=2\times{2}\times\cdots\times{2}=256$
$(-1)^{3}=(-1)\times{(-1)}\times{(-1)}=(-1)$

וכן הלאה.

[עריכה] פעולות על חזקות

[עריכה] חיבור וחיסור מעריכים בחזקות

כאשר החזקות הן בעלות אותו הבסיס, כפל של שתי חזקות מביא לחיבור/חיסור המעריכים כלומר

$a^{2}\cdot{a}^{4}=a^{2+4}=a^{6}$

או באופן כללי

${a}^{b}\cdot{a}^{c}=a^{b+c}$

באופן דומה, חילוק שתי חזקות יביא לחיסור המעריכים.

$\frac{{a}^{b}}{{a}^{c}}={a}^{b-c}$

נשים לב שחיסור חזקות יוכל להביא לכך שהמעריך יהיה אפס או מספר שלילי. לכן נראה בהמשך כיצד ניתן להגדיר חזקות עם מעריך שאינו מספר חיובי בצורה שתהיה אחידה עם החוק שהצגנו כאן.

[עריכה] חזקה של חזקה

נבדוק מה קורה במקרה של חזקה של חזקה. למשל במקרה של

${\left(a^{b}\right)}^{c}$

על מנת לפתור את השאלה, נשתמש בחוקי חזקות

שכבר למדנו, לכפל של שתי חזקות עם אותו בסיס

.

${\left(a^{b}\right)}^{c}= \underbrace{ {\left(a^{b}\right)} \times{\left(a^{b}\right)}\cdots{\left(a^{b}\right)} }_{c\;\;times} = a^{\overbrace{b+b+b \cdots b}^{c\;\;times}} = a^{b\cdot c} = {\left(a^{c}\right)}^{b}$

[עריכה] חזקות שאינן חיוביות

[עריכה] חזקות של המעריך 0

חזקות אלו לפי ההגדרה תמיד שוות 1 לבסיס שונה מ-0. כלומר, לכל $\ a\ne 0$ מתקיים $\ a^0=1$ .

כדי להבין את המניע להגדרה הזו ניזכר בחוק החיסור של המעריכים. לכל $\ a\ne 0$ ועבור $\ n>0$ כלשהו מתקיים $\ \frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^{0}$ והרי $\ \frac{a^n}{a^n}=1$ כי המונה והמכנה שווים.

בהצדקה הזו לא ניתן להשתמש כאשר הבסיס הוא 0, ואכן לרוב הביטוי $\ 0^0$ נותר בלתי מוגדר. עם זאת נוח במקרים מסויימים להגדיר אותו בתור 1 גם כן. לא נציג כאן מקרים אלו.

[עריכה] חזקות עם מעריך שלילי

חזקות בעלות מעריך שלילי מוגדרות להיות ההופכי של חזקה דומה עם מעריך חיובי. כלומר

$a^{-b}=\frac{1}{a^{b}}$

למעשה, ההגדרה נכונה לכל מעריך שהוא נגדי למעריך אחר. כלומר, עבור כל מעריך $\ b$ מתקיים הכלל

$a^{-b}=\frac{1}{a^{b}}$

ההצדקה להגדרה זו נובעת גם היא מחוקי החיסור של חזקות. הרי אם $\ a\ne 0$ אז $\ a^{-b}=a^{0-b}=\frac{1}{a^b}$ על פי הכללים שכבר למדנו.

מכיוון שלא ניתן לחלק באפס, הביטוי $\ 0^{-b}$ עבור $\ b>0$ איננו מוגדר.

[עריכה] סיכום

כאמור עבור $\;a^b$ הבסיס הוא $\;a$ ואילו המעריך הוא $\;b$ . יש לבטא $\;a$ בחזקת $\;b$ .

$a^{b+c} = a^b \cdot a^c\,$
$a^{b-c} = \frac{a^b}{a^c}\,$
$(a^b)^c = a^{b\cdot c}\,$
$a^{-b} = \frac{1}{a^b}\,$
$a^1 = a\,$
$\;1^a=1$

ולכל $\;a\neq 0$

$a^0 = 1\,$
$a^{-1} = \frac{1}{a}\,$

הפרק הקודם:
חוקי פעולות החשבון

חוקי חשבון חזקות
תרגילים

הפרק הבא:
חזקות ושורשים

[עריכה] תרגילים

חשבו ללא שימוש במחשבון:

$25$

$42$
${3}^{\left(-2\right)}$
${5}^{\left(-3\right)}$
$5\cdot{2}^3$
$\left(5\cdot{2}\right)^3$
${\left(\frac{2}{3}\right)}^{(-2)}$
$\frac{-1}{2^3}$
$\left({\left(\frac{3}{2}\right)}^{2}\right)^{3}$
$\left({\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}\right)^{-1}$
${3}^3\cdot{9}^{\left(-1\right)}$

4^6

[עריכה] תשובות סופיות

32
16
$\frac{1}{9}$
$\frac{1}{125}$
40
1000
$\frac{9}{4}$
$\left(-\frac{1}{8}\right)$
$\frac{729}{64}$
$\frac{1}{9}$
3

[עריכה] שורשים פשוטים

[עריכה] שורש ריבועי

לפעולת השורש קרבה גדולה לפעולת החזקה. למעשה קיימות שתי פעולות אשר ניתן לומר עליהן שהן פעולות ההפוכות לחזקה. פעולה אחת היא פעולת הלוגריתם, אשר לא נדון בה כעת, והשניה היא הפעולה ההפוכה להעלאת בסיס בחזקה עם מעריך מסויים. זוהי פעולת השורש. השורש הנפוץ והשימושי ביותר הינו כמובן השורש הריבועי. שורש זה הוא הפעולה ההפוכה להעלאה בריבוע (חזקת 2). אילו העלינו מספר כלשהו, למשל 3 בריבוע, הפעולה שהיתה מחזירה את התוצאה חזרה ל-3 הינה פעולת השורש הריבועי. את פעולת השורש הריבועי של $a$ מסמנים כך

$\sqrt{a}$

על מנת לנסות להמחיש את הפעולה לאשורה, ניקח למשל את המספר 25. ננסה למצוא שורש למספר זה. מכיוון שאנו כבר יודעים מראש ש-25 הוא מכפלה של 5 בעצמו, או במילים אחרות 5 בריבוע, הרי ששורש שלו הוא 5. כלומר

$\sqrt{25}=5$

זאת מכיוון ש

${(\sqrt{25})}^2={5}^{2}=25$

[עריכה] שורש מסדר $n$

השורש הריבועי הוא רק מקרה פרטי של שורשים. ניתן להעלות מספר בחזקת כל מספר טבעי. לכן, לכל מספר טבעי גם קיים שורש מהסדר שלו. לשורש זה קוראים שורש n-י. כלומר, לו הייתי מחפש שורש למספר שהועלה בשלישית הייתי מחפש שורש שלישי. שורש זה מסומן כך

$\sqrt[n]{a}$

כלומר פעולת השורש מסדר n צריכה לקיים

${(\sqrt[n]{a})}^{n}={a}^{1}=a$

אנו כבר יכולים לנחש שאילו היינו רוצים לייצג את פעולת שורש כפעולה של חזקה (כשם שהחילוק היא למעשה פעולה של הכפל כלומר כפל בהופכי) היינו רוצים למצוא חזקה נכונה שתתאים לחוקי החזקות הקודמים שמצאנו ועדיין תקיים את כל התכונות של השורש. למזלנו, חזקה כזו כבר נמצאה, ולכן השורש כחזקה מוגדר באופן הבא

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$

לדוגמא, שורש ריבועי ניתן גם לסמן כך

$\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$

לדוגמא, בעזרת חוקי החזקה ניתן לחשב את השורש של 256 כך

$\sqrt{256}=256^{\frac{1}{2}}={(2^{8})}^{\frac{1}{2}}={2^{8\cdot{\frac{1}{2}}}}=2^4=16$

הערה: נשים לב, שבמקרה שמדובר בשורש מסדר זוגי, קיימים שני מספרים אשר יכולים להתאים כתשובה לשאלה "איזה מספר בריבוע נותן את המספר שבשורש". אחד חיובי והשני שלילי. במובן של "מי באמת השורש" שתי התשובות נכונות. מכיוון שבמתמטיקה מעוניינים לחקור יותר לעומק את התכונות של השורשים הללו, כאשר מדובר בשורשים של מספרים ממשיים, אנו מקבלים את התשובה החיובית בלבד. זוהי הגדרה. אין להבין מכך שהשורש השלילי איננו שורש מחד, אך אין להציגו בחישוב שורשים מאידך. לסיכום, התוצאה של פעולת השורש מסדר זוגי, היא תמיד חיובית (במספרים הממשיים).

[עריכה] חזקות של מספרים רציונליים

כזכור, מספרים רציונליים הינם מספרים אשר ניתן להציגם כמנה של מספרים שלמים (יתכן שליליים). קבוצה זו של מספרים מסומנת במתמטיקה באות המיוחדת $\mathbb Q$ . למשל חצי או שליש או שני שליש הינם כולם מספרים רציונליים. כעת התקרבנו צעד נוסף לקראת הגדרת החזקה לכל מעריך. למעשה בעזרת הגדרת השורש כחזקה עם מעריך מסויים הגדרנו (בעזרתם של חוקי החזקה הנותרים) גם את החזקה לכל מעריך רציונלי. בזאת ניתן להווכח אם נתבונן במספר רציונלי כלשהו, למשל $r$ . את המספר הזה ניתן להציג כיחס של שני מספרים שלמים, אחד במונה והשני במכנה. נסמנם ב- $n$ וב $m$ בהתאמה. לכן ניתן לכתוב את המספר שלנו כך

$r=\frac{n}{m}$

ומהסימונים שלנו ניתן גם לקבל ש

$a^{r}=a^{\frac{n}{m}}$

מכאן לפי חוקי החזקות לעיל ניתן גם להסיק את השוויון הבא.

$a^r=a^{\frac{n}{m}}=a^{\frac{1}{m}\cdot{n}}={(a^{\frac{1}{m}})}^n={(\sqrt[m]{a})}^n$

כאשר ידוע ש a הוא מספר חיובי אז גם מתקיים

${\left(\sqrt[m]{a}\right)}^n=\sqrt[m]{a^n}$

אנו ממליצים למשתמש בספר זה להתבונן היטב ולוודא שהוא אכן מבין את כל אחד מהמעברים.

[עריכה] שורשים של מספרים שליליים ומעריכים אי-רציונליים

שורשים של מספרים שליליים מוגבלים לשורשים מסדר אי-זוגי, למשל 3,5 וכו'. זאת מכיוון שלא קיים מספר ממשי אשר כאשר מעלים אותו בריבוע מביא לתוצאה שלילית. מסיבה זו, גם חזקות של מעריכים לא שלמים מוגבלות באותו אופן. ההגדרה המדוייקת של חזקה של מספר אי-רציונלי אינה חלק מהחומר אשר אנו מקווים לכסות בספר זה. נדגיש כאן, עם זאת, שהעלאת מספר בחזקה אי רציונלית מוגדרת רק עבור בסיס אי שלילי.

הפרק הקודם:
חוקי חשבון חזקות

חזקות ושורשים
תרגילים

הפרק הבא:
סוף הכרך

[עריכה] תרגילים

חשבו ללא עזרת מחשבון:

$\sqrt{25}$
$\sqrt{256}$
$\sqrt[3]{8}$
$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}}$
$\sqrt[6]{2}\cdot\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{7}{\sqrt{2}}}$
$\frac{\left(8\cdot{a}^{12}\right)^{\frac{1}{6}}}{2^{\frac{1}{2}}}$

[עריכה] תשובות

5
16
2
$\frac{1}{3}$
2
$a 2$

[עריכה] טכניקות אלגבריות פשוטות

פרק זה הינו פרק המשך לחוקי החשבון ומתבסס על ידיעת הטכניקות מהפרק הקודם על בוריין. הפרק עוסק בטכניקות בסיסיות ופשוטות של האלגברה, אשר בעזרתן מקילים במידה ניקרת את הקושי בפתרון בעיות אלגבריות מסובכות. כמו בפרק הקודם, אנו מדגישים כי למרות שהעקרונות שיובאו בפרק זה הינם קלים להבנה, אין די בכך. יש צורך בתרגול רב על מנת לשלוט בטכניקות אלו. גם תלמידים מוכשרים, טוב יעשו לו יתרגלו נושא זה לרוב.

רשימת הפרקים

דף זה מועמד לאיחוד
ערך זה דן בנושא של הדף [[:נוסחאות הכפל המקוצר, הוצאת גורם משותף]] וככל הנראה מוסיף עליו מידע. על כן יש לאחד את שני הדפים. (דיון)

[עריכה] טכניקות של פישוט

ישנו במתמטיקה מושג מעט לא מתמטי שנקרא פישוט או הבאה לצורה הפשוטה ביותר. זהו תהליך שבו מפעילים פעולות חשבון מותרות על תבנית מתמטית כלשהי ומביאים אותה לצורה "פשוטה יותר". איזוהי הצורה הפשוטה יותר, זוהי שאלה שהיא יותר שאלה אנושית מאשר שאלה מתמטית מכיוון שאולי צורה אחת פשוטה יותר מצורה שניה לפלוני ולאלמוני היא למעשה מסובכת מצורה אחרת. למרות זאת, ישנה הסכמה שישנן צורות מסויימות שהן פשוטות יותר מצורות אחרות. למשל, את המספר 1 ניתן להציג בדרכים רבות מאוד. למשל, ברור שניתן להציג את המספר בצורה של $\frac{a}{a}$ .בתנאי שa שונה מאפס ומאינסוף. וגם בצורה זו (מתחום הטריגונומטריה) $sin 2 x + cos 2 x$ . יסכימו הקוראים, כי הצורה הפשוטה יותר היא, כמובן, 1. ישנן דוגמאות נוספות רבות אך צורה זו היא לרוב קלה יותר לקריאה.
מעבר לסיבות של קריאה, עדיף בד"כ להגיע לתוצאות מפושטות שכן אלו בד"כ ימנעו טעויות בחישוב ויקלו עליו מכיוון שלרוב בעזרת פישוט יהיה צורך בפחות פעולות חשבון בסך הכל.
אנו נעבור כעת על מספר צורות אשר מקובלות כצורות הפשוטות יותר (אם כי יצויין כי ישנם יוצאי דופן נדירים) ועל מספר כללים אשר את רוב האנשים יובילו לתחושה שתבנית זו או אחרת היא הפשוטה ביותר שניתן להשיג.

[עריכה] מינימום של פעולות חשבון

במרבית המקרים, כאשר ממעיטים במספר פעולות החשבון בהצגת ערך מסויים (או פסוק מסויים) ברור שהתוצאה תיראה קלה יותר להבנה. אם-כן, למשל, המספר $2\cdot 2^{7}$ קשה יותר לקריאה מ-256. ניתן גם שהתלמידים ישתמשו בזה

[עריכה] צמצום שברים וביטול אברים נגדיים

כמעט בכל המקרים, אנו מעדיפים לצמצם גורמים משותפים בשברים. למשל בשבר $\frac{ab}{bc}$ ישנו גורם משותף למונה ולמכנה. זהו כמובן $b$ . במקרה זה ניתן להציג את השבר כמכפלה של שני שברים כך

$\frac{a}{c}\cdot\frac{b}{b}=\frac{a}{c}\cdot{1}=\frac{a}{c}$

פעולה זו נקראת צמצום והיא מסומנת לרוב על ידי מחיקה בקו אלכסוני יחיד של האיבר במונה ובמכנה שאותם מצמצמים כך

$\frac{a\not{b}}{c\not{b}}$

דוגמא נוספת לסימון כזה היא במקרה של חזקה, למשל

$\frac{a^2}{ab}=\frac{a^\not{2}}{\not{a}{b}}$

אותם כללי הסימון חלים על איברים נגדיים של חיבור (וחיסור כמובן). למשל

$a^2-b-a^2=\not{a^2}-b-\not{a^2}$

[עריכה] קו שבר יחיד

שברים מורכבים הינם שברים אשר בהם מופיע יותר מקו שבר אחד. לדוגמא $\frac{a}{\frac{c}{b}}$ . מכיוון שמוסכם שפעולת החילוק היא מסובכת יותר מפעולת הכפל. לכן, נעדיף להציג את קו השבר השני כמכפלה במונה או במכנה של הראשון. למעשה, גם בשבר מורכב מאוד, ניתן תמיד להגיע לקו שבר יחיד (אם כי לא תמיד זה כדאי כי לעיתים מספר פעולות החשבון אשר יהיה צריך על מנת להציג את המספר הזה תהיה גדולה מדי).
כיצד, אם-כן ניתן להשיג מטרה זו של הפיכת כל שבר מורכב לקו שבר יחיד? זאת נעשה על ידי הכפלה במספר 1 (אשר אינה משנה את הערך של השבר). פעולה זו נקראת הרחבה. על מנת לבצעה, ראשית נציג את המספר 1 בעזרת המכנה של השבר הפנימי יותר של השבר המורכב. נבצע זאת כך:

$\frac{a}{\frac{b}{c}}$
$1=\frac{c}{c}$

מכאן נקבל ש

$\frac{a}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{\frac{b}{c}}\cdot 1=\frac{a}{\frac{b}{c}}\cdot\frac{c}{c}= \frac{a\cdot{c}}{\frac{b}{c}\cdot{c}}=\frac{ac}{b}$

או אפשר בצורה אחרת: a:b/c

[עריכה] כינוס אברים

זהו תהליך שבו מבצעים פעולות פשוטות על איברים "דומים". איברים דומים הן מכפלות בעלות אותם משתנים והמקדמים זהים או שונים.
דוגמאות לאיברים דומים: 3y, 5y ; $3 x 2,5 x 2$

לאחר שאנו פותחים סוגריים (או במקרים דומים), אנו מקבלים איברים רבים. כל איבר בנוי ממספר, שאותו נקרא מקדם, ומהפרמטר שלנו (לרוב a,b,c או x,y,z אך אין הכרח בכך) בחזקה כלשהי. הפעולה של חיבור כל המקדמים של חזקה מסויימת נקראת "כינוס איברים". לרוב, לא ניתן לכנס איברים שאינם מאותה חזקה, אלא במקרים מיוחדים בלבד עליהם נעבור בהמשך.

$a+\not{b}+4a+c-\not{b}=5a+c$

מה שעשינו זה ספרנו כל סוג של אברים ו"כינסנו" אותם יחד. ניתן עוד דוגמא

$\frac{1}{2}a^2+3b^2+2a+b^2+\frac{3}{2}a^2=2a^2+4b^2+2a$

את הדוגמא לעיל לא ניתן לפשט יותר. נראה בהמשך דוגמאות שבהן ניתן לפשט יותר.

דוגמא נוספת לכינוס אברים

$\sqrt{3}+3\sqrt{5}+\sqrt{12}=\sqrt{3}+3\sqrt{5}+\sqrt{3\cdot 4}=$
$=\sqrt{3}+3\sqrt{5}+\sqrt{4}\sqrt{3}$

מכיוון ש-3 הינו מספר ראשוני לא ניתן לפרקו לגורמים שאינם 3 או 1. מכאן שאיננו יכולים למצוא לו שורש שהוא מספר שלם (למעשה לא ניתן בכלל לכתוב את השורש הזה בצורה של שבר פשוט הבנוי ממספרים שלמים כלשהם, עובדה שנבין בהמשך) לכן $\sqrt{3}$ אינו ניתן לכתיבה בדרך פשוטה יותר ואנו חייבים להתייחס אליו כשם שהיינו מתייחסים לכל פרמטר או משתנה $\ a$ או $\ b$ וכיוצא באלו. אנו מתייחסים לכן לכל שורש של מספר ראשוני כשם שהיינו מתייחסים למשתנה. כפי שעשינו, על מנת לכנס אברים של שורשים, נפרקם לשורשים של מספרים ראשוניים ככל הניתן. מכאן, נמשיך את כינוס האברים.

$=\sqrt{3}+3\sqrt{5}+\sqrt{4}\sqrt{3}=\sqrt{3}+3\sqrt{5}+2\sqrt{3}=$
$=3\sqrt{3}+3\sqrt{5}$

ניתן לפשט רק עוד במעט, ואת זאת נראה כאשר נדון בהוצאת גורם משותף מחוץ לסוגריים.

[עריכה] פתיחת סוגריים

פתיחת סוגריים וקיבוץ איברים הינן פעולות שגרתיות אשר כל תלמיד מתמטיקה ומקצועות מדעיים אחרים יתקל בהן. פתיחת סוגריים הינו תהליך שבו אנו כופלים שני ביטויים (או יותר) הנמצאים בתוך סוגריים, ומקבלים ביטוי אשר בו מספר הסוגריים קטן. בתהליך אנו משתמשים בחוק הפילוג וחוק הקיבוץ מחוקי החשבון. את הפעולה אנו מבצעים לפי הסדר, כאשר כל איבר הנמצא בסוגר אחד כופל איבר הנמצא בסוגר שני פעם אחת בדיוק. על מנת להמנע מטעויות לפחות בתחילת דרכיכם, ניתן לפרק את הפעולה בצורה הבאה: למשל אם נרצה לכפול את $\left(a+b\right)$ ב- $\left(c+d\right)$ נקבל

$\left(a+b\right)\cdot\left(c+d\right)= a\left(c+d\right)+b\left(c+d\right)= ac+ad+bc+bd$

דוגמאות נוספות:

$\left(x+1\right)\left(x-6\right)=x\cdot\left(x-6\right)+1\cdot\left(x-6\right)= x^2-6x+x-6=x^2-5x-6$
$\left(a+b\right)^{2}=\left(a+b\right)\cdot\left(a+b\right)=a\cdot\left(a+b\right)+b\cdot\left(a+b\right)= a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2$

כאשר יש יותר משני כופלים (למשל 3) יש לקבץ את האברים בסוגרים לפני הכפל כך:

$\left(a+b\right)\left(c+d\right)\left(h+g\right)=\left[\left(a+b\right)\left(c+d\right)\right]\left(h+g\right)=$
$=\left[a\left(c+d\right)+b\left(c+d\right)\right]\left(h+g\right)=$
$=\left(ac+ad+bc+bd\right)\left(h+g\right)=ac\left(h+g\right)+ad\left(h+g\right)+bc\left(h+g\right)+bd\left(h+g\right)$
$=\ ach+acg+adh+adg+bch+bcg+bdh+bdg$

תלמידים רבים טועים כאשר מנסים לבצע תרגיל זה וכותבים (בטעות) את הפסוק הבא

$\left(a+b\right)^2=a^2+b^2$

זוהי טעות שכן החזקה איננה ניתנת לפילוג לפעולות חיבור. פילוג בחזקה ניתן לבצע רק בכפל. מכאן גם נובעת מסקנה נוספת, והיא שגם שורשים לא ניתן לפלג, שכן אף הם חזקות, מה שלא מונע מתלמידים רבים לטעות גם כאן ולכתוב ש

$\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$

שאף זוהי טעות. זוהי פתיחת סוגריים בלתי חוקית. ניתן להשתמש אך ורק בחוקי החשבון הידועים לנו מפרק קודם על מנת לפתוח סוגריים. דוגמא נוספת:

$\left(a+b+c+d\right)\cdot\left(e+f\right)=\left(a+b+c+d\right)\cdot{e}+\left(a+b+c+d\right)\cdot{f}= ae+be+ce+de+af+bf+cf+df$

פתיחת הסוגר הראשון קודם תביא לביטוי ארוך יותר וסיכוי רב יותר לטעויות.

[עריכה] הוצאת גורם מחוץ לסוגריים

פעולה זה הינה פעולה ההפוכה לפעולת פתיחת סוגריים שכופלים איבר יחיד. הוצאת גורם מחוץ לסוגריים משתמשת בחוק בפילוג והיא מתבצעת לרוב ישירות ממנו. לדוגמא

$ac+ab=a\left(c+b\right)$

ניתן אך להוציא איבר מחוץ לסוגריים גם אם איננו מופיע בהם בצורה מפורשת על ידי כך שמחלקים בו. ניתן לעשות זאת באופן הבא

$ac+b=c\left(a+\frac{b}{c}\right)$

צורה זו הינה נדירה יותר, אך אף היא שימושית מדי פעם.

[עריכה] דוגמא 1

נתון הביטוי

$\sqrt{12}+\sqrt{3}$

ביטוי זה דומה לביטוי בדוגמא קודמת. על מנת לפשטו נבצע את פעולת הוצאת הגורם המשותף. במקרה זה לא רואים מיד את הגורם המשותף. על מנת לראותו נבצע שוב את אותה פעולה שביצענו בדוגמא בסעיף הקודם והיא פירוק לגורמים. ברור ש-12 הינו מספר פריק. והוא מתפרק ל-3 (שהוא ראשוני) ול $22$ שהוא ריבוע של מספר ראשוני. נקבל:

$\sqrt{12}+\sqrt{3}=\sqrt{{2}^{2}\cdot{3}}+\sqrt{3}=\sqrt{2^2}\cdot\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}+\sqrt{3}=$
$=\sqrt{3}\left(2+1\right)=3\sqrt{3}$

שזהו ביטוי פשוט הרבה יותר.
ניתן לפשט ביטויים מסובכים עוד הרבה יותר בדרך זו.

[עריכה] דוגמא 2

הסיבה הנפוצה ביותר להוצאת גורם משותף הינה צמצום גורמים משותפים בשברים או במשוואות. אם למשל נתון הביטוי

$\frac{a^2+a}{a+1}$

הרי שביטוי זה ניתן לפישוט על ידי הוצאת הגורם המשותף $a$ מחוץ לסוגריים. נעשה זאת כך:

$\frac{a^2+a}{a+1}=\frac{a\left(a+1\right)}{a+1}=a$

[עריכה] דוגמא 3

שילוב של מספר טכניקות ביחד עלול להיות מעט מסובך, אך התוצאה לעיתים קרובות שווה את ההקרבה. נסו להבין כל שלב בפישוט. כאן הצורה הסופית ספק פשוטה יותר מהמקורית אך ללא ספק קלה יותר לשימוש.

$\begin{matrix} \frac{1-\frac{c+\frac{2}{b}}{\frac{c}{a}+\frac{1}{c}}}{1-\frac{1}{b}}-1 & = & \frac{\left(1-\frac{c+\frac{2}{b}}{\frac{c}{a}+\frac{1}{c}}\right)b} {\left(1-\frac{1}{b}\right)b}-1=\frac{b-\frac{b\left(c+\frac{2}{b}\right)}{\frac{c}{a}+\frac{1}{c}}}{b-1}-1\\ & = & \frac{b-\frac{b\left(c+\frac{2}{b}\right)}{\frac{c^{2}+a}{ac}}}{b-1}-1=\frac{b-\frac{b\left(c+\frac{2}{b}\right)ac}{\left(\frac{c^{2}+a}{ac}\right)ac}}{b-1}-1=\frac{b-\frac{abc\left(c+\frac{2}{b}\right)}{c^{2}+a}}{b-1}-1\\ & = & \frac{\frac{b\left(c^{2}+a\right)}{c^{2}+a}-\frac{abc\left(c+\frac{2}{b}\right)}{c^{2}+a}}{b-1}-1=\frac{\frac{b\left(c^{2}+a\right)-abc\left(c+\frac{2}{b}\right)}{c^{2}+a}}{b-1}-1\\ & = & \frac{\frac{b\left(c^{2}+a\right)-abc\left(c+\frac{2}{b}\right)}{c^{2}+a}\left(c^{2}+a\right)}{\left(b-1\right)\left(c^{2}+a\right)}-1\\ & = & \frac{b\left(c^{2}+a\right)-abc\left(c+\frac{2}{b}\right)}{\left(b-1\right)\left(c^{2}+a\right)}-1\\ & = & \frac{bc^{2}+ab-abc^{2}-\frac{2abc}{b}}{\left(b-1\right)\left(c^{2}+a\right)}-1\\ & = & \frac{bc^{2}+ab-abc^{2}-2ac}{\left(b-1\right)\left(c^{2}+a\right)}-1\\ & = & \frac{bc^{2}+ab-ab^{2}-2ac-\left(b-1\right)\left(c^{2}+a\right)}{\left(b-1\right)\left(c^{2}+a\right)}\\ & = & \frac{bc^{2}+ab-abc^{2}-2ac-\left(bc^{2}-c^{2}+ab-a\right)}{\left(b-1\right)\left(c^{2}+a\right)}\\ & = & \frac{bc^{2}+ab-abc^{2}-2ac-bc^{2}+c^{2}-ab+a}{\left(b-1\right)\left(c^{2}+a\right)}\\ & = & \frac{-abc^{2}-2ac+c^{2}+a}{\left(b-1\right)\left(c^{2}+a\right)}\\ \end{matrix}$

דוגמא זו מציגה מגוון של טכניקות פישוט פשוטות אשר מביאות לתוצאה הרצויה רק לאחר מאבק של מספר דקות. רבים המקרים בהם נהיה חייבים להשתמש בטכניקות שלמדנו ואל לנו לפחד מהשימוש בהן גם אם מדובר במקרה מעט סבוך כפי שנראה לעיל.

[עריכה] נוסחאות הכפל המקוצר

נוסחאות אלו הינן נוסחאות אשר מאפשרות לפתוח סוגריים (או לקבץ איברים) של ביטויים נפוצים במהירות וללא טעויות. נוסחאות אלו הן (עבור תבניות בחזקה 2)

$\left(a+b\right)^{2}=a^2+2\cdot{a}\cdot{b}+b^2$
$\left(a-b\right)^{2}=a^2-2\cdot{a}\cdot{b}+b^2$
$a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)$

ועבור תבניות בחזקה 3

$\left(a+b\right)^{3}=a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3$
$\left(a-b\right)^{3}=a^3 - 3 a^2 b + 3 a b^2 - b^3$
$a^3-b^3=\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a-b\right)$
$a^3+b^3=\left(a^2-ab+b^2\right)\left(a+b\right)$

כפי שנראה לעיל, התוצאה היא פולינום בשני משתנים וניתן להשתמש בנוסחאות אלו בכל מקרה בו נרצה לפתוח סוגריים ולקבץ איברים. נוסחאות אלו הינן בעלות חשיבות רבה ומועיל ללמוד אותן בעל פה. במיוחד חשובות הנוסחאות של חזקה 2.

לנוסחאות הכפל המקוצר ישנה גם משמעות גיאומטרית. כדי להווכח במשמעות זו, מומלץ לקוראים לצייר ריבוע אשר בו אורך הצלע הוא $\left(a+b\right)$ . הקורא יוכל להווכח שבתוך הריבוע נוצרים שני ריבועים ושני מלבנים, אשר סכום שטחם מתאים לנוסחאות הכפל המקוצר. כתרגיל, מומלץ לקורא לבצע משימה זו גם עבור הנוסחאות של חזקה 2 וגם עבור נוסחאות של חזקה 3, שם במקום לקבל ריבוע, יש לצייר קוביה.

הפרק הקודם:
טכניקות אלגבריות פשוטות

טכניקות של פישוט
תרגילים

הפרק הבא:
רבי איבר

[עריכה] תרגילים בנושא טכניקות של פישוט

רשימת התרגילים

דף זה מועמד לאיחוד
ערך זה דן בנושא של הדף [[:היכרות עם תלת האיבר הריבועי (הטרינום)]] וככל הנראה מוסיף עליו מידע. על כן יש לאחד את שני הדפים. (דיון)

[עריכה] רבי איבר

הגדרה: רב איבר (פולינום) הינו סכום של אברים אשר כל אחד מהם מורכב ממקדם המכפיל אותו ומחזקה של אחד או יותר משתנים.
במקרה הפרטי שלרוב יעניין אותנו, רב-אבר של משתנה יחיד הוא ביטוי מהצורה

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}\cdots+ a_{0}$

נדגיש, כמו-כן, שהמספר $n$ יכול להיות מספר טבעי בלבד.

כאשר $\;a_{n}$ הוא מספר קבוע (למשל 7) והמשתנה (או הנעלם) הוא $x$ . כאשר מפשטים ביטויים פולינומיאליים (כלומר ביטויים אשר מהווים רב-איבר) לרוב עדיף להביא את הביטויים לצורת רב-איבר. במצב זה לרוב התבנית תהיה הפשוטה ביותר. דוגמא לרב-איבר במשתנה יחיד

$2x^3+\frac{1}{4}x^2-5x+7$

דוגמא לרב-איבר בשני משתנים

$2x^{3}y^2+\frac{1}{3}x^{2}y-5x+7$

קיימים גם רבי איבר בני כל מספר טבעי של משתנים.

[עריכה] ייצוג של פולינומים

כאמור פולינום הוא ביטוי מהצורה

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}\cdots+ a_{0}$

זהו פולינום במשתנה אחד. המשתנה במקרה זה הינו $\ x$ . צורה זו נקראת הצורה הסטנדרטית של הפולינום. כאשר אנו מעוניינים להגיע לצורה זו, עלינו לדאוג שכל חזקה של המשתנה תוכפל במקדם אחד בלבד. כלומר עלינו לכנס אברים דומים. כפי שניתן לראות (אם כי קצת קשה להוכיח) לא ניתן להציג חזקה מסויימת של המשתנה באמצעות חזקה אחרת בצורה הסטנדרטית ולכן זוהי הצורה הפשוטה ביותר להציג פולינום.

[עריכה] דרגה של פולינום

הגדרה: הדרגה של הפולינום הינה הערך הגדול ביותר של מעריך החזקה של איבר כלשהו בפולינום עם מקדם שונה מאפס.
למשל בדוגמא לעיל של רב-איבר במשתנה יחיד, דרגת הפולינום הינה 3. גם מספר קבוע הוא פולינום אשר דרגתו 0, מכיוון שהמספר הקבוע הוא מקדם של איבר בפולינום שחזקתו שווה לאפס (ומכאן ערכו שווה ל-1). פולינום אשר בו יש רק איבר אחד יקרא מונום ואילו פולינום אשר בו 2, בינום. פולינום בו 3 אברים יקרא טרינום וכך הלאה.

[עריכה] שורש של פולינום

הגדרה: שורש של פולינום הינו מספר אשר כאשר מציבים אותו במשתנה של הפולינום מקבלים 0.
לדוגמא, לפולינום $\ x-5$ יש שורש שהוא 5.
דוגמא נוספת: למשל בפולינום מדרגה גבוהה יותר

$\ x^2-2x+1$

אם מציבים $\ x=1$ מקבלים $\ 0$ ולכן זהו שורש של הפולינום.
לכל פולינום מדרגה $\ n$ כלשהי ישנם לכל היותר $\ n$ שורשים. את עובדה זו נקבל ללא הוכחה בשלב זה (אך הוכחה קיימת כמובן). הקורא המתעניין יוכל למצוא מידע נוסף בערך המשפט היסודי של האלגברה. הערה חשובה: משמעותו של שורש זה (שורש של פולינום) שונה ממשמעותו של השורש החשבוני הרגיל, ולכן לא מסמנים אותם באותו אופן.

[עריכה] כפל פולינומים

הכפלת פולינומים מתבצעת באופן הרגיל של פתיחת סוגריים. מכאן ניתן להגיע לכמה מסקנות. האחת היא שלכל מכפלת פולינום יש את כל השורשים אל כל אחד מהכופלים וזאת מפני שהפולינום החדש ניתן לכתיבה של שני האיברים המקוריים (שאותם מקיימים השורשים שלהם). מסקנה נוספת היא שדרגת המכפלה היא סכום דרגות הכופלים. את הסיבה לזה ניתן לראות בקלות אם פותחים סוגריים.

הפרק הקודם:
טכניקות של פישוט

רבי איבר
תרגילים

הפרק הבא:
הטרינום

אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/רבי איבר/תרגילים

דף זה מועמד לאיחוד
ערך זה דן בנושא של הדף [[:פירוק תלת איבר ריבועי (טרינום)]] וככל הנראה מוסיף עליו מידע. על כן יש לאחד את שני הדפים. (דיון)

[עריכה] פירוק טרינום ריבועי לגורמים

סעיף זה מדבר על פעולה הנקראת פירוק טרינום ריבועי לגורמים. טרינום ריבועי הינו רב-איבר מהצורה

$a\cdot{x^2}+b\cdot{x}+c$

כאשר $a\neq{0}$ . נתחיל בפירוק לגורמים כאשר $a = 1$ . אנו מעוניינים למצוא מכפלה של שני בינומים (דו-איברים, או פולינומים שבהם שני איברים בלבד) אשר תוצאתה הסופית היא הטרינום הנתון. ניקח למשל את הטרינום

$x^2-3\cdot{x}-10$

מכיוון שיצרנו אותו לשם הדוגמא, אנו כבר יודעים שהטרינום הזה הוא תוצר של המכפלה להלן.

$\left(x+2\right)\cdot\left(x-5\right)$

כל אחד מהסוגריים הוא גורם אחד במכפלה, ומכיוון שהחזקה הגדולה בכל אחד מהגורמים היא 1 לא ניתן להמשיך ולפרק אותם. כאשר אנו ניצבים בפני הטרינום הפתוח, לנחש מה היו הגורמים אשר הביאו ליצירתו זו פעולה קשה. על-כן, אנו מחפשים שיטה פשוטה אשר בהנתן הטרינום הפתוח, נוכל למצוא את גורמיו ללא צורך בניחוש. על מנת להבין את ההגיון העומד מאחורי שיטה זו נתבונן בפתיחת הסוגריים שהביאה ליצירת הטרינום במקור.

$\left(x+2\right)\cdot\left(x-5\right)=x\cdot\left(x-5\right)+2\cdot\left(x-5\right)=$
$=\underbrace{x^2-5\cdot{x}+2\cdot{x}-2\cdot{5}}=\left(x+2\right)\cdot\left(x-5\right)$
$\left(*\right)$

נתבונן בביטוי המסומן ב-(*). על מנת לחזור חזרה מפעולות פתיחת הסוגריים, אנו נשים לב לעובדה ש $\left(-10\right)=\left(-5\right)\cdot{2}$ וגם ש $\left(-3\right)=\left(-5\right)+2$ . ואנו גם יודעים שעל מנת לחזור חזרה לביטוי המקורי, חסרים לנו המספרים $\left(-5\right)$ וגם $\left(2\right)$ כך שלמעשה, אנו רואים שמספרים אלו מופיעים בשלב האחרון לפני כינוס האיברים אשר מוביל ליצירת הטרינום. כאשר אנו מקבלים את הטרינום בצורתו המוגמרת, עלינו למצוא שילוב אשר יקיים את אותן התכונות אשר אנו רואים לעיל.
כעת נתאר באופן מדוייק את סדר הפעולות הדרוש לפתרון הבעיה ונדגים כל שלב על טרינום הדוגמא שלנו.
ראשית, נרשום את כל המכפלות של שני מספרים אשר נותנות את האיבר החופשי (במקרה שלנו $\left(-10\right)$ ).

$β$	$α$
$\left(10\right)$	$\left(-1\right)$
$\left(-10\right)$	$\left(1\right)$
$\left(5\right)$	$\left(-2\right)$
$\left(-5\right)$	$\left(2\right)$

שנית, נחפש זוג (אשר מופיע בשורה) אשר סכום המספרים בו הוא $\left(-3\right)$ כי זהו המקדם של האיבר בו x מופיע ללא חזקה, והוא זה שעבורו מחפשים את הסכום. ניתן דוגמא נוספת. הפעם ניקח את הטרינום $x^2-20\cdot{x}+99$ . כאן המספרים יותר גדולים ולכן יקשה עלינו לנסות לנחש את הפתרון. נשתמש בסדר הפעולות שקבענו קודם. עלינו ראשית לפרק את 99 לגורמים.

$β$	$α$
$\left(1\right)$	$\left(99\right)$
$\left(-1\right)$	$\left(-99\right)$
$\left(3\right)$	$\left(33\right)$
$\left(-3\right)$	$\left(-33\right)$
$\left(9\right)$	$\left(11\right)$
$\left(-9\right)$	$\left(-11\right)$

כעת נסכם וננסה לקבל $\left(-20\right)$ . הזוג היחיד שמתאים הוא הזוג שבשורה האחרונה. לכן זה הזוג הנכון, והתשובה המתקבלת היא ש

$x^2-20\cdot{x}+99=\left(x-9\right)\cdot\left(x-11\right)$

כפי שנדרש.
נזכר כי עדיין לא פתרנו את הבעיה עבור טרינום אשר בו המקדם של $x 2$ כלומר $a\neq{1}$ . במקרה זה עלינו להוציא אותו מחוץ לסוגריים לכל הטרינום ולהמשיך את הפעולות כרגיל על הטרינום בתוך הסוגריים. מקבלים במקרה זה

$a\cdot\left({x}^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)$

במקרה הכללי הפירוק של $c$ לא יתן תשובה אשר סכומה הוא באמת $b$ והפעולה תיכשל. במקרה זה עדיין לעיתים ניתן לפרק טרינום זה אך נושא זה קשור לנושא אחר, אשר בו נידון שוב בפרק משוואות והוא נקרא נוסחאות וייטה.

הפרק הקודם:
רבי איבר

הטרינום
תרגילים

הפרק הבא:
דוגמאות ושימושים נוספים

פתרי את התרגילים:

$\ x^{2}+5{x}-6$
$\ x^{2}+8{x}+12$
$\ x^{2}-6{x}-40$
$\ x^{2}-16{x}+55$
$\ x^{2}-18{x}+80$
$\ x^{2}-7{x}+12$
$\ x^{2}-3{x}-40$
$\ x^{2}-11{x}+28$
$\ x^{2}+8{x}-9$
$\ x^{2}-20{x}+99$
$\ x^{2}+7{x}-30$
$\ x^{2}-12{x}+35$
$\ x^{2}-1{x}-110$
$\ x^{2}+2{x}-80$
$\ x^{2}+17{x}+70$
$\ x^{2}+2{x}-3$
$\ x^{2}-6{x}+8$
$\ x^{2}-7{x}+12$
$\ x^{2}+1{x}-2$
$\ x^{2}+6{x}-40$
$\ x^{2}-6{x}-40$
$\ x^{2}-1{x}-110$
$\ x^{2}+2{x}-63$
$\ x^{2}-9{x}+20$
$\ x^{2}+3{x}-40$
$\ x^{2}-7{x}-18$
$\ x^{2}+13{x}+42$
$\ x^{2}-25$
$\ x^{2}+1{x}-20$
$\ x^{2}+8{x}+16$

[עריכה] תשובות

$\left(x+6\right)\cdot\left(x-1\right)$
$\left(x+6\right)\cdot\left(x+2\right)$
$\left(x-10\right)\cdot\left(x+4\right)$
$\left(x-11\right)\cdot\left(x-5\right)$
$\left(x-8\right)\cdot\left(x-10\right)$
$\left(x-3\right)\cdot\left(x-4\right)$
$\left(x+5\right)\cdot\left(x-8\right)$
$\left(x-4\right)\cdot\left(x-7\right)$
$\left(x+9\right)\cdot\left(x-1\right)$
$\left(x-9\right)\cdot\left(x-11\right)$
$\left(x+10\right)\cdot\left(x-3\right)$
$\left(x-7\right)\cdot\left(x-5\right)$
$\left(x-11\right)\cdot\left(x+10\right)$
$\left(x-8\right)\cdot\left(x+10\right)$
$\left(x+10\right)\cdot\left(x+7\right)$
$\left(x-1\right)\cdot\left(x+3\right)$
$\left(x-4\right)\cdot\left(x-2\right)$
$\left(x-4\right)\cdot\left(x-3\right)$
$\left(x+2\right)\cdot\left(x-1\right)$
$\left(x-4\right)\cdot\left(x+10\right)$
$\left(x+4\right)\cdot\left(x-10\right)$
$\left(x-11\right)\cdot\left(x+10\right)$
$\left(x-7\right)\cdot\left(x+9\right)$
$\left(x-4\right)\cdot\left(x-5\right)$
$\left(x+8\right)\cdot\left(x-5\right)$
$\left(x+2\right)\cdot\left(x-9\right)$
$\left(x+7\right)\cdot\left(x+6\right)$
$\left(x-5\right)\cdot\left(x+5\right)$
$\left(x+5\right)\cdot\left(x-4\right)$
$\left(x+4\right)\cdot\left(x+4\right)$

שאלות כאשר $a\neq{1}$ :

$\ 2x^{2}+3{x}+1$
$\ 3x^{2}-{x}-2$
$\ 2x^{2}-13{x}+15$
$\ 5x^{2}-19{x}-4$
$\ 3x^{2}+{x}-14$

[עריכה] תשובות

$\left(2x+1\right)\cdot\left(x+1\right)$
$\left(3x+2\right)\cdot\left(x-1\right)$
$\left(2x-3\right)\cdot\left(x-5\right)$
$\left(5x+1\right)\cdot\left(x-4\right)$
$\left(3x+7\right)\cdot\left(x-2\right)$

אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/חילוק רבי-אבר

אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/חילוק רבי-אבר/תרגילים

[עריכה] דוגמאות ושימושים נוספים

עד כה עסקנו בהצגת כל אחת מהטכניקות הפשוטות אשר יעזרו לנו בהמשך לימודינו של האלגברה והמתמטיקה בכלל. כעת נציג כמה דוגמאות שימושיות אשר יאגדו את אסופת הטכניקות הללו תחת קורת גג אחת ויראו כיצד ניתן להשתמש בהן ביחד. ברור כי לא ניתן להביא את כל הדוגמאות האפשריות. הקורא יאלץ לתרגל את הנושא בכוחות עצמו על מנת להגיע לתובנה עמוקה יותר של הנושא. לעיתים נדרשת בתחום זה מידת מה של יצירתיות בפתרון התרגילים. יש מספר מצומצם של חוקים ומעט טכניקות רשומות אך ניתן להגיע לאין ספור דרכים שונות על מנת לפשט ביטוי זה או אחר. כל דרך אשר אינה עוברת על חוקי החשבון הינה דרך לגיטימית ואין עדיפות לדרך מסויימת אם היא מגיעה לתוצאה הסופית.
כאמור, הדוגמאות הבאות באות להציג כמה טכניקות פשוטות ושימושיות. על הקורא להמשיך לתרגל בעצמו משם ולמצוא את הדרך הנוחה לו ביותר.

[עריכה] דוגמאות

להלן מספר ביטויים אלגבריים אשר אנו נפשט בעזרת הטכניקות אשר למדנו.

[עריכה] דוגמא לשימוש בנוסחאת כפל מקוצר לצמצום

$\frac{a^2-4a+4}{a-2}$

זהו ביטוי פשוט למדי. אנו נשתמש בנוסחאות הכפל המקוצר על מנת לצמצם את האיבר במונה עם המכנה.

$\frac{a^2-4a+4}{a-2}=\frac{a^2-2\cdot{2a}+4}{a-2}=\frac{\left(a-2\right)^2}{a-2}=a-2$

[עריכה] דוגמא לשימוש בפורוק טרינום בפישוט של שברים

$\frac{x^2-7x+12}{x-4}=\frac{\left(x-3\right)\left(x-4\right)}{x-4}=x-3$

בדוגמא זו השתמשנו בפירוק טרינום כפי שלמדנו בפרק הקודם.

[עריכה] כפל בצמוד

דוגמא זו משתמשת בטכניקה שנקראת כפל בצמוד. לא נתעמק בשלב זה במשמעות המושג צמוד. נושא זה ידון בהמשך בהרחבה. נתבונן בדוגמא:
נתבונן בשבר

$\frac{x+\sqrt{2}}{x-\sqrt{2}}$

בשבר זה קשה לראות דרך "לשחרר" את המכנה מעול השורש. למעשה, לא ברור לחלוטין מדוע עלינו לעשות זאת משום שהתוצאה לא תהיה בהכרח יותר פשוטה. למרות זאת, ישנם מצבים בהם שיטה זו מועילה עד מאוד. הצמוד של המכנה, אם-כן, (הוא המספר שאותו אנו מבקשים), במקרה שלנו, זה המספר $x+\sqrt{2}$ . כעת, נרחיב את השבר בגורם $x+\sqrt{2}$ ונקבל

$\frac{x+\sqrt{2}}{x-\sqrt{2}}=\frac{\left(x+\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)}{\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)}$

כאן למעשה מתרחש חלק הארי או ה"טריק" של הטכניקה הזו. אנו משתמשים בנוסחאת הכפל המקוצר $\left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^2-b^2$ ומקבלים את התוצאה הבאה

$\frac{x+\sqrt{2}}{x-\sqrt{2}}= \frac{\left(x+\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)}{\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)}=\frac{\left( x+\sqrt{2}\right)^2 }{ x^2-\left(\sqrt{2}\right)^2}= \frac{\left( x+\sqrt{2}\right)^2 }{ x^2-2}$

הפרק הקודם:
הטרינום

דוגמאות ושימושים נוספים
תרגילים

הפרק הבא:
טכניקות אלגבריות פשוטות

אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/דוגמאות ושימושים נוספים/תרגילים

[עריכה] תרגילים נוספים

הבא לצורה הפשוטה ביותר (ללא שימוש במחשבון)

$\left( 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2 \right)$
$\left( 1^2-2^2+3^2-4^2+5^2 \right)$
$1-\left(2-\left(3-\left(4-\left(5-6\right)\right)\right)\right)$
$a-\left(b-\left(c-\left(d-\left(e-f\right)\right)\right)\right)$
$\ a+2b-c-5b+2c$
$2\cdot{a_1}-5\cdot{a_2}+a_1+11\cdot{a_2}-2\cdot{a_1}+a_3$
$\frac{1}{2}\cdot{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot{6}\cdot\frac{7}{8}\cdot{9}$
$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}-\frac{5}{2}}$
$\frac{\frac{\frac{1}{2}}{3}}{4}$

[עריכה] משוואות

פרק זה עוסק באחד הנושאים המרכזיים ביותר באלגברה ותחומים רבים במתמטיקה, והוא נושא המשוואות. תחום זה כבר נחקר בעת העתיקה וישנן עדויות לכך שהוא נחקר עוד בממלכת בבל (אם כי בניסוח שונה ממה שמקובל היום).

הנושא יועבר במספר פרקים:

רשימת הפרקים

[עריכה] מה היא משוואה

משוואה הנה אמירה מתמטית, אשר מסמנת שוויון בין שני צדדים של הסימן =. כלומר זהו פסוק אשר משמעותו היא ששני הצדדים של סימן השוויון מתארים את אותו מספר.
כל משוואה מכילה את סימן השוויון (=) ומשני צדדיו יופיעו ביטויים מתמטיים.
בכל משוואה קיים לפחות נעלם אחד. נעלם הינו סימן מתמטי אשר יבוא במקום מספר כלשהו אשר אותו איננו יודעים. בשלב ראשון נדבר על פתרון המשוואה. פתרון למשוואה הינו ערך מספרי אשר אותו ניתן להציב במקום הנעלם ולקבל ביטוי מתמטי אמיתי (פסוק אמת). לעיתים ניתן להציב יותר ממספר אחד במקום הנעלם, אך בשלב זה, אנו לא נתייחס לעובדה זו. נהוג לסמן נעלמים באות הלטינית $\ x$ אך אין זה הכרחי. למעשה כל אות אשר אינה מסמנת מספר קבוע אחר יכולה לשמש כנעלם, ולעיתים מסמנים נעלמים שונים בעזרת אינדקסים שונים כפי שנראה בעתיד.

[עריכה] דוגמאות

הדוגמא החשובה ביותר של משוואה היא משוואה ממעלה ראשונה בנעלם אחד אשר ידועה גם בשמה השני משוואה לינארית בנעלם אחד: משוואה שבה הנעלם לא מופיע בחזקה גבוהה מאחד, כלומר לא מופיעים, למשל, $\ x^2$ . לדוגמה: $\ x+1=4$ . נשים לב, שהערך $\ x=3$ מקיים את השוויון, שכן $\ 3+1=4$ ועל כן הוא יקרא פתרון של המשוואה הנ"ל.
משוואה בנעלם אחד בחזקה גבוהה: לדוגמה: $\ x^3+34-4=x^5$ . כאן החזקה הגבוהה ביותר של הנעלם היא 5. במקרה זה לא קל לראות מהו פתרון של המשוואה, או אם בכלל ישנו פתרון כזה.

חלק ניכר מהאלגברה עוסק בפתרון משוואות. בנוסף, מנסים מתמטיקאים למצוא כללים שיחלקו את המשוואות לסוגים (כפי שעשינו למעלה), וכן למצוא שיטות לפתרון משוואות.

על נקלה נוכל לראות שקיימות משוואות אשר לא ניתן למצוא להן פתרון בקבוצת המספרים הממשיים כלל כלומר לא קיים מספר שנוכל להציב במקום הנעלם ולקבל פסוק אמיתי. לדוגמא, למשוואה $\ x^2=-1$ אין פתרון במספרים ממשיים כי אין מספר שאם נכפול אותו בעצמו נקבל מספר שלילי (מספר שלילי כפול מספר שלילי הוא מספר חיובי).

[עריכה] סוגי משוואות

בבואינו לפתור משוואה מסויימת כדאי לנו ראשית לאפיין אותה, על מנת לדעת איך לגשת לפתרונה. לשם כך, נחלק את המשוואות למספר תחומים, כאשר משוואה יכולה להיות בכמה קטגוריות בו זמנית, או באף אחת מהן. נחלק, אם-כן, את המשוואות לקטגוריות הבאות:

משוואות בנעלם אחד - משוואות בהן ישנו רק נעלם אחד (לרוב יסומן ב- $\ x$ ).
משוואות בשני נעלמים או יותר - משוואות בהן נדרש למצוא את הערכים המתאימים ליותר מנעלם אחד.
משוואות לינאריות - משוואות בהן מופיעים הנעלמים בגפם, כשלכל היותר הם מוכפלים במספר קבוע.
משוואה ריבועית בנעלם אחד (משוואה ממעלה שניה) - זהו סוג משוואות בעל חשיבות רבה ועל כן מוקדש לו שם נפרד. זוהי משוואה בה הנעלם מופיע בחזקה שניה (ופחות) $\ x^2$ . אנו נלמד כיצד ניתן לפתור משוואות מסוג זה.
משוואה ממעלה גבוהה - הנעלם מופיע בחזקה גבוהה מ 2. ניתן לפתור משוואות כאלו עד החזקה הרביעית בצורה שיטתית, אם כי נושא זה אינו בחומר לבגרות לעת עתה. נציין כי ברוב המקרים בהם המשוואה היא ממעלה גבוהה יותר מ-4 לא רק שאין שיטה לפתרון, אלא לעיתים לא ניתן לפתור אותה כלל. אך בספר זה לא ניכנס לדקויות של נושא סבוך זה.

הפרק הקודם:
משוואות (מבוא)

בסיס
תרגילים

הפרק הבא:
משוואות פשוטות בנעלם אחד

[עריכה] תרגילים פשוטים

נסו לנחש איזה מספר (או מספרים) ניתן להציב במקום $\;x$ על מנת שהמשוואות הבאות יתקיימו. לדוגמא עבור $\;x-3=2$ התשובה הנכונה היא $\;5$ כי $\;5-3=2$ .

$\;2x=6$
$\;-x=1$
$\;x+3=0$
$\;2=2x$
$\;x^4=1$
$\;2x=x$
$\;x=1+x$
$\;x^2=1$
$\;x^3=\left(-1\right)$
$\;x-2x=1$
$\;2x+9=21$ (קשה)
$\;x^2+x=0$ (קשה)
$\;\sqrt{x}=5$ (קשה)
$\;\sqrt[3]{x+1}=1$ (קשה)
$\;x-\sqrt{x}=0$ (קשה)

[עריכה] תשובות

$\;3$
$\;\left(-1\right)$
$\;\left(-3\right)$
$\;1$
$\;\left(-1\right)$
$\;0$
$\;1,\left(-1\right)$
$\;1,\left(-1\right)$
$\;\left(-1\right)$
אין פתרון
$\;6$ (קשה)
$\;\left(-1\right),0$ (קשה)
$\;25$ (קשה)
$\;0$ (קשה)
$\;0,1$ (קשה)

אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות פשוטות בנעלם אחד/

[עריכה] הפעולות המותרות

ראשית נגדיר את מושג הפעולה על משוואה. הגדרה זו היא כמעט ברורה מאליה. לפי האנלוגיה שלנו שהצגנו בפרק בסיס של מאזניים, אמרנו שמותר לנו לבצע את אותה הפעולה על שני האגפים של המשוואה מכיוון שבכל כף של המאזניים רשום אותו המספר אז ברור שהשוויון ישמר. לכן, נאמר שפעולה על משוואה היא כל פעולה מתמטית אשר מתבצעת על שני האגפים באופן זהה. כלומר, למשל, פעולת החיבור שהוזכרה בפרק הקודם היא פעולה על המשוואה כי היא נעשית על שני האגפים באותו אופן. בפרק הקודם הקפנו את כל האגפים בסוגרים לפני שביצענו את החיבור. ברור שבמקרה של חיבור אין שום צורך בכך אך עשינו זאת על מנת להדגיש שהפעולה מתבצעת על האגף כולו ולא רק על מספר אחד בכל פעם. את חשיבות קביעה זו ניתן לראות גם בפרק הקודם בו כפלנו את שני אגפי המשוואה במספר קבוע שאינו 0. גם פה הקפנו את האגפים בסוגרים, רק שפה ברור שהתוצאה היתה שונה אלמלא הינו עושים כן.
כעת נסביר למה אנו מתכוונים כאשר אנו אומרים את המושג פעולה מותרת. בכל עת שבה אנו מבצעים את אותה הפעולה בשני האגפים אין לנו סיבה לחשוש שאנו מפרים את סימן השוויון. למרות זאת, אין זה אומר שכל פעולה על משוואה לא תשנה את הפתרון של המשוואה. למעשה, ישנן פעולות שיכולות ליצור פתרונות נוספים ואפילו ישנן פעולות שיכולות להפוך את המשוואה שלנו לחסרת תוכן.
פעולה כגון זו היא למשל הכפלת שני האגפים ב-0. ניקח לדוגמא את המשוואה שראינו בפרק הקודם.

$\ \frac{3}{4} x +\frac{5}{3}=2-1$

וכעת נכפיל את שני אגפי המשוואה ב-0. נקבל:

$0\cdot\left(\frac{3}{4} x +\frac{5}{3}\right)=0\cdot\left(2-1\right)$
$\ 0=0$

קיבלנו ש $\ 0=0$ . זו אינה עובדה חדשה. ולמעשה ידענו זאת עוד לפני שבכלל התחלנו לעסוק במשוואות. הפעולה של הכפלה ב-0 לא הפכה את השוויון ללא נכון, היא למעשה הפכה את המשוואה לחסרת תוכן. אם נחזור שוב לאנלוגיה של המאזניים, זה כמו לנקות את כפות המאזניים. זה ברור שאם הכפות ריקות המאזניים ישארו מאוזנים, אבל לא ישאר לנו שום מידע לגבי מה היה שם קודם. במקרה הזה, אנו רואים שניתן להציב במשוואה החדשה כל ערך של $\ x$ ועדיין לקבל פסוק אמיתי, פשוט בגלל ש- $\ x$ לא מופיע כלל במשוואה. קיבלנו שכל המספרים הם פתרון למשוואה אבל זה לא נכון למשוואה המקורית. כלומר, פעולת ההכפלה ב-0 היא פעולה שמוסיפה פתרונות. מכאן אנו קובעים שהיא פעולה אסורה. אנו נדון בפעולות אסורות מיוחדות, אם כי ברור שרוב הפעולות הן אסורות ולא נוכל לכסות את כולן, ואף לא חלק קטן מהן. במקום זאת, נעבור על הפעולות המותרות הפשוטות ביותר.
פעולה שמתבצעת על משוואה תסומן על ידי קו אלכסוני ואחריו שם הפעולה. למשל, פעולת חיבור שני האגפים ב-5 תסומן כך:

$\frac{3}{4} x=2\ \ \ \ \ /\ +5$

הפעולות המותרות החשובות ביותר הן:

[עריכה] חיבור או חיסור במספר

ניתן לבצע פעולת חיבור או חיסור של כל מספר על משוואה. זה כולל גם חיבור או חיסור של הנעלם עצמו. פעולה זו לא יכולה להוסיף פתרונות כפי שפעולת ההכפלה ב-0 יכולה. דוגמא לחיבור של מספר קבוע (קבוע בניגוד למספר המכיל את נעלם) ניתן למצוא בפרק הקודם. כעת נציג דוגמא לשימוש בפעולה זו על מנת ל"העביר" נעלם מאגף לאגף.

$\frac{3}{4} x +\frac{5}{3}=2\cdot x + 3$

נחסר משני האגפים $2 \cdot x$ ונקבל:

$\left(\frac{3}{4} x +\frac{5}{3}\right)-2\cdot x=\left(2\cdot x + 3\right)-2\cdot x$
$\frac{3}{4} x - 2\cdot x+\frac{5}{3}=2\cdot x-2\cdot x + 3$
$-\frac{5}{4} x+\frac{5}{3}=0 + 3$

או במילים אחרות

$-\frac{5}{4} x+\frac{5}{3}=3$

שוב קיבלנו משוואה פשוטה ביותר שאותה ניתן לפתור באופן שפתרנו בפרק הקודם.

[עריכה] כפל במספר שאינו 0

כפל במספר שאינו 0 אף הוא פעולה מותרת. כאן יש לשים לב שבמרבית המקרים ניתן להציב במקום הנעלם את המספר 0 לכן במרבית המקרים לא ניתן להכפיל בנעלם או בביטוי המכיל את הנעלם. כלומר, אסור להכפיל את המשוואה במספר שעלול להיות 0. אם, לעומת זאת הצלחנו לקבוע באופן כלשהו של בדיקה שהביטוי שבו אנו כופלים אינו 0 אנו יכולים להמשיך בדרך זו ואף לכפול בנעלם עצמו. לדוגמא:

$\frac{2}{x}=1$

במשוואה זו אנו רואים שהנעלם נמצא במכנה ואם הוא היה 0 הרי שלמשוואה לא היתה כל משמעות (חילוק ב-0 אינו מוגדר!). על-כן במקרה זה נוכל לאמר בוודאות ש- $\ x\neq0$ ולכן ניתן במקרה זה לכפול ב- $\ x$

$\frac{2}{x}=1\ \ \ \ \ \ /\ \cdot x \left(\neq 0\right)$
$\ x=2$

וזו התשובה. דוגמא נוספת לכפל במספר שאינו מכיל את הנעלם ניתן לראות בפרק הקודם.

[עריכה] חילוק במספר שאינו 0

ניתן לחלק את שני אגפי המשוואה בכל מספר שאינו 0. למעשה זאת פעולה שהיא במהותה זהה לחלוטין לפעולה של כפל משום שכפל במספר שאינו 0 שקול לכפל בהפכי של אותו המספר ולכן זו בדיוק אותה הפעולה. הבעיה מתחילה כאשר יתכן שהמספר שבו אנו מחלקים הוא 0. למשל במקרה של המשוואה הבאה:

$\ \left(x-2\right)\cdot\left(x+3\right)=0$

במקרה זה, אם נחלק את שני אגפי המשוואה למשל ב- $\ \left(x+3\right)$ נקבל

$\ \left(x-2\right)\cdot\left(x+3\right)=0\;\;\;\;\;\;\;\;/\;\;\cdot\frac{1}{x+3}$
$\ x-2=0$

והפתרון של המשוואה הזו הוא $\;x=2$ אך בקלות ניתן לבדוק שאלו לא כל הפתרונות של המשוואה. אם נציב במשוואה המקורית $\;x=-3$ נקבל מיד פסוק שהוא ברור מאליו: $\;0=0$ כלומר, גם $\;x=-3$ הוא פתרון של המשוואה. במילים אחרות, בחלוקה במספר שיכול להיות 0 איבדנו את אחד הפתרונות. על מנת להמנע ממקרה זה יש לחלק את המשוואה למקרים.
חלוקה למקרים נעשית כאשר יש צורך לחלק את אגפי המשוואה במספר שניתן בעזרת הצבה להפכו ל-0. לפני שניתן לעשות זאת, מניחים שאותו ביטוי שבו אנו מחלקים הוא אכן שווה ל-0 ופותרים משוואה חדשה שבה הוא שווה ל-0. לאחר מכן, מניחים שהוא אינו 0 וממשיכים לפתור את המשוואה באופן הרגיל. דוגמא:

$\left(1-x\right)\cdot\left(3-x\right)\cdot\left(x+2\right)=0$

במקרה זה אנו עלולים להתפתות לחלק באחד הגורמים אך אסור לנו לחלק במספר שניתן להציב בו 0. נציג כעת את הדרך הנכונה ואת הסימון המקובל בפתרון משוואות מסוג זה.
פתרון: מהמשוואה מתקבלים 3 מקרים:

$\;1-x=0\Rightarrow x_1=1$
$\;3-x=0\Rightarrow x_2=3$
$x+2=0\Rightarrow x_3=-2$

תשובה: $x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = - 2$
נשים לב שכאן הפתרון הגיע בצורה של 3 ערכים שונים של $\;x$ אשר סומנו באינדקסים $\;1\dots 3$ . כל אחד מהערכים מהווה פתרון של המשוואה המקורית אך רק שלושתם ביחד הן התשובה לשאלה: "אילו ערכים ניתן להציב ב- $\;x$ ולקבל פסוק אמת?" שזו השאלה הנשאלת כאשר אנו מתבקשים לפתור משוואה.

הפרק הקודם:
משוואות פשוטות בנעלם אחד

הפעולות המותרות
תרגילים

הפרק הבא:
משוואות ריבועיות

[עריכה] הפעולות המותרות - תרגילים

[עריכה] תרגילים

רשימת הפרקים

אלגברה תיכונית/משוואות/הפעולות המותרות/תרגילים/רמה א

אלגברה תיכונית/משוואות/הפעולות המותרות/תרגילים/רמה ב

אלגברה תיכונית/משוואות/הפעולות המותרות/תרגילים/רמה ג

אלגברה תיכונית/משוואות/הפעולות המותרות/תרגילים/רמה ד

[עריכה] מהי משוואה ריבועית

משוואה ריבועית היא משוואה מהצורה $\;ax^2+bx+c=0$ כאשר נתון ש- $\;a\ne0$ ו $\;a,b$ וגם $\;c$ הם מספרים קבועים (יתכן והם יופיעו בצורה מפורשת - כלומר מספרים כמו 1 או 3 וגם יתכן שהם יופיעו בצורה פרמטרית, כלומר כאותיות, במקרה זה יש לשים לב שאנו מתייחסים אל האותיות הללו כמספרים קבועים ולא כנעלמים. אנו מחפשים את הערך של $\;x$ ולא של $\;a$ למשל). זו משוואה לא לינארית (הנעלם מופיע בה בחזקה שניה).
למשוואה ריבועית יכולים להיות:

שני פתרונות (כלומר שני מספרים שאם נציב אותם במקום $\;x$ נקבל פסוק שהוא אמיתי).
פתרון אחד.
אין אף פתרון (במספרים ממשיים) כלומר, אין אף מספר שניתן להציב במקום $\;x$ שעבורו נקבל פסוק אמת.

ניתן לפתור כל משוואה ריבועית או לפחות להגיע לקביעה שאין פתרון ממשי. הפתרון מתבסס על הנוסחא לפתרון משוואה ריבועית שעליה נדבר בהמשך. הנוסחא היא הדרך הבטוחה לפתור כל סוג של משוואה ריבועית אך היא אינה הדרך הקצרה ביותר או הפשוטה ביותר. במקרים רבים קל יותר לנצל את הטרינום הריבועי על מנת לפתור את המשוואה בדרך מהירה יותר. נדגים את שתי השיטות בהמשך על המשוואה הריבועית

$\;x^2+5x-14=0$

אך ראשית נסביר את הבעייתיות שמופיעה מרגע שנוספת חזקה שניה של הנעלם למשוואה.

[עריכה] פתרון על ידי הוצאת שורש

כעת נדון בפעולה בעלת חשיבות רבה, אם כי, היא איננה פעולה מותרת במובן שהגדרנו. פעולה זו היא הוצאת שורש. בפעולה זו אנו מפעילים את הפעולה המתמטית של מציאת שורש ריבועי על שני אגפי המשוואה על מנת למצוא את השורש של המספר. שיטה זו טובה רק במקרים מאוד מסויימים, אך הם מופיעים רבות.
ראשית, נזכיר מהו שורש ריבועי. שורש ריבועי הינו הפעולה ההפוכה להעלאה בריבוע כלומר, השורש של מספר הוא המספר שאותו, אם נעלה בריבוע נקבל את המספר המקורי. לפרטים נוספים חזור לפרק חזקות ושורשים.
עלינו לשים לב שכאן ישנו מלכוד משום שלמעשה ישנם שני מספרים שונים אשר יכולים להוות שורש של מספר אחר. למשל במקרה של המספר 81, המספרים $\;9$ וגם $\;-9$ שניהם יכולים להיות השורש. במתמטיקה נהוג לבחור באופן שרירותי את הפתרון החיובי אך במשוואות עלינו להיות מדוייקים יותר, שכן גם $\;-9$ וגם $\;9$ הם שורשים של 81.
מכיוון שכך, עלינו לשים לב שבפעולת הוצאת השורש אנו לא מאבדים פתרונות. על כן, אם נתונה המשוואה:

$\;x^2=81$

הפתרון הוא:

$\;x_{1,2}=\pm 9$

ולא, כפי שתלמידים רבים טועים: $\;x=9$ .

[עריכה] פתרון על ידי הטרינום הריבועי

נחזור למשוואה שהצגנו בראש העמוד. נתחיל את פתרון המשוואה בפירוק הטרינום לבינומים כפי שהוצג בפרק הטרינום הריבועי. לאחר חישוב מתקבל:

$\;x^2+5x-14=\left(x+7\right)\cdot\left(x-2\right)$

ביטוי זה אינו המשוואה שאנו מעוניינים לפתור. זהו רק אגף שמאל שלה, אשר פירקנו לגורמים בעזרת פירוק טרינום. במשוואה המקורית כתוב שאגף ימין שווה ל-0 כלומר

$\;x^2+5x-14=0$

או במילים אחרות

$\;\left(x+7\right)\cdot\left(x-2\right)=0$

נמשיך בפתרון כפי שעשינו בפרק הקודם. נחלק את המשוואה למקרים.

$\;x+7=0\Rightarrow x_1=-7$
$\;x-2=0\Rightarrow x_2=2$

ואז הפתרון של המשוואה המקורית שלנו הוא:
$\;x_1=-7,x_2=2$

[עריכה] הנוסחא לפתרון משוואה ריבועית

נציג את הפתרון בדרך השניה, כלומר בעזרת הנוסחא. אם נתונה לנו משוואה מהצורה $\ ax^2+bx+c=0$ הפתרונות יתקבלו על ידי: $\ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

זוהי נוסחה פשוטה יחסית שנותנת את הפתרון. נוסחה זו כוללת רק פעולות בסיסיות: חיבור, חיסור, כפל, חילוק והוצאת שורש. יש נוסחאות דומות אך מסובכות הרבה יותר עבור משוואות ממעלה שלישית ורביעית, וקיימת הוכחה שאין נוסחה כללית שמבוססת רק על פעולות בסיסיות עבור משוואה ממעלה חמישית ומעלה.
נשתמש כעת בנוסחא זו על מנת לפתור את המשוואה שפתרנו בעזרת הטרינום. במקרה זה $\;a=1,b=5$ ו $\;c=-14$ . נציב את הערכים הללו בנוסחא ונקבל:

$\ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}=\frac{-5 \pm \sqrt {5^2-4\cdot 1 \cdot\left(-14\right)}}{2\cdot 1}$

כאן מפרידים לפלוס ולמינוס ומקבלים:

$x_1=\frac{-5 + \sqrt {5^2-4\cdot 1 \cdot\left(-14\right)}}{2\cdot 1} = \frac{-5 + \sqrt {25+4\cdot 14}}{2} = \frac{-5 + \sqrt {81}}{2} = 2$
$x_2= \frac{-5 - \sqrt {5^2-4\cdot 1 \cdot\left(-14\right)}}{2\cdot 1} = \frac{-5 - \sqrt {25+4\cdot 14}}{2} = \frac{-5 - \sqrt {81}}{2} = -7$

והגענו בדיוק לאותם פתרונות שהגענו בדרך של הטרינום. קל לראות שהדרך של הטרינום היא קצרה בהרבה מהדרך של הנוסחא אך זו נחמה פורתא משום שהדרך של הטרינום אינה עובדת בחלק נכבד מהמקרים ובמקרים אלו נאלץ להשתמש בשיטה של הנוסחא.
מומלץ מאוד ללמוד נוסחא זו בעל-פה שכן היא נוסחא בעלת חשיבות טכנית עליונה.

[עריכה] הוכחת פתרון המשוואה הריבועית

כדי להוכיח את נכונות פתרון המשוואה הריבועית נשתמש בטכניקת ה"השלמה לריבוע"

$\!\, ax^2+bx+c=0$

נכפיל את המשוואה ב- $\;4a$ ונקבל:

$\!\, 4a^2 x^2 + 4abx + 4ac=0$

עכשיו נשתמש בהשלמה לריבוע ונוסיף לכל אגף את הביטוי $\ b^2 -4ac$ :

$\ 4a^2 x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac$

על האגף השמאלי נפעיל את נוסחאות הכפל המקוצר:

$\left(2ax+b\right)^2 = b^2-4ac$

נוציא שורש ריבועי משני האגפים:

$2ax_{1,2}+b=\pm\sqrt{b^2-4ac}$

מכיוון שביצענו פעולה של "הוצאת שורש" עלינו לשים לב שישנם שני פתרונות אפשריים. פתרונות אלו מסומנים בסימון $\ x_{1,2}$ ומתקבלים בעזרת הסימן $\pm$ כפי שהודגם בראש העמוד.
נחסיר $\;b$ משני אגפי המשוואה כדי לבודד את $\;x_{1,2}$ :

$2ax_{1,2}=-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }$

נחלק ב $\ 2a$ , ומכאן נקבל ש

$x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}$

כנדרש.

[עריכה] בחינת הפתרונות האפשריים

נשים לב לביטוי : $\ b^2-4ac$ שמופיע מתחת לשורש בנוסחה הכללית. לביטוי זה חשיבות כה גדולה עד כי ניתן לו שם מיוחד: הדיסקרימיננטה של המשוואה ונהוג לסמן אותו באות היוונית $\ \Delta$ (ד'לתה). על פי ערכה של הדיסקרימיננטה ניתן לדעת כמה פתרונות יש למשוואה:

אם $\ \Delta>0$ יש למשוואה שני פתרונות.
אם $\ \Delta=0$ יש למשוואה פתרון יחיד.
אם $\ \Delta<0$ אין למשוואה פתרונות במספרים ממשיים.

בעזרת שיטת הטרינום, לא ניתן לדעת בוודואות שאין פתרון למשוואה כלל. על מנת לדעת זאת, עלינו לנצל את הדיסקרימיננטה. נדון בנושא זה יותר לעומק בפרק חקירת משוואה ריבועית בהמשך.

הפרק הקודם:
הפעולות המותרות

משוואות ריבועיות
תרגילים

הפרק הבא:
משוואות עם שברים

[עריכה] משוואות ריבועיות - תרגילים

רשימת הפרקים

[עריכה] פתרון משוואות בעזרת טרינום - תרגילים

פתרו את המשוואות הבאות בעזרת פירוק טרינום וחלוקה למקרים, כפי שנלמד בפרק הקודם:

$\ {{3}{x}^{2}+{5}{x}+1} = {{2}{x}^{2}+{x}{-2}}$
$\ {{2}{x}^{2}-{x}} = {{x}^{2}}$
$\ {{x}^{2}{-2}{x}} = {-{x}}$
$\ {{x}^{2}+{5}{x}+{5}} = {{x}+{2}}$
$\ {-{x}+{2}} = {-{x}^{2}+{x}+{2}}$
$\ {{x}^{2}-{x}+1} = {-{x}+{2}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{3}{x}+{3}} = {{x}^{2}-{x}-1}$
$\ {-{x}^{2}{-2}{x}+{4}} = {{-2}{x}^{2}+{x}+{2}}$
$\ {{x}^{2}+{4}{x}+{3}} = {-1}$
$\ {{3}{x}^{2}{-5}} = {{2}{x}^{2}-{x}+1}$
$\ {{2}{x}+1} = {-{x}^{2}{-2}{x}{-2}}$
$\ {{x}^{2}{-5}} = {-1}$
$\ {{3}{x}^{2}+{2}{x}+{2}} = {{2}{x}^{2}-{x}}$
$\ {{x}^{2}{-3}{x}+{2}} = {{x}{-2}}$
$\ {{x}^{2}{-2}{x}+{5}} = {{2}{x}+{2}}$
$\ {{x}^{2}{-2}{x}{-2}} = {-{x}{-2}}$
$\ {{x}^{2}+{2}{x}+1} = {{2}{x}+1}$
$\ {{x}^{2}{-4}{x}+{5}} = {{2}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{4}{x}+{3}} = {{x}^{2}-1}$
$\ {{x}^{2}-1} = {-{x}+1}$
$\ {{x}^{2}-{x}-1} = {{x}+{2}}$
$\ {{x}^{2}-{x}{-3}} = {-1}$
$\ {{3}{x}^{2}+{3}{x}+{5}} = {{2}{x}^{2}{-2}{x}-1}$
$\ {{x}^{2}-{x}{-4}} = {{-2}}$
$\ {{x}^{2}{-4}{x}+{4}} = {1}$
$\ {{x}^{2}-{x}+1} = {-{x}+{2}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{x}{-8}} = {{x}^{2}{-2}}$
$\ {{x}^{2}{-4}} = {{2}{x}-1}$
$\ {{x}^{2}+{7}{x}+{5}} = {{2}{x}-1}$
$\ {{x}^{2}{-2}{x}{-5}} = {{-2}{x}-1}$
$\ {{x}^{2}{-7}{x}+{5}} = {{-2}{x}-1}$
$\ {{x}^{2}+{x}{-8}} = {{x}+1}$
$\ {{8}{x}+{10}} = {-{x}^{2}+{2}{x}+1}$
$\ {{x}^{2}{-5}{x}+{8}} = {{2}}$
$\ {-{x}^{2}{-2}} = {{-2}{x}^{2}+{2}{x}{-2}}$
$\ {{x}^{2}{-3}{x}{-2}} = {{-2}}$
$\ {{x}^{2}+{5}{x}+1} = {{x}{-2}}$
$\ {{x}^{2}-{x}{-2}} = {{-2}}$
$\ {{x}^{2}+{4}{x}+{2}} = {-1}$
$\ {{x}^{2}+{x}} = {{2}}$
$\ {{x}^{2}+{5}{x}+{8}} = {{2}}$
$\ {{x}^{2}{-3}{x}{-3}} = {-{x}}$
$\ {-{x}^{2}+{4}{x}-1} = {{-2}{x}^{2}+{2}{x}{-2}}$
$\ {{x}^{2}+{7}{x}+{9}} = {{x}}$
$\ {{x}^{2}+{4}{x}+{6}} = {{2}}$
$\ {{x}^{2}-{x}{-3}} = {-1}$
$\ {{x}^{2}+{5}{x}+{4}} = {{-2}}$
$\ {{2}{x}^{2}{-2}{x}+{2}} = {{x}^{2}-{x}+{2}}$
$\ {{x}^{2}{-6}{x}+{2}} = {{-2}{x}{-2}}$
$\ {{x}^{2}{-3}{x}+{4}} = {{2}}$

[עריכה] תשובות סופיות

$\ \left\{{{-3}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{1},{0}\right\}$
$\ \left\{{0},{1}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{0},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{1},{-1}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{1}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{{3}},{1}\right\}$
$\ \left\{{0},{1}\right\}$
$\ \left\{{0},{0}\right\}$
$\ \left\{{1},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{1}\right\}$
$\ \left\{{{3}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{1},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{-1},{1}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{-1},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{0},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{{3}},{0}\right\}$
$\ \left\{{-1},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{0},{1}\right\}$
$\ \left\{{-1},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{1},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{{3}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{-1},{-1}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{1},{0}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{1},{{2}}\right\}$

[עריכה] משוואות ריבועיות - תרגילים

פתרו את המשוואות הבאות בעזרת פירוק לטרינום וחלוקה למקרים:

$\ {{x}^{2}+{2}{x}{-6}} = {{-6}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{x}{-64}} = {{x}^{2}+{x}}$
$\ {{2}{x}^{2}{-4}} = {{-4}}$
$\ {{5}{x}^{2}{-11}{x}+{9}} = {{2}{x}^{2}+{x}}$
$\ {{2}{x}^{2}{-12}{x}{-3}} = {{-3}}$
$\ {{6}{x}-1} = {-{x}^{2}+{4}{x}{-2}}$
$\ {{x}^{2}{-3}{x}+{2}} = {{2}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{6}{x}{-33}} = {{3}}$
$\ {{2}{x}^{2}{-7}{x}{-6}} = {{x}+{4}}$
$\ {{x}^{2}{-4}{x}{-10}} = {{-2}{x}+{5}}$
$\ {{3}{x}^{2}+{42}{x}+{141}} = {{6}}$
$\ {{x}^{2}{-17}{x}+{69}} = {{-3}}$
$\ {{4}{x}{-15}} = {{-2}{x}^{2}+{2}{x}{-3}}$
$\ {{-5}{x}^{2}+{2}{x}{-9}} = {{-6}{x}^{2}+{4}{x}+{6}}$
$\ {-{x}^{2}+{x}{-22}} = {{-2}{x}^{2}{-2}}$
$\ {{3}{x}^{2}+{15}{x}{-110}} = {{-2}}$
$\ {{3}{x}^{2}{-3}{x}{-165}} = {{6}{x}{-3}}$
$\ {{7}{x}^{2}{-12}{x}{-78}} = {{4}{x}^{2}{-6}{x}{-6}}$
$\ {-{x}^{2}{-12}{x}{-65}} = {{-3}{x}^{2}{-4}{x}-1}$
$\ {{-3}{x}^{2}{-6}{x}{-14}} = {{-6}{x}^{2}{-3}{x}+{4}}$
$\ {{7}{x}^{2}+{14}{x}+{16}} = {{6}{x}^{2}+{3}{x}{-2}}$
$\ {{2}{x}^{2}{-168}} = {{-6}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{10}{x}{-76}} = {{-4}}$
$\ {{3}{x}^{2}+{x}+{3}} = {{-2}{x}+{3}}$
$\ {{3}{x}^{2}{-7}{x}{-3}} = {-{x}{-6}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{24}{x}+{84}} = {{-2}{x}}$
$\ {{8}{x}^{2}{-4}{x}{-2}} = {{6}{x}^{2}{-2}}$
$\ {{-18}{x}+{38}} = {{-2}{x}^{2}+{2}{x}{-4}}$
$\ {{2}{x}^{2}{-20}{x}+{6}} = {{-6}{x}{-6}}$
$\ {{-2}{x}^{2}{-2}{x}{-64}} = {{-3}{x}^{2}{-2}{x}}$
$\ {{3}{x}^{2}+{3}{x}{-123}} = {{3}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{28}{x}+{76}} = {{2}{x}{-4}}$
$\ {{3}{x}^{2}+{10}{x}{-71}} = {{-5}{x}+1}$
$\ {{x}^{2}+{7}{x}+{13}} = {{3}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{2}{x}{-25}} = {-1}$
$\ {{x}^{2}{-3}{x}{-40}} = {{-5}{x}{-5}}$
$\ {{4}{x}^{2}+{12}{x}{-88}} = {{2}{x}^{2}+{4}{x}+{2}}$
$\ {{8}{x}^{2}{-35}{x}+{93}} = {{5}{x}^{2}+{x}{-3}}$
$\ {{x}^{2}+{10}{x}{-18}} = {{5}{x}+{6}}$
$\ {{3}{x}^{2}{-9}{x}{-83}} = {1}$
$\ {{3}{x}^{2}+{18}{x}{-17}} = {{4}}$
$\ {{x}^{2}{-4}{x}{-50}} = {{-5}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{16}{x}{-17}} = {1}$
$\ {{3}{x}^{2}{-15}{x}{-77}} = {{-5}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{18}{x}+{25}} = {{2}{x}+1}$
$\ {{7}{x}^{2}{-11}{x}{-44}} = {{5}{x}^{2}-{x}+{4}}$
$\ {{x}^{2}+{5}{x}+{20}} = {{-5}{x}{-5}}$
$\ {{x}^{2}{-10}{x}+{20}} = {{-4}}$
$\ {{3}{x}^{2}{-18}{x}+{19}} = {{-5}}$
$\ {-{x}^{2}{-12}{x}+{25}} = {{-3}{x}^{2}+{2}{x}+{5}}$

[עריכה] תשובות סופיות

$\ \left\{{{-2}},{0}\right\}$
$\ \left\{{{-8}},{{8}}\right\}$
$\ \left\{{0},{0}\right\}$
$\ \left\{{1},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{6}},{0}\right\}$
$\ \left\{{-1},{-1}\right\}$
$\ \left\{{0},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{-6}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{-1},{{5}}\right\}$
$\ \left\{{{5}},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{{-9}},{{-5}}\right\}$
$\ \left\{{{9}},{{8}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{5}}\right\}$
$\ \left\{{{-5}},{{4}}\right\}$
$\ \left\{{{-9}},{{4}}\right\}$
$\ \left\{{{9}},{{-6}}\right\}$
$\ \left\{{{-4}},{{6}}\right\}$
$\ \left\{{{-4}},{{8}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{-9}},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{{-9}},{{9}}\right\}$
$\ \left\{{{4}},{{-9}}\right\}$
$\ \left\{{-1},{0}\right\}$
$\ \left\{{1},{1}\right\}$
$\ \left\{{{-6}},{{-7}}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{0}\right\}$
$\ \left\{{{7}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{1},{{6}}\right\}$
$\ \left\{{{-8}},{{8}}\right\}$
$\ \left\{{{-7}},{{6}}\right\}$
$\ \left\{{{-8}},{{-5}}\right\}$
$\ \left\{{{-8}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{-5}}\right\}$
$\ \left\{{{-4}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{-7}},{{5}}\right\}$
$\ \left\{{{-9}},{{5}}\right\}$
$\ \left\{{{4}},{{8}}\right\}$
$\ \left\{{{-8}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{-4}},{{7}}\right\}$
$\ \left\{{{-7}},{1}\right\}$
$\ \left\{{{9}},{{-5}}\right\}$
$\ \left\{{{-9}},{1}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{8}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{-6}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{8}}\right\}$
$\ \left\{{{-5}},{{-5}}\right\}$
$\ \left\{{{6}},{{4}}\right\}$
$\ \left\{{{4}},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{{5}}\right\}$

[עריכה] נוסחאת השורשים - תרגילים

פתרו את המשוואות הבאות בעזרת נוסחאת השורשים לפתרון משוואה ריבועית

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

וללא שימוש בפירוק טרינום. בכל תרגיל גם חשבו את הדיסקרימיננטה $\Delta=\sqrt{b^2-4ac}$ :

$\ {{6}{x}^{2}+{6}{x}+{4}} = {{4}{x}^{2}+{2}{x}+{4}}$
$\ {{3}{x}^{2}+{22}{x}+{57}} = {{x}^{2}{-3}}$
$\ {-{x}^{2}+{6}{x}{-4}} = {{-2}{x}^{2}{-4}}$
$\ {-{x}^{2}+{22}{x}+{56}} = {{-3}{x}^{2}{-4}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{4}{x}{-21}} = {{-4}{x}+{3}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{14}{x}+{15}} = {{3}}$
$\ {{x}^{2}+{5}{x}+{7}} = {-{x}-1}$
$\ {{x}^{2}+{6}{x}+{9}} = {1}$
$\ {{2}{x}^{2}{-15}{x}+{34}} = {{x}+{4}}$
$\ {{x}^{2}-{x}{-5}} = {1}$
$\ {{-2}{x}^{2}+{14}{x}+{28}} = {{-4}{x}^{2}{-2}{x}{-2}}$
$\ {{x}^{2}+{5}{x}{-3}} = {{x}{-3}}$
$\ {{2}{x}^{2}{-7}{x}{-26}} = {{-3}{x}+{4}}$
$\ {{2}{x}^{2}{-5}} = {{3}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{4}{x}+1} = {-1}$
$\ {{2}{x}^{2}{-17}{x}+{35}} = {{x}-1}$
$\ {{-3}{x}^{2}{-9}{x}} = {{-4}{x}^{2}{-3}{x}}$
$\ {{x}^{2}+{2}{x}{-26}} = {{-2}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{8}{x}+{9}} = {1}$
$\ {{-2}{x}^{2}+{4}{x}+1} = {{-3}{x}^{2}-{x}{-3}}$
$\ {{x}^{2}+{7}{x}+{8}} = {{-4}}$
$\ {{x}^{2}{-6}{x}{-34}} = {-{x}^{2}{-2}{x}{-4}}$
$\ {{x}^{2}{-6}{x}+{5}} = {{-3}}$
$\ {{2}{x}^{2}{-8}{x}+{2}} = {{-4}}$
$\ {-{x}^{2}{-4}{x}{-6}} = {{-3}{x}^{2}+{2}{x}+{2}}$
$\ {{x}^{2}+{x}{-26}} = {{4}}$
$\ {{2}{x}^{2}{-18}{x}+{21}} = {{-4}{x}+1}$
$\ {{2}{x}^{2}+{7}{x}+{15}} = {{x}^{2}-{x}-1}$
$\ {{x}^{2}+{x}{-15}} = {{4}{x}+{3}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{5}{x}{-11}} = {{-3}{x}-1}$
$\ {{x}^{2}-{x}{-14}} = {{-2}{x}{-2}}$
$\ {{2}{x}^{2}{-8}{x}+{8}} = {{2}}$
$\ {{6}{x}^{2}+{x}+1} = {{4}{x}^{2}{-3}{x}+1}$
$\ {{-2}{x}^{2}{-4}{x}{-27}} = {{-3}{x}^{2}{-2}{x}{-3}}$
$\ {{x}^{2}+{8}{x}+{19}} = {{3}}$
$\ {{5}{x}^{2}{-12}{x}+{11}} = {{4}{x}^{2}{-4}{x}{-4}}$
$\ {{3}{x}^{2}{-7}{x}+{9}} = {{2}{x}^{2}{-2}{x}+{3}}$
$\ {{3}{x}^{2}+{6}{x}+{6}} = {{x}^{2}+{2}{x}+{4}}$
$\ {{2}{x}^{2}{-18}{x}+{22}} = {{-4}{x}{-2}}$
$\ {{6}{x}{-21}} = {{-2}{x}^{2}-1}$
$\ {{2}{x}^{2}{-33}} = {-1}$
$\ {{x}^{2}+{7}{x}{-7}} = {{4}{x}{-3}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{9}{x}+{12}} = {{x}^{2}+{3}{x}+{4}}$
$\ {{4}{x}^{2}-{x}+{4}} = {{2}{x}^{2}+{3}{x}+{4}}$
$\ {{2}{x}^{2}{-4}{x}+{4}} = {{4}{x}{-4}}$
$\ {{x}^{2}+{8}{x}{-45}} = {-{x}^{2}+{4}{x}+{3}}$
$\ {{x}^{2}} = {1}$
$\ {{x}^{2}{-6}{x}+{27}} = {{4}{x}+{2}}$
$\ {{10}{x}+{20}} = {{-2}{x}^{2}{-4}{x}}$
$\ {{x}^{2}{-7}{x}{-13}} = {{-4}{x}{-3}}$

[עריכה] תשובות סופיות

$\ \left\{{{-2}},{0}\right\}$
$\ \left\{{{-5}},{{-6}}\right\}$
$\ \left\{{{-6}},{0}\right\}$
$\ \left\{{{-6}},{{-5}}\right\}$
$\ \left\{{{-6}},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{{-6}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{-4}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{-4}}\right\}$
$\ \left\{{{5}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{-5}},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{{-4}},{0}\right\}$
$\ \left\{{{5}},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{-1},{-1}\right\}$
$\ \left\{{{6}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{0},{{6}}\right\}$
$\ \left\{{{-6}},{{4}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{{-4}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{-4}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{5}}\right\}$
$\ \left\{{{4}},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{{3}},{1}\right\}$
$\ \left\{{{4}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{{5}},{{-6}}\right\}$
$\ \left\{{{5}},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{{-4}},{{-4}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{6}}\right\}$
$\ \left\{{1},{{-5}}\right\}$
$\ \left\{{{-4}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{1},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{0}\right\}$
$\ \left\{{{6}},{{-4}}\right\}$
$\ \left\{{{-4}},{{-4}}\right\}$
$\ \left\{{{3}},{{5}}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{-1},{-1}\right\}$
$\ \left\{{{3}},{{4}}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{{-5}}\right\}$
$\ \left\{{{-4}},{{4}}\right\}$
$\ \left\{{1},{{-4}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{-4}}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{0}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{{-6}},{{4}}\right\}$
$\ \left\{{1},{-1}\right\}$
$\ \left\{{{5}},{{5}}\right\}$
$\ \left\{{{-5}},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{5}}\right\}$

[עריכה] נוסחת השורשים - תרגילים

פתרו את התרגילים הבאים בעזרת נוסחת השורשים של משוואה ריבועית. מותר ועדיף להשתמש במחשבון. מומלץ לצמצם גורמים משותפים לפני הצבה בנוסחת השורשים על ידי חילוק בהם.

$\ {{7}{x}^{2}{-\frac{115}{12}}{x}{-\frac{389}{14}}} = {{6}{x}^{2}{-\frac{7}{3}}{x}{-\frac{2}{7}}}$
$\ {{\frac{3}{2}}{x}^{2}+{\frac{29}{10}}{x}{-\frac{42}{5}}} = {{\frac{1}{2}}{x}^{2}{-\frac{8}{5}}{x}+{\frac{3}{5}}}$
$\ {{x}^{2}+{\frac{97}{12}}{x}+{\frac{211}{24}}} = {{\frac{4}{3}}{x}{-\frac{4}{3}}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{\frac{4}{3}}{x}{-\frac{19}{12}}} = {{\frac{7}{4}}}$
$\ {{4}{x}^{2}{-22}{x}+{\frac{158}{5}}} = {{\frac{8}{5}}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{14}{x}+{\frac{85}{4}}} = {{-\frac{5}{4}}}$
$\ {{\frac{2}{3}}{x}^{2}{-\frac{5}{4}}{x}{-\frac{31}{2}}} = {{-\frac{4}{3}}{x}^{2}{-\frac{5}{4}}{x}{-3}}$
$\ {{2}{x}^{2}{-\frac{67}{4}}{x}{-\frac{107}{2}}} = {{\frac{3}{4}}{x}{-4}}$
$\ {{\frac{35}{8}}{x}^{2}+{19}{x}+{28}} = {{\frac{3}{8}}{x}^{2}{-2}{x}+{\frac{1}{2}}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{\frac{9}{4}}{x}{-\frac{113}{30}}} = {{x}^{2}+{\frac{1}{6}}{x}+{\frac{2}{5}}}$
$\ {{x}^{2}+{\frac{7}{6}}{x}{-\frac{22}{3}}} = {{\frac{1}{2}}{x}{-\frac{1}{3}}}$
$\ {{4}{x}^{2}+{14}{x}{-\frac{22}{3}}} = {{\frac{2}{3}}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{\frac{50}{3}}{x}{-\frac{355}{4}}} = {{-\frac{3}{4}}}$
$\ {{\frac{1}{2}}{x}^{2}+{8}{x}+{\frac{11}{3}}} = {{-\frac{7}{2}}{x}^{2}{-\frac{4}{3}}{x}+1}$
$\ {{3}{x}^{2}+{\frac{149}{10}}{x}{-\frac{239}{14}}} = {{\frac{7}{5}}{x}{-\frac{4}{7}}}$
$\ {{\frac{31}{8}}{x}^{2}{-\frac{162}{7}}{x}{-60}} = {{\frac{7}{8}}{x}^{2}+{\frac{6}{7}}{x}}$
$\ {{4}{x}^{2}+{10}{x}{-104}} = {{-2}{x}+{8}}$
$\ {{\frac{8}{7}}{x}^{2}+{\frac{46}{5}}{x}+{\frac{33}{4}}} = {{-\frac{6}{7}}{x}^{2}+{\frac{6}{5}}{x}+{\frac{1}{4}}}$
$\ {{-\frac{2}{5}}{x}^{2}+{\frac{1}{2}}{x}{-15}} = {{-\frac{7}{5}}{x}^{2}+{\frac{1}{2}}{x}+1}$
$\ {{x}^{2}+{\frac{11}{4}}{x}+{\frac{45}{28}}} = {{-\frac{1}{7}}}$
$\ {{x}^{2}{-\frac{7}{3}}{x}{-\frac{2}{3}}} = {{-2}}$
$\ {{4}{x}^{2}+{12}{x}{-\frac{214}{3}}} = {{\frac{2}{3}}}$
$\ {{4}{x}^{2}+{8}{x}+{2}} = {{-2}}$
$\ {{x}^{2}{-\frac{13}{2}}{x}+{\frac{53}{5}}} = {{\frac{3}{5}}}$
$\ {{x}^{2}+{\frac{91}{15}}{x}+{\frac{57}{8}}} = {{\frac{2}{5}}{x}{-\frac{7}{8}}}$
$\ {{\frac{3}{2}}{x}^{2}+{\frac{8}{3}}{x}{-\frac{161}{8}}} = {{-\frac{5}{2}}{x}^{2}{-\frac{4}{3}}{x}{-\frac{7}{8}}}$
$\ {{\frac{13}{4}}{x}^{2}{-4}{x}{-5}} = {{-\frac{3}{4}}{x}^{2}+{x}+{4}}$
$\ {{x}^{2}+{\frac{21}{4}}{x}{-\frac{69}{4}}} = {{-5}}$
$\ {{x}^{2}{-\frac{73}{14}}{x}{-\frac{153}{8}}} = {{\frac{2}{7}}{x}+{\frac{7}{8}}}$
$\ {{9}{x}^{2}{-\frac{47}{6}}{x}{-28}} = {{5}{x}^{2}+{\frac{7}{6}}{x}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{\frac{38}{3}}{x}+{\frac{389}{21}}} = {{-\frac{1}{7}}}$
$\ {{4}{x}^{2}+{\frac{32}{3}}{x}{-\frac{7}{2}}} = {{-\frac{7}{2}}}$
$\ {{3}{x}^{2}{-6}{x}+{\frac{7}{4}}} = {{-\frac{1}{2}}}$
$\ {{\frac{7}{3}}{x}^{2}{-\frac{26}{7}}{x}+{\frac{5}{8}}} = {{-\frac{2}{3}}{x}^{2}{-\frac{5}{7}}{x}+{\frac{5}{8}}}$
$\ {{x}^{2}{-\frac{32}{3}}{x}+{\frac{172}{21}}} = {{-5}{x}+{\frac{6}{7}}}$
$\ {{x}^{2}{-\frac{4}{3}}{x}{-4}} = {1}$
$\ {{2}{x}^{2}{-6}{x}{-\frac{35}{3}}} = {{\frac{4}{3}}{x}+{\frac{5}{3}}}$
$\ {{\frac{30}{7}}{x}^{2}+{\frac{33}{2}}{x}{-\frac{195}{4}}} = {{\frac{2}{7}}{x}^{2}+{\frac{1}{2}}{x}{-\frac{3}{4}}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{\frac{86}{3}}{x}+{73}} = {{-\frac{4}{3}}{x}+1}$
$\ {{3}{x}^{2}{-21}{x}+{37}} = {1}$
$\ {{4}{x}^{2}{-46}{x}+{\frac{786}{7}}} = {{\frac{2}{7}}}$
$\ {{x}^{2}+{\frac{67}{5}}{x}+{31}} = {{-\frac{3}{5}}{x}{-2}}$
$\ {{4}{x}^{2}{-\frac{8}{21}}{x}{-\frac{140}{3}}} = {{\frac{2}{7}}{x}}$
$\ {{3}{x}^{2}{-\frac{281}{28}}{x}+{\frac{25}{8}}} = {{-\frac{2}{7}}{x}{-\frac{5}{2}}}$
$\ {{4}{x}^{2}+{42}{x}+{26}} = {{6}}$
$\ {{x}^{2}+{\frac{7}{3}}{x}{-\frac{79}{21}}} = {{-\frac{3}{7}}}$
$\ {{\frac{17}{4}}{x}^{2}{-\frac{10}{3}}{x}{-\frac{1081}{21}}} = {{\frac{1}{4}}{x}^{2}{-4}{x}{-\frac{1}{7}}}$
$\ {{x}^{2}{-\frac{5}{4}}{x}{-\frac{27}{2}}} = {{-\frac{1}{2}}{x}{-8}}$
$\ {{-\frac{40}{3}}{x}+{\frac{25}{3}}} = {-{x}^{2}{-\frac{5}{3}}{x}+1}$
$\ {{4}{x}^{2}+{\frac{43}{3}}{x}+{\frac{13}{3}}} = {{\frac{4}{3}}{x}+{\frac{4}{3}}}$

[עריכה] תשובות סופיות

$\ \left\{{{-\frac{11}{4}}},{{10}}\right\}$
$\ \left\{{{-6}},{{\frac{3}{2}}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{9}{4}}},{{-\frac{9}{2}}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{5}{3}}},{1}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{5}{2}}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{9}{2}}},{{-\frac{5}{2}}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{5}{2}}},{{\frac{5}{2}}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{9}{4}}},{{11}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{11}{4}}},{{-\frac{5}{2}}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{5}{4}}},{{-\frac{10}{3}}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{\frac{7}{3}}}\right\}$
$\ \left\{{{-4}},{{\frac{1}{2}}}\right\}$
$\ \left\{{{-12}},{{\frac{11}{3}}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{-\frac{1}{3}}}\right\}$
$\ \left\{{1},{{-\frac{11}{2}}}\right\}$
$\ \left\{{{10}},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{{-7}},{{4}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{{4}},{{-4}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{7}{4}}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{1},{{\frac{4}{3}}}\right\}$
$\ \left\{{{-6}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{-1},{-1}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{5}{2}}},{{4}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{-\frac{8}{3}}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{7}{4}}},{{-\frac{11}{4}}}\right\}$
$\ \left\{{-1},{{\frac{9}{4}}}\right\}$
$\ \left\{{{-7}},{{\frac{7}{4}}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{5}{2}}},{{8}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{7}{4}}},{{4}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{7}{3}}},{{-4}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{8}{3}}},{0}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{3}{2}}},{{\frac{1}{2}}}\right\}$
$\ \left\{{0},{1}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{{\frac{11}{3}}}\right\}$
$\ \left\{{{3}},{{-\frac{5}{3}}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{4}{3}}},{{5}}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{{-6}}\right\}$
$\ \left\{{{-12}},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{{3}},{{4}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{7}{2}}},{{8}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{-11}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{7}{2}}},{{-\frac{10}{3}}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{5}{2}}},{{\frac{3}{4}}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{1}{2}}},{{-10}}\right\}$
$\ \left\{{1},{{-\frac{10}{3}}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{7}{2}}},{{-\frac{11}{3}}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{\frac{11}{4}}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{2}{3}}},{{11}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{-\frac{1}{4}}}\right\}$

[עריכה] נוסחת השורשים - תרגילים

פתרו את המשוואות הבאות בעזרת נוסחת השורשים, או בכל דרך אחרת. מותר להשתמש במחשבון.

$\ {{5}{x}^{2}{-5}{x}{-\frac{2929}{12}}} = {{-\frac{1}{3}}}$
$\ {{\frac{25}{13}}{x}^{2}{-\frac{47}{60}}{x}{-\frac{306}{11}}} = {{\frac{12}{13}}{x}^{2}{-\frac{13}{4}}{x}+{\frac{2}{11}}}$
$\ {{5}{x}^{2}+{\frac{123}{2}}{x}{-\frac{1615}{2}}} = {{9}{x}}$
$\ {{\frac{1}{4}}{x}^{2}+{\frac{149}{22}}{x}{-\frac{161}{3}}} = {{-\frac{3}{4}}{x}^{2}{-\frac{8}{11}}{x}+{\frac{1}{3}}}$
$\ {{5}{x}^{2}{-\frac{275}{21}}{x}{-\frac{2649}{70}}} = {{-\frac{7}{10}}}$
$\ {{7}{x}^{2}+{\frac{105}{4}}{x}+{\frac{763}{52}}} = {{-\frac{14}{13}}}$
$\ {{3}{x}^{2}+{\frac{1}{5}}{x}{-41}} = {{-\frac{7}{5}}}$
$\ {{x}^{2}+{\frac{1}{2}}{x}{-\frac{103}{9}}} = {{-2}}$
$\ {{6}{x}^{2}+{\frac{10134}{91}}{x}+{\frac{9813}{56}}} = {{-\frac{12}{13}}{x}+{\frac{3}{8}}}$
$\ {{6}{x}^{2}{-\frac{101}{7}}{x}+{\frac{148}{7}}} = {{4}{x}+{7}}$
$\ {{\frac{14}{5}}{x}^{2}+{\frac{743}{70}}{x}+{\frac{201}{40}}} = {{-\frac{6}{5}}{x}^{2}+{\frac{3}{14}}{x}{-\frac{11}{8}}}$
$\ {{x}^{2}+{\frac{33}{10}}{x}+{\frac{56}{15}}} = {{\frac{7}{3}}}$
$\ {{4}{x}^{2}{-\frac{226}{5}}{x}+{\frac{486}{5}}} = {{2}}$
$\ {{6}{x}^{2}{-\frac{150}{7}}{x}+{\frac{285}{14}}} = {{\frac{3}{2}}}$
$\ {{3}{x}^{2}+{\frac{303}{10}}{x}+{\frac{386}{5}}} = {{7}}$
$\ {{\frac{68}{11}}{x}^{2}+{\frac{769}{21}}{x}{-\frac{302}{11}}} = {{-\frac{9}{11}}{x}^{2}{-\frac{5}{7}}{x}+{\frac{6}{11}}}$
$\ {{5}{x}^{2}+{\frac{927}{28}}{x}+{\frac{393}{7}}} = {{-\frac{9}{14}}{x}+{\frac{8}{7}}}$
$\ {{\frac{49}{12}}{x}^{2}+{\frac{298}{63}}{x}{-29}} = {{\frac{13}{12}}{x}^{2}+{\frac{13}{9}}{x}{-\frac{5}{7}}}$
$\ {{\frac{22}{7}}{x}^{2}{-\frac{73}{4}}{x}+{\frac{671}{40}}} = {{\frac{1}{7}}{x}^{2}-{x}{-\frac{1}{10}}}$
$\ {{3}{x}^{2}+{\frac{40}{7}}{x}+{\frac{1203}{91}}} = {{-8}{x}{-\frac{12}{13}}}$
$\ {{3}{x}^{2}+{\frac{971}{12}}{x}+{\frac{1817}{4}}} = {{-\frac{1}{12}}{x}{-\frac{7}{4}}}$
$\ {{7}{x}^{2}{-\frac{581}{15}}{x}+{\frac{311}{6}}} = {{\frac{1}{2}}}$
$\ {{x}^{2}+{5}{x}+{\frac{69}{20}}} = {{-\frac{9}{5}}}$
$\ {{7}{x}^{2}{-14}{x}{-\frac{59}{3}}} = {{\frac{4}{3}}}$
$\ {{x}^{2}+{\frac{57}{14}}{x}+{\frac{29}{35}}} = {{\frac{3}{14}}{x}+{\frac{7}{5}}}$
$\ {{x}^{2}{-\frac{1}{7}}{x}+{\frac{11}{14}}} = {-{x}+{\frac{11}{14}}}$
$\ {{2}{x}^{2}{-52}{x}+{\frac{1681}{5}}} = {{-\frac{9}{5}}}$
$\ {{\frac{25}{12}}{x}^{2}{-\frac{257}{35}}{x}{-\frac{22}{49}}} = {{\frac{1}{12}}{x}^{2}{-\frac{1}{5}}{x}{-6}}$
$\ {{\frac{89}{13}}{x}^{2}+{\frac{33}{20}}{x}{-\frac{313}{65}}} = {{-\frac{2}{13}}{x}^{2}+{2}{x}{-\frac{8}{13}}}$
$\ {{3}{x}^{2}{-\frac{3}{4}}{x}{-\frac{311}{4}}} = {1}$
$\ {{x}^{2}{-\frac{19}{5}}{x}+{\frac{37}{5}}} = {{5}}$
$\ {{\frac{28}{11}}{x}^{2}+{26}{x}+{\frac{139}{7}}} = {{-\frac{5}{11}}{x}^{2}{-\frac{1}{4}}{x}+{\frac{13}{7}}}$
$\ {{x}^{2}{-\frac{220}{21}}{x}+{\frac{271}{21}}} = {{-2}{x}{-\frac{2}{3}}}$
$\ {{3}{x}^{2}+{3}{x}{-\frac{88}{13}}} = {{-\frac{10}{13}}}$
$\ {{5}{x}^{2}+{\frac{463}{10}}{x}{-\frac{247}{5}}} = {{\frac{13}{10}}{x}+{\frac{3}{5}}}$
$\ {{2}{x}^{2}{-\frac{1}{7}}{x}+{\frac{8}{11}}} = {{x}+{\frac{8}{11}}}$
$\ {{x}^{2}{-\frac{55}{3}}{x}+{\frac{328}{15}}} = {{-\frac{4}{5}}}$
$\ {{x}^{2}+{\frac{8}{5}}{x}{-\frac{2132}{225}}} = {{\frac{13}{9}}}$
$\ {{\frac{7}{5}}{x}^{2}+{\frac{99}{7}}{x}{-\frac{122}{3}}} = {{-\frac{3}{5}}{x}^{2}{-\frac{13}{7}}{x}{-\frac{2}{3}}}$
$\ {{\frac{25}{9}}{x}^{2}+{\frac{106}{5}}{x}+{\frac{175}{4}}} = {{-\frac{2}{9}}{x}^{2}{-\frac{9}{5}}{x}+1}$
$\ {{4}{x}^{2}+{\frac{295}{14}}{x}{-\frac{146}{11}}} = {{-\frac{13}{14}}{x}{-\frac{14}{11}}}$
$\ {{4}{x}^{2}+{8}{x}+{\frac{181}{49}}} = {1}$
$\ {{6}{x}^{2}{-72}{x}+{\frac{793}{12}}} = {{\frac{1}{12}}}$
$\ {{\frac{79}{11}}{x}^{2}{-8}{x}{-\frac{341}{5}}} = {{\frac{13}{11}}{x}^{2}+{4}{x}{-\frac{7}{10}}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{\frac{14}{3}}{x}{-\frac{10}{3}}} = {-{x}}$
$\ {{6}{x}^{2}+{167}{x}+{\frac{5684}{5}}} = {{-13}{x}+{\frac{14}{5}}}$
$\ {{7}{x}^{2}+{\frac{49}{2}}{x}+{\frac{133}{8}}} = {{-\frac{7}{8}}}$
$\ {{5}{x}^{2}+{\frac{25}{14}}{x}{-\frac{233}{182}}} = {{-\frac{12}{13}}}$
$\ {{4}{x}^{2}+{48}{x}+{\frac{5}{2}}} = {{\frac{5}{2}}}$
$\ {{7}{x}^{2}{-\frac{161}{5}}{x}+{\frac{1933}{175}}} = {{-\frac{5}{7}}}$

[עריכה] תשובות סופיות

$\ \left\{{{-\frac{13}{2}}},{{\frac{15}{2}}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{21}{5}}},{{-\frac{20}{3}}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{17}{2}}},{{-19}}\right\}$
$\ \left\{{{-12}},{{\frac{9}{2}}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{13}{3}}},{{-\frac{12}{7}}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{3}{4}}},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{18}{5}}},{{-\frac{11}{3}}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{17}{6}}},{{-\frac{10}{3}}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{12}{7}}},{{-17}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{3}{2}}},{{\frac{11}{7}}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{8}{5}}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{1}{2}}},{{-\frac{14}{5}}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{14}{5}}},{{\frac{17}{2}}}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{{\frac{11}{7}}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{13}{2}}},{{-\frac{18}{5}}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{2}{3}}},{{-6}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{11}{4}}},{{-4}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{18}{7}}},{{-\frac{11}{3}}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{9}{2}}},{{\frac{5}{4}}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{11}{7}}},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{{-19}},{{-8}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{11}{5}}},{{\frac{10}{3}}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{7}{2}}},{{-\frac{3}{2}}}\right\}$
$\ \left\{{-1},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{1}{7}}},{{-4}}\right\}$
$\ \left\{{0},{{-\frac{6}{7}}}\right\}$
$\ \left\{{{13}},{{13}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{8}{7}}},{{\frac{17}{7}}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{4}{5}}},{{-\frac{3}{4}}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{21}{4}}},{{-5}}\right\}$
$\ \left\{{{3}},{{\frac{4}{5}}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{3}{4}}},{{-8}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{15}{7}}},{{\frac{19}{3}}}\right\}$
$\ \left\{{1},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{{-10}},{1}\right\}$
$\ \left\{{0},{{\frac{4}{7}}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{4}{3}}},{{17}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{13}{5}}},{{-\frac{21}{5}}}\right\}$
$\ \left\{{{-10}},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{19}{6}}},{{-\frac{9}{2}}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{1}{2}}},{{-6}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{3}{7}}},{{-\frac{11}{7}}}\right\}$
$\ \left\{{1},{{11}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{9}{2}}},{{-\frac{5}{2}}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{10}{3}}},{{\frac{1}{2}}}\right\}$
$\ \left\{{{-21}},{{-9}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{5}{2}}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{1}{2}}},{{\frac{1}{7}}}\right\}$
$\ \left\{{0},{{-12}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{21}{5}}},{{\frac{2}{5}}}\right\}$

[עריכה] נוסחאות וייטה

נוסחאות וייטה הן נוסחאות המקשרות בין הפתרונות של משוואה ריבועית $\;ax^2+bx+c=0$ שיסומנו ב- $\;\{x_1,x_2\}$ , לבין מקדמי המשוואה. הנוסחאות מאפשרות לנו לחקור את התכונות של המשוואה הריבועית, וגם לחשב בקלות את הפתרון השני במידה והפתרון הראשון נתון כבר. הנוסחאות הן:

$\;x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
$\;x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

בנושא חקירת משוואה ריבועית נשתמש ביותר פירוט בנוסחאות וייטה לצורך לחקירת משוואות ריבועיות הנתונות באופן פרמטרי.

[עריכה] נכונות הנוסחאות

על מנת להראות את נכונות הנוסחאות, נניח ש- $\;x_1$ הוא פתרון של המשוואה $\;ax^2+bx+c=0$ . נתבונן בנוסחת הסכום $\;x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ . מתוך נוסחא זו, ניתן לבודד את $\;x_2$ . נקבל ש

$\;x_2=-\left(\frac{b}{a}+x_1\right)$

אם $\;x_2$ שבודדנו מהנוסחא גם הוא פתרון, אז הנוסחא נכונה, כי הנחנו ש- $\;x_1$ הוא פתרון ומתוך זה הגענו לזה ש- $\;x_2=-\left(\frac{b}{a}+x_1\right)$ אף הוא פתרון. על מנת לבדוק זאת, עלינו פשוט להציב במשוואה: $\;ax^2+bx+c = 0$

$\begin{matrix} a{x_2}^2+bx_2+c & = & a\left[-\left(\frac{b}{a}+x_1\right)\right]^2 + b\left[-\left(\frac{b}{a} + x_1\right)\right] + c \\ \ & = & a\left(\frac{b^2}{a^2}+2 x_1\frac{b}{a} + {x_1}^2\right)-\frac{b^2}{a}-b x_1+c \\ \ & = & \frac{b^2}{a}+2a x_1\frac{b}{a} + a{x_1}^2-\frac{b^2}{a}-b x_1+c \\ \ & = & \frac{b^2}{a}+2b x_1 + a{x_1}^2-\frac{b^2}{a}-b x_1+c \\ \ & = & b x_1 + a{x_1}^2+c \\ \ & = & 0 \end{matrix}$

שימו לב, המעבר האחרון הוא נכון בגלל ש $\;x_1$ הוא פתרון של המשוואה כפי שהנחנו. הגענו לתוצאה ש- $\;x_2$ הוא פתרון של המשוואה, מתוך זה ש- $\;x_1$ הוא פתרון, וזה אומר שהצלחנו להראות את הקשר הנדרש.

אלגברה תיכונית/משוואות/נוסחאות ויאטה/תרגילים

[עריכה] משוואות עם שברים

אנו מתקדמים כעת לנושא של משוואות עם שברים. אין למעשה הבדל תיאורטי בין נושא זה לבין הנושאים הקודמים ולא נלמד פה נושאים חדשים, אלא נשכלל מעט את הידע שכבר רכשנו בתחום פתרון המשוואות.

[עריכה] מכנה משותף

מציאת מכנה משותף הינה פעולה פשוטה וחשובה בפתרון משוואות עם שברים. נתבונן במשוואה הבאה:

$\frac{x}{4x-12}+\frac{1}{x-5}=0$

על מנת לפתור משוואה זו, עלינו "להיפטר" מהשברים ולעבור למשוואה אחרת שאותה אנחנו כבר יודעים לפתור, כמו למשל משוואה ריבועית. על מנת לעשות זאת, נמצא ראשית את המכנה המשותף לכל השברים המופיעים במשוואה. במקרה זה, המכנה המשותף הוא בדיוק $\ \left(4x-12\right)\cdot\left(x-5\right)$ . לאחר שמצאנו את המכנה המשותף נוכל לכפול בו את המשוואה כולה, שכן ברור שהמכנים לא יכולים להיות 0, אחרת המשוואה מאבדת את משמעותה. על כן:

$\frac{x}{4x-12}+\frac{1}{x-5}=0\ \ \ \ \ /\ \ \cdot\left(4x-12\right)\cdot\left(x-5\right)$
$\left(\frac{x}{4x-12}+\frac{1}{x-5}\right)\cdot\left(4x-12\right)\cdot\left(x-5\right)=0$
$\frac{x}{4x-12}\cdot\left(4x-12\right)\cdot\left(x-5\right) +\frac{1}{x-5}\cdot\left(4x-12\right)\cdot\left(x-5\right)=0$
$\;x\cdot\left(x-5\right)+4x-12=0$
$\;x^2-x-12=0$

את המשוואה האחרונה נפתור בעזרת נוסחת השורשים של משוואה ריבועית (זו שראינו בפרק הקודם). נקבל ש

$x_{1\,2}=\frac{1\pm \sqrt{1^2-4\cdot\left(-12\right)}}{2}= \frac{1 \pm 7}{2}$
$\;x_1=4$
$\;x_2=-3$

[עריכה] גורמים משותפים

לעיתים לא ניתן לפתור את המשוואה באופן טכני לחלוטין. כדוגמא ניקח את המשוואה

$x- \frac{7x-63}{x}+\frac{6\left(x-9\right)}{x^2}=9$

משוואה זו אינה נראית פשוטה כלל ועיקר. עלינו לפתור את המשוואה בשלבים. ראשית נחפש מכנה משותף על מנת "להפטר" מהשברים. נבצע זאת על ידי הכפלה ב- $\;x^2$ . ניתן לעשות זאת כך משום שהמכנים לעולם אינם 0 כי אחרת לביטוי אין שום משמעות. פעולה זו תהפוך את המשוואה למשוואה ללא שברים כך:

$x- \frac{7x-63}{x}+\frac{6\left(x-9\right)}{x^2}=9\;\;\;\;\;/\;\;\cdot x^2$
$x^2\cdot\left(x- \frac{7x-63}{x}+\frac{6\left(x-9\right)}{x^2}\right)=x^2\cdot 9$
$x^2\cdot x- x^2\cdot\frac{7x-63}{x}+x^2\cdot\frac{6\left(x-9\right)}{x^2}=9x^2$
$x^3- x\left(7x-63\right)+6\left(x-9\right)=9x^2$
$x^3- 7x^2+63x+6\left(x-9\right)=9x^2$

כאן נעצור לרגע. אם נמשיך לכנס אברים, לא נוכל להמשיך לפתור משום שנקבל משוואה ממעלה שלישית אשר איננו יודעים כיצד לפתור. עלינו למצוא דרך אחרת לפתרון. נשים לב ש-63 הוא כפולה של 9 ו 7 ולכן נוכל לסגור $\;x-9$ בתוך סוגרים ונקבל

$x^3- 7x\left(x-9\right)+6\left(x-9\right)=9x^2$

וכעת נעביר את אגף ימין שמאלה ונקבל:

$x^3- 9x^2 -7x\left(x-9\right)+6\left(x-9\right)=0$

שימו לב שכרגע ניתן להוציא $x 2$ מהביטוי: $x 3 - 9 x 2$ ואז נקבל את הביטוי:

$x^2\left(x-9\right)-7x\left(x-9\right)+6\left(x-9\right)=0$

כעת נשים לב שכל האיברים מוכפלים בביטוי $\left(x-9\right)$ , נוציא אותו בתור גורם משותף ונקבל:

$\left(x^2-7x+6\right)\left(x-9\right)=0$

כעת נקבל 2 מקרים נפרדים שבאחד מהם $\;x-9=0$ כלומר $\;x_1=9$ ומקרה נוסף שבו

$\;x^2 -7x +6=0$

אותו נפתור בעזרת הטרינום הריבועי ונקבל לאחר חישוב (בדוק!): $x 2 = 6, x 3 = 1$ ראינו כאן שאת המשוואה הזו לא ניתן להתיר בקלות אם לא היינו שמים לב ש $\;x-9$ הוא גורם משותף. תמיד כדאי לשים לב לגורמים משותפים, ועל כן, יש לחזור ולתרגל את הנושא ככל הניתן.

הפרק הקודם:
משוואות ריבועיות

משוואות עם שברים
תרגילים

הפרק הבא:
משוואות עם שורשים

[עריכה] תרגילים בנושא משוואות עם שברים

רשימת הפרקים

פתרו את המשוואות הבאות. יש למצוא את כל הפתרונות:

$\ {{\frac{1}{2}}{x}{-\frac{1}{4}}}+\frac{{{-\frac{19}{2}}}}{{{-2}{x}{-2}}} = {{x}{-\frac{3}{4}}}+\frac{{{-\frac{3}{2}}}}{{{-2}{x}{-2}}}$
$\ {{3}{x}{-3}}+\frac{{1}}{{{x}}} = {{2}{x}}+\frac{{1}}{{{x}}}$
$\ {{-5}}+\frac{{{-6}}}{{{-\frac{1}{2}}{x}-1}} = {{2}{x}{-3}}+\frac{{{-4}}}{{{-\frac{1}{2}}{x}-1}}$
$\ {{\frac{3}{2}}{x}{-\frac{5}{2}}}+\frac{{{3}}}{{{x}{-2}}} = {{\frac{1}{2}}{x}+{\frac{3}{2}}}+\frac{{{2}}}{{{x}{-2}}}$
$\ {{-\frac{1}{2}}{x}}+\frac{{{-9}}}{{-{x}{-2}}} = {{\frac{1}{2}}{x}{-2}}+\frac{{{-4}}}{{-{x}{-2}}}$
$\ {{\frac{1}{2}}{x}+{\frac{7}{4}}}+\frac{{{\frac{15}{8}}}}{{{x}{-\frac{1}{2}}}} = {{-\frac{1}{2}}{x}+{\frac{1}{4}}}+\frac{{{\frac{9}{8}}}}{{{x}{-\frac{1}{2}}}}$
$\ {-{x}+{6}}+\frac{{{-\frac{3}{2}}}}{{{-\frac{1}{2}}{x}+1}} = {{x}+{2}}+\frac{{{-\frac{3}{2}}}}{{{-\frac{1}{2}}{x}+1}}$
$\ {-{x}{-\frac{3}{2}}}+\frac{{{\frac{3}{2}}}}{{{-2}{x}+1}} = {{-\frac{1}{2}}{x}+{\frac{1}{4}}}+\frac{{{-\frac{9}{4}}}}{{{-2}{x}+1}}$
$\ {{-3}{x}{-\frac{5}{2}}}+\frac{{1}}{{-{x}}} = {{-2}{x}+{\frac{1}{2}}}+\frac{{-1}}{{-{x}}}$
$\ {{-\frac{1}{2}}{x}+{5}}+\frac{{{13}}}{{-{x}{-2}}} = {{\frac{1}{2}}{x}}+\frac{{1}}{{-{x}{-2}}}$
$\ {{\frac{1}{2}}{x}+{\frac{1}{2}}}+\frac{{{-5}}}{{{x}-1}} = {{-\frac{1}{2}}{x}+{\frac{1}{2}}}+\frac{{1}}{{{x}-1}}$
$\ {{\frac{1}{2}}{x}+{\frac{3}{2}}}+\frac{{{-\frac{3}{2}}}}{{{x}+1}} = {{-\frac{1}{2}}{x}{-\frac{1}{2}}}+\frac{{{\frac{1}{2}}}}{{{x}+1}}$
$\ {{10}}+\frac{{{31}}}{{{-\frac{1}{2}}{x}{-2}}} = {{2}{x}{-10}}+\frac{{{-18}}}{{{-\frac{1}{2}}{x}{-2}}}$
$\ {{4}{x}}+\frac{{{-\frac{11}{2}}}}{{{\frac{1}{2}}{x}}} = {{2}{x}{-2}}+\frac{{{\frac{1}{2}}}}{{{\frac{1}{2}}{x}}}$
$\ {{\frac{1}{4}}{x}+{\frac{3}{16}}}+\frac{{{\frac{61}{32}}}}{{{2}{x}+{\frac{1}{2}}}} = {{-\frac{1}{4}}{x}{-\frac{3}{16}}}+\frac{{{\frac{67}{32}}}}{{{2}{x}+{\frac{1}{2}}}}$
$\ {{-2}{x}+{\frac{3}{2}}}+\frac{{{-\frac{1}{4}}}}{{-{x}{-\frac{1}{2}}}} = {-{x}}+\frac{{1}}{{-{x}{-\frac{1}{2}}}}$
$\ {{2}}+\frac{{{-12}}}{{{\frac{1}{2}}{x}+{2}}} = {{-2}{x}+{10}}+\frac{{{-19}}}{{{\frac{1}{2}}{x}+{2}}}$
$\ {{-\frac{3}{4}}}+\frac{{{-2}}}{{{2}{x}}} = {{-\frac{1}{2}}{x}+{\frac{1}{4}}}+\frac{{{-2}}}{{{2}{x}}}$
$\ {{x}-1}+\frac{{{-5}}}{{-{x}-1}} = {{2}{x}{-4}}+\frac{{{-5}}}{{-{x}-1}}$
$\ {1}+\frac{{{4}}}{{{-2}{x}}} = {{\frac{1}{2}}{x}{-\frac{1}{2}}}+\frac{{{2}}}{{{-2}{x}}}$
$\ {{x}{-\frac{1}{4}}}+\frac{{{-\frac{7}{8}}}}{{{2}{x}+{\frac{1}{2}}}} = {{\frac{1}{2}}{x}+{\frac{3}{8}}}+\frac{{{\frac{13}{16}}}}{{{2}{x}+{\frac{1}{2}}}}$
$\ {{\frac{3}{2}}{x}+{7}}+\frac{{{18}}}{{{x}{-2}}} = {{\frac{1}{2}}{x}+1}+\frac{{{3}}}{{{x}{-2}}}$
$\ {{2}{x}{-5}}+\frac{{{9}}}{{{x}+{2}}} = {{x}-1}+\frac{{1}}{{{x}+{2}}}$
$\ {{14}}+\frac{{{-8}}}{{{\frac{1}{2}}{x}+1}} = {{-2}{x}+{8}}+\frac{{{-8}}}{{{\frac{1}{2}}{x}+1}}$
$\ {{\frac{1}{4}}{x}{-\frac{1}{16}}}+\frac{{{-\frac{95}{32}}}}{{{2}{x}+{\frac{1}{2}}}} = {{-\frac{1}{4}}{x}{-\frac{7}{16}}}+\frac{{{-\frac{25}{32}}}}{{{2}{x}+{\frac{1}{2}}}}$
$\ {{\frac{1}{2}}{x}-1}+\frac{{{3}}}{{{x}+{2}}} = {{-\frac{1}{2}}{x}}+\frac{{1}}{{{x}+{2}}}$
$\ {{\frac{3}{4}}{x}{-\frac{1}{16}}}+\frac{{{-\frac{289}{32}}}}{{{2}{x}{-\frac{1}{2}}}} = {{\frac{1}{4}}{x}{-\frac{3}{16}}}+\frac{{{-\frac{3}{32}}}}{{{2}{x}{-\frac{1}{2}}}}$
$\ {-1}+\frac{{-1}}{{-{x}-1}} = {{x}-1}+\frac{{-1}}{{-{x}-1}}$
$\ {{-\frac{1}{4}}{x}+{\frac{25}{16}}}+\frac{{{\frac{57}{32}}}}{{{-2}{x}{-\frac{1}{2}}}} = {{\frac{1}{4}}{x}{-\frac{1}{16}}}+\frac{{{\frac{31}{32}}}}{{{-2}{x}{-\frac{1}{2}}}}$
$\ {{x}+{\frac{3}{2}}}+\frac{{{\frac{9}{2}}}}{{{2}{x}-1}} = {{\frac{1}{2}}{x}+{\frac{1}{4}}}+\frac{{{\frac{9}{4}}}}{{{2}{x}-1}}$
$\ {{-\frac{1}{2}}{x}+{\frac{7}{2}}}+\frac{{{5}}}{{-{x}}} = {{\frac{1}{2}}{x}{-\frac{1}{2}}}+\frac{{{2}}}{{-{x}}}$
$\ {{\frac{1}{2}}{x}{-\frac{1}{2}}}+\frac{{{-3}}}{{{-2}{x}{-2}}} = {{x}{-2}}+\frac{{{-3}}}{{{-2}{x}{-2}}}$
$\ {{-5}}+\frac{{{\frac{17}{2}}}}{{-{x}+1}} = {{x}}+\frac{{{-\frac{1}{2}}}}{{-{x}+1}}$
$\ {{-3}{x}+{3}}+\frac{{{3}}}{{-{x}-1}} = {{-2}{x}+1}+\frac{{{3}}}{{-{x}-1}}$
$\ {{-\frac{1}{2}}{x}+{\frac{11}{2}}}+\frac{{{-\frac{5}{2}}}}{{-{x}+1}} = {{\frac{1}{2}}{x}+{\frac{5}{2}}}+\frac{{{-\frac{5}{2}}}}{{-{x}+1}}$
$\ {{-4}{x}{-10}}+\frac{{{7}}}{{{-\frac{1}{2}}{x}+1}} = {{-2}{x}{-6}}+\frac{{{7}}}{{{-\frac{1}{2}}{x}+1}}$
$\ {{\frac{3}{2}}{x}-1}+\frac{{{-5}}}{{{x}}} = {{\frac{1}{2}}{x}+1}+\frac{{{-2}}}{{{x}}}$
$\ {-{x}}+\frac{{{2}}}{{{-2}{x}{-2}}} = {{-\frac{1}{2}}{x}+{\frac{1}{2}}}+\frac{{{3}}}{{{-2}{x}{-2}}}$
$\ {{-2}}+\frac{{{\frac{7}{2}}}}{{{x}+{2}}} = {-{x}+1}+\frac{{{-\frac{5}{2}}}}{{{x}+{2}}}$
$\ {{6}{x}+{30}}+\frac{{{59}}}{{{\frac{1}{2}}{x}{-2}}} = {{4}{x}+{18}}+\frac{{{38}}}{{{\frac{1}{2}}{x}{-2}}}$
$\ {{-\frac{3}{2}}{x}{-\frac{11}{2}}}+\frac{{{\frac{15}{2}}}}{{-{x}+1}} = {{-\frac{1}{2}}{x}{-\frac{1}{2}}}+\frac{{{-\frac{1}{2}}}}{{-{x}+1}}$
$\ {-{x}}+\frac{{{-4}}}{{{-\frac{1}{2}}{x}+1}} = {{x}+{4}}+\frac{{{-4}}}{{{-\frac{1}{2}}{x}+1}}$
$\ {{-\frac{1}{2}}{x}{-\frac{5}{4}}}+\frac{{{-\frac{33}{4}}}}{{{2}{x}-1}} = {-{x}{-\frac{3}{2}}}+\frac{{{\frac{1}{2}}}}{{{2}{x}-1}}$
$\ {-{x}+{\frac{1}{2}}}+\frac{{{-\frac{13}{2}}}}{{{x}}} = {{-2}{x}{-\frac{1}{2}}}+\frac{{{-\frac{1}{2}}}}{{{x}}}$
$\ {{-\frac{3}{4}}{x}{-\frac{15}{8}}}+\frac{{{\frac{47}{8}}}}{{{-2}{x}+1}} = {{-\frac{1}{4}}{x}+{\frac{3}{8}}}+\frac{{{-\frac{3}{8}}}}{{{-2}{x}+1}}$
$\ {{2}}+\frac{{-1}}{{-{x}{-\frac{1}{2}}}} = {{x}+{\frac{1}{2}}}+\frac{{{-\frac{7}{4}}}}{{-{x}{-\frac{1}{2}}}}$
$\ {0}+\frac{{{-5}}}{{{\frac{1}{2}}{x}+{2}}} = {{-2}{x}+{6}}+\frac{{{-11}}}{{{\frac{1}{2}}{x}+{2}}}$
$\ {-1}+\frac{{{-6}}}{{{x}{-\frac{1}{2}}}} = {-{x}{-\frac{1}{2}}}+\frac{{{\frac{1}{4}}}}{{{x}{-\frac{1}{2}}}}$
$\ {{\frac{1}{2}}{x}{-\frac{7}{4}}}+\frac{{{-\frac{7}{8}}}}{{{x}{-\frac{1}{2}}}} = {{-\frac{1}{2}}{x}+{\frac{3}{4}}}+\frac{{{\frac{3}{8}}}}{{{x}{-\frac{1}{2}}}}$
$\ {{-6}{x}{-12}}+\frac{{{\frac{13}{2}}}}{{{-\frac{1}{2}}{x}+1}} = {{-4}{x}{-10}}+\frac{{{\frac{21}{2}}}}{{{-\frac{1}{2}}{x}+1}}$

[עריכה] תשובות סופיות

$\ \left\{{{3}},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{0},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{0}\right\}$
$\ \left\{{{3}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{-1},{0}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{-1},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{1},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{{3}},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{0},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{{3}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{0},{-1}\right\}$
$\ \left\{{-1},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{{3}},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{0}\right\}$
$\ \left\{{-1},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{1}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{-1},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{0}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{1}\right\}$
$\ \left\{{-1},{0}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{-1},{0}\right\}$
$\ \left\{{{3}},{0}\right\}$
$\ \left\{{-1},{-1}\right\}$
$\ \left\{{{3}},{1}\right\}$
$\ \left\{{-1},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{1},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{{3}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{0}\right\}$
$\ \left\{{0},{1}\right\}$
$\ \left\{{1},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{-1},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{0},{1}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{0},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{3}}\right\}$

אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות עם שברים/תרגילים/רמה ב

אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות עם שברים/תרגילים/רמה ג

אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות עם שברים/תרגילים/רמה ד

אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות עם שברים/תרגילים/רמה ה

אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות עם שברים/תרגילים/רמה ו

[עריכה] משוואות עם שורשים

משוואות עם שורשים הינן משוואות אשר מכילות בתוכן שורשים. הן מיוחדות כי הן מופיעות במקרים רבים, וישנן טכניקות מוצלחות במיוחד לפתרונן. אם כי, יש לציין כי כמו בכל מקרה במתמטיקה, את רוב התרגילים לא קל כלל לפתור. אנו נציג מספר מקרים שבהם קל לפתור את המשוואות הללו ונציג את השיטות לפתרון.

[עריכה] העלאה בריבוע

שיטה זו היא השיטה הבסיסית ביותר בפתרון משוואות עם שורשים. השיטה מתבססת על כך שאנו מעלים את שני אגפי המשוואה בריבוע. יש לשים לב שזוהי אינה פעולה מותרת במובן שהגדרנו קודם. הסיבה לכך נעוצה בעובדה שלפעולת השורש יש שני פתרונות סימטריים. אחד שלילי ואחד חיובי. בגלל מוסכמה אנו תמיד בוחרים ששורש הוא מספר חיובי, אך אין סיבה מתמטית להעדיף דוקא מספרים חיוביים על מספרים שליליים. על מנת להדגים את הבעיה, נתבונן במשוואה הבאה:

$\ x+3=2$

נעלה אותה בריבוע:

$\ x+3=2\ \ \ \ \ /\ \ {\uparrow}^2$

נקבל משוואה ריבועית!

$\;\left(x+3\right)^2=2^2$

$\;x^2+6x+9=4$
$\;x^2+6x+5=0$

מפתרון בשיטה הטרינום מקבלים מיד שהפתרונות הם $\;-1$ ו- $\;5$ אבל מבדיקה של ההצבה מקבלים שרק הפתרון $\;-1$ הוא המתאים ואילו עבור $\;x=5$ אינו פתרון של המשוואה המקורית כלל! כלומר, קיבלנו לאחר העלאה בריבוע יותר פתרונות ממספר הפתרונות של המשוואה המקורית. בעיה זו יכולה להתעורר גם במקרה שבמשוואה מופיעים גם שורשים. למרות זאת, הפתרון הנכון לא נעלם. את הבעיה שנוצרה ניתן לפתור בכך שאנו בודקים את הפתרונות על ידי הצבה במשוואה המקורית שנדרשנו לפתרונה.
על מנת להשתמש בשיטה ההעלאה בריבוע המשוואה צריכה להראות כך שברגע שנעלה את שני האגפים בריבוע נאבד את השורשים. אין זה המצב ברוב המקרים, ולעיתים קרובות נאלץ להביא את המשוואה למצב זה "בכוח", אם כי, בשלב זה נציג דוגמא שבה כבר הבאנו את המשוואה למצב הנוח ונפתור משם. המצב המדובר הוא מצב שבוא באגף אחד ישנו ביטוי תחת שורש ובאגף השני לא.

$x=\sqrt{45-4x}$

נעלה בריבוע:

$x=\sqrt{45-4x}\;\;\;\;/\;\;{\uparrow}^2$
$x^2=45-4x\;$
$\Downarrow$

$\;x_1=-9$
$\;x_2=5$

כעת קיבלנו שני פתרונות. איננו יכולים לדעת אם אכן שני הפתרונות הם פתרונות של המשוואה המקורית, וגם איננו יודעים, מי מהם הוא פתרון של המשוואה המקורית (אם בכלל). על מנת לבדוק זאת, נציב את הפתרונות במשוואה המקורית ונראה אם אנו מקבלים פסוק אמיתי:

$x=\sqrt{45-4x}$
$-9=\sqrt{45-\left(-36\right)}$

אבל זו סתירה, שכן, לא קיים מספר ממשי שהשורש שלו הוא מספר שלילי. לכן נותר לבדוק את הפתרון השני:

$x=\sqrt{45-4x}$
$5=\sqrt{45-4\cdot 5}\Leftrightarrow 5=\sqrt{25}\Leftrightarrow 5=5$

וזהו פסוק אמת. כלומר, התשובה היא $\;x=5$ בלבד.
נעיר כאן, שבמידה ושני האגפים של המשוואה בהכרח חיוביים לכל הצבה של הנעלם, לא מתקבלים פתרונות נוספים וניתן (אם כי לא תמיד רצוי) לוותר על הבדיקה.

[עריכה] החלפת נעלם

במתמטיקה בכלל, וגם בנושא זה, אנו מבקשים להגיע למצב שאנחנו כבר יודעים לפתור שהוא שקול למצב המקורי. במקרה זה, אנו מחפשים צורה של משוואה שאנו כבר מכירים. למשל נתונה המשוואה (פשוטה יחסית):

$x-\sqrt{x}-12=0$

במבט ראשון, לא ברור כיצד לפתור את המשוואה הזו אך מרגע שאנו מודעים לכך שמשוואה זו דומה מאוד למשוואה ריבועית רגילה, שאותה כבר חקרנו בפרק משוואות ריבועיות הפתרון נעשה קל מאוד. על מנת לראות בדיוק על מה מדובר נבצע פעולה שהיא תמיד חוקית והיא שינוי סימון. אנו נסמן את $\;\sqrt{x}$ ב- $\;t$ כלומר:

$\sqrt{x}=t$

כעת נציב את הסימון החדש במשוואה המקורית ונקבל ש:

$\;t^2-t-12=0$

זו משוואה ריבועית פשוטה שהפתרון שלה הוא $\;t_1=-3$ ו $\;t_2=4$ אך זהו עדיין אינו הפתרון, כי השאלה היתה לגבי $\;x$ ולא לגבי $\;t$ אז נותר לנו לעבור חזרה לנעלם המקורי:

$\sqrt{x}=t$

ולכן אנו יודעים ש

$\sqrt{x_1}=t_1$
$\sqrt{x_1}=-3$

אבל זה לא יכול להיות, כי אין מספר ממשי שהשורש שלו הוא שלילי! לכן, הפתרון למשוואה זו נפסל כי לא ניתן להציב אותו בסימון החדש.

$\sqrt{x_2}=t_2$
$\sqrt{x_2}=4$
$\;x=16$

וזה למעשה פותר את המשוואה (בדוק!).

[עריכה] כפל בצמוד

ישנה דרך אחרת אשר מתבססת על כפל בצמוד. פעולת הכפל בצמוד הוזכרה בפרק דוגמאות ושימושים נוספים של טכניקות אלגבריות פשוטות. נדגים את השימוש בשיטה זו על מנת לפתור את אותה משוואה שראינו קודם:

$x-\sqrt{x}-12=0$
$\left(x-12\right)-\sqrt{x}=0\;\;\;/\;\cdot\left[\left(x-12\right)+\sqrt{x}\right]$
$\left[\left(x-12\right)-\sqrt{x}\right]\cdot\left[\left(x-12\right)+\sqrt{x}\right] =0$
$\left(x-12\right)^2-\left(\sqrt{x}\right)^2=0$

המעבר האחרון הוא מעבר המתבסס על נוסחאות הכפל המקוצר ובמקרה זה הוא מבטל את קיום השורש במשוואה ומקבלים:

$\;x^2-25x+144=0$
$x_{1,2}=\frac{25\pm\sqrt{25^2-4\cdot 144}}{2}=\frac{25\pm 7}{2}$

והתוצאה המתקבלת היא אותה התוצאה שהתקבלה בשיטה הקודמת.

הפרק הקודם:
משוואות עם שברים

משוואות עם שורשים
תרגילים

הפרק הבא:
משוואות כלליות בנעלם אחד

אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות עם שורשים/תרגילים

[עריכה] משוואות כלליות בנעלם אחד

כעת, אחרי שכבר ראינו חלק נכבד מסוגי המשוואות הרלוונטיים ללימודים לתיכון, הגיע הזמן לשלב את כל הטכניקות הללו ולהציג מספר טכניקות נוספות אשר יכולות להקל על פתרון משוואות במקרים רבים.

[עריכה] משוואות דו-ריבועיות

לעיתים אנו נתקלים במשוואה מהצורה:

$\;ax^4+bx^2+c=0$

זוהי משוואה ממעלה רביעית. הנוסחא לפתרון המשוואה הזו היא נוסחא מסובכת מאוד ואינה נלמדת לתיכון. למרות זאת, זהו רק סוג מסויים של משוואות ממעלה רביעית, סוג אשר אותו ניתן לפתור על נקלה. הפתרון מתבסס על הסימון: $\;t=x^2$ . כלומר, אנו עוברים לנעלם חדש - $\;t$ ומקבלים משוואה ריבועית, אותה אנו פותרים ללא קושי כפי שלמדנו. יש לשים לב, במקרה זה אנו מקבלים 4 פתרונות ולא 2 כפי שקיבלנו במשוואה ריבועית פשוטה. הבא נפתור משוואה כזו לדוגמא:

$\;x^4-25x^2+144=0$
$\;t^2-25t+144=0$
$\;t_1=16$
$\;t_2=9$

אך כאן לא סיימנו את הפתרון. אנו מחפשים את $\;x$ ולכן:

$x_{1,2}=\pm \sqrt{t_1}=\pm \sqrt{16}= \pm 4$
$x_{3,4}=\pm \sqrt{t_2}=\pm \sqrt{9}= \pm 3$

ובזאת מסתיים הפתרון של המשוואה הדו-ריבועית.
נתבונן בדוגמא נוספת:

$\;x^4-8x^2-128=0$
$\;t^2-8t-128=0$
$\Downarrow$
$t 1 = 16$
$t 2 = - 8$

נשים לב שכאן $\;t_2<0$ ולכן הוא איננו פתרון מתאים. הסיבה היא שאין מספר ממשי שהריבוע שלו הוא שלילי. כלומר, אין $\;x$ שניתן להעלות בריבוע ולקבל את $\;t_2$ . מכאן מסיקים שלמשוואה יש רק שני פתרונות והם $\;x_{1,2}=\pm 4$ .

[עריכה] משוואות עם ערכים מוחלטים

משוואות אלו ניתן גם לפתור בהרבה מהמקרים. קיימות שיטות רבות לפתרון משוואות אלו. נציג כמה מהן בלבד.

[עריכה] חלוקה למקרים

ניקח לדוגמא את המשוואה הבאה:

$\;\left|x-5\right|=1$

במקרה זה, הדרך הפשוטה ביותר היא לחלק את המשוואה למקרים. מכיוון שמדובר בערך מוחלט, הרי שהביטוי בתוך הערך המוחלט יכול להיות שלילי ועדיין לקיים את המשוואה. באותו אופן, הוא גם יכול להיות חיובי. לכן מחלקים את המשוואה לשני מקרים. האחד שבו הביטוי בתוך הערך המוחלט הוא חיובי, כלומר

$\;x-5=1$

כלומר $\;x=6$ ומקרה שני שבו

$\;-\left(x-5\right)=1$

והפתרון הוא $\;x=4$ וזהו הפתרון.

[עריכה] העלאה בריבוע

שיטת פתרון זו לא תמיד קשה יותר מחלוקה למקרים, כפי שניתן ללמוד מהדוגמא הקודמת. מותר להעלות בריבוע את שני אגפי המשוואה ללא חשש מכיוון ששניהם בהכרח חיוביים ולכן לא נקבל פתרון נוסף שלא היה במשוואה המקורית. מקבלים:

$\;\left|x-5\right|=1\;\;\;\;/\;\;{\uparrow}^2$
$\;\left(x-5\right)^2=1^2$
$x^2-10x+25=1\ /-1\;$
$\;x^2-10x+24=0$

הפתרון מתקבל מפתרון משוואה ריבועית רגילה והוא בדיוק אותו פתרון של השיטה לעיל (בדוק!).

הפרק הקודם:
משוואות עם שורשים

משוואות כלליות בנעלם אחד
תרגילים

הפרק הבא:
משוואות בשני נעלמים או יותר

תרגילים:

|x-3|=2

|x-2|=|2x-6|

|3x-7|=x

[עריכה] משוואות בשני נעלמים או יותר

[עריכה] שיטות פתרון

לאחר שלמדנו את נושא המשוואות בנעלם אחד, נותר לנו להכליל את הנושא ולעבור למשוואות ביותר מנעלם אחד. כרגיל במתמטיקה, אנו מעוניינים להגיע למצב שאנו מכירים, במקרה שלנו, מדובר במשוואה בנעלם אחד. על מנת לעשות זאת, יש לנו מספר כללים ושיטות שבהן אנו יכולים להשתמש. שיטות אלו אינן שונות בהרבה מהשיטות של פתרון משוואות בנעלם אחד.
לפני שנתחיל עלינו להגדיר כמה מושגים בסיסיים ולהדגיש את הרעיון הבסיסי של משוואות בכמה נעלמים. נגדיר ראשית ש-מערכת משוואות היא קבוצה של משוואות אשר כולן אמת. במילים אחרות מילת הקישור בניהן היא וגם.
מערכת משוואות תקרא שקולה למערכת אחרת אם לשתיהן יש בדיוק את אותם פתרונות (או אף פתרון) בו זמנית. אם למשל מערכת משוואות $\;A$ שקולה למערכת משוואות $\;B$ זה יסומן כך: $A\Leftrightarrow B$ ונאמר ש- $\;A$ שקולה ל- $\;B$ .

[עריכה] שיטת ההצבה

שיטת ההצבה היא השיטה הבסיסית ביותר והשימושית ביותר. נתחיל בדוגמא:

$\left\{ \begin{matrix}\left(I\right) & 2x+4y & = & 3 \\ \left(II\right) & 3x-7y & = & -1 \end{matrix} \right.$

בשיטת ההצבה עלינו לבודד את אחד הנעלמים, למשל את $\;x$ . ננסה לבודד אותו ממשואה $\left(I\right)$ . כאשר אנו עובדים על משוואה $\left(I\right)$ עלינו להדגיש זאת. ולכן נכתוב:
מתוך $\left(I\right)$ מתקבל ש:

$2x+4y=3\;\;\;\;/\;-4y$
$2x=3-4y\;\;\;\;/\;\cdot \frac{1}{2}$
$x=\frac{3-4y}{2}$

כעת קיבלנו את $\;x$ לפי $\;y$ כלומר קיבלנו קשר מתמטי בין שני הנעלמים. הפעולה שעשינו כרגע נקראת בידוד נעלם. במקרה זה בודדנו את $\;x$ . לא סיימנו מכיוון שעדיין לא מצאנו מה בדיוק הערך של $\;y$ . על מנת לעשות זאת עלינו להציב את $\;x$ במשוואה השניה במקום $\;x$ המקורי. נשים לב שאם נעשה זאת מיד נקבל משוואה חדשה בנעלם אחד - $\;y$ .

$\;3x-7y=-1$
$\Downarrow$

$3\cdot\left(\frac{3-4y}{2}\right)-7y=-1$

המעבר האחרון הוא הצבה של $\;x$ במשוואה השניה. כעת ניתן לפתור את המשוואה הזו ללא קושי, כי היא משוואה בנעלם אחד.

$\frac{3\cdot \left(3-4y\right)}{2}-7y=-1\;\;\;\;/\;\cdot 2$
$3\cdot \left(3-4y\right)-14y=-2$
$\;\;9-12y-14y=-2\;\;\;\;/\;\;-9$
$-26y=-11\;\;\;\;/\;\;\cdot \left(-\frac{1}{26}\right)$
$y=\frac{11}{26}$

וזו התשובה של נעלם אחד, כלומר קיבלנו את הערך של $\;y$ . כעת נציב במשוואה כלשהי את הערך של $\;y$ אשר חישבנו ונקבל שוב משוואה בנעלם אחד, רק שהפעם היא עבור $\;x$ . מכיון שכבר בודדנו את $\;x$ לפי $\;y$ מספיק להציב בביטוי שקיבלנו ש $y=\frac{11}{26}$ ונקבל:

$x=\frac{3-4\cdot\frac{11}{26}}{2}$

ולאחר חישוב מקבלים ש $\;x=\frac{17}{26}$ . על מנת לבדוק את הנכונות של הפתרון יש להציב את התוצאות במשוואות שלנו. אם מקבלים פסוק אמת בשתיהן, אנו יכולים להיות בטוחים שהתוצאה שקבלנו היא אכן פתרון.

[עריכה] חיבור וחיסור, כפל וחילוק משוואות

כאשר מופיעים לנו בשתי משוואות שני אברים דומים כדאי לעיתים לחבר או לחסר את המשוואות אחת מהשניה. הפעולה הזו היא פעולה מותרת מכיוון שההנחה הבסיסית של המשוואות היא ששני אגפי המשוואה הם אותו מספר ולכן פעולה של חיבור או חיסור משוואות שקולה לחיבור או חיסור שני האגפים במספר. לדוגמא:

$\left\{ \begin{matrix}\left(I\right) & 2x+4y & = & 3 \\ \left(II\right) & 2x-7y & = & -1 \end{matrix} \right.$

נחסר את $\left(II\right)$ מ- $\left(I\right)$ ונקבל

$\left\{ \begin{matrix}\left(I\right) & 2x+4y & = & 3 \\ \left(II\right) & 2x-7y & = & -1 \end{matrix} \right. \ \ \ \ /\ \left(I\right)-\left(II\right)$
$\Updownarrow$
$\left\{ \begin{matrix}\left(I\right) & 2x-2x+4y-\left(-7y\right) & = & 3-\left(-1\right) \\ \left(II\right) & 2x-7y & = & -1 \end{matrix} \right.$
$\Updownarrow$
$\left\{ \begin{matrix}\left(I\right) & 11y & = & 4 \\ \left(II\right) & 2x-7y & = & -1 \end{matrix} \right.$

מכאן ניתן בקלות להמשיך בשיטת ההצבה לאחר שנסיים לבודד את $\;y$ מתוך המשוואה הראשונה.
באותו אופן ניתן לחלק, להכפיל או לחבר משוואות. במקרה של חילוק או כפל, ברור שאסור לבצע פעולות אלו במידה ולא וידאנו ששני האגפים בהם אנו כופלים או מחלקים אינם 0. כידוע, הכפלה של משוואה ב-0 למעשה הופכת אותה לחסרת תוכן, ולכן מוסיפה פתרונות. במידה ואנו כופלים ב-0 אנו מקבלים יותר פתרונות ולכן מערכת המשוואות החדשה שתתקבל לא תהיה שקולה לקודמת. כך גם לגבי חילוק (אם כי חילוק ב-0 הופך את המשוואה לחסרת משמעות).

[עריכה] פעולת גאוס

פעולת גאוס ניתנה לה על שם המתמטיקאי הידוע גאוס אשר המציא אותה כחלק מאלגוריתם לפתרון וחקר של מערכות משוואות לינאריות במספר גדול של נעלמים אשר גם נושא את שמו. אין מניעה, עם זאת, להשתמש בה בכל סוג של מערכת משוואות, כל עוד היא יכולה לעזור להביא אותנו לפתרון. הפעולה טובה לצורך הבאת מערכת גדולה של משוואות לצורה של מערכת קטנה יותר וקלה יותר לפתרון.
פעולת גאוס היא פשוט הכפלה של שורה אחת (כלומר משוואה אחת) במספר קבוע, וחיבור עם משוואה אחרת. הפעולה טובה במיוחד כאשר יש לנו משוואה אחת אשר אחד הנעלמים שלה בא עם מקדם של 1 (אם כי ברור שתמיד ניתן להפוך את אחת המשוואות למשוואה שאחד המקדמים הוא 1). נדגים שימוש בפעולת גאוס על מערכת משוואות בת 3 נעלמים ו-3 משוואות.

$\left\{ \begin{matrix}\left(I\right) & x-5y+3z & = & 4 & \;\;\;\;/\;\; \times \left(-3\right) \;\;+\left(II\right) \\ \left(II\right) & 3x-7y-2z & = & -1 \\ \left(III\right) & 2x-y-5z & = & 1 \\ \end{matrix} \right.$
$\Updownarrow$
$\left\{ \begin{matrix}\left(I\right) & x-5y+3z & = & 4 & \;\;\;\;/\;\; \times \left(-2\right) \;\;+\left(III\right) \\ \left(II\right) & 3x-3x-7y+15y-2z-9z & = & -1-12 & \\ \left(III\right) & 2x-y-5z & = & 1 &\\ \end{matrix} \right.$
$\Updownarrow$
$\left\{ \begin{matrix}\left(I\right) & x-5y+3z & = & 4 \\ \left(II\right) & 8y-11z & = & -13 \\ \left(III\right) & 2x-2x-y+10y-5z-9z & = & 1-8 \\ \end{matrix} \right.$
$\Updownarrow$
$\left\{ \begin{matrix}\left(I\right) & x-5y+3z & = & 4 \\ \left(II\right) & 8y-11z & = & -13 \\ \left(III\right) & 9y-14z & = & -7 \\ \end{matrix} \right.$

נשים לב שכעת, המשוואות $\left(II\right)$ ו $\left(III\right)$ מהוות מערכת משוואות בשני נעלמים. אם נפתור אותה, נוכל להציב את $\;y$ ואת $\;z$ במשוואה הראשונה ונקבל את הפתרון עבור $\;x$ ובזה נפתור את כל המערכת. כלומר, שיטה זו נועדה לפתור מערכת גדולה של משוואות לינאריות. ניתן כמובן להשתמש בה גם במצבים אחרים.

[עריכה] דוגמאות ומקרים מיוחדים

כעת נבקש להדגים מספר מצבים מיוחדים ודוגמאות חשובות לפתרון מערכות משוואות.

[עריכה] חוסר פתרון

לא תמיד קיים פתרון למשוואות בכלל, וכך גם למערכות משוואות. לעיתים במהלך פתרון מערכות משוואות אנו מגיעים לסתירה. למשל, אנו עשויים להגיע למצב שבו באחת המשוואות מתקבל פסוק כמו- $\;1=5$ אשר בבירור הוא סתירה משום ש-1 הוא איננו 5. מצב זה אומר, שלמערכת המשוואות שלנו אין אף פתרון. כלומר, אין אף קבוצת מספרים שניתן להציב בכל הנעלמים ולקבל שכל המשוואות הן פסוק אמת.

[עריכה] דוגמא

הבא נתבונן במערכת המשוואות הבאה:

$\left\{ \begin{matrix}\left(I\right) & x-3y & = & 4 \\ \left(II\right) & 2x-6y & = & -13 \\ \end{matrix} \right.$

ננסה לפתור את המשוואה בשיטת גאוס. נכפול את $\left(I\right)$ ב- $\;(-2)$ ונוסיף ל- $\left(II\right)$ ונקבל

$\left\{ \begin{matrix}\left(I\right) & x-3y & = & 4 \\ \left(II\right) & 0 & = & -21 \\ \end{matrix} \right.$

ברור ש- $\left(II\right)$ היא סתירה, לכן אנו יכולים להסיק שלא קיים פתרון למשוואות מכיוון שהקיום של שתיהן ביחד יוצר סתירה. בהמשך נבין למה הכוונה כשאנו אומרים שהמשוואות מתקיימות "יחדיו".

[עריכה] אינסוף פתרונות

יתכן מצב שבו ישנם אינסוף פתרונות למערכת משוואות לינאריות. למעשה, למערכת משוואות לינאריות ישנם רק שלושה מצבים אפשריים:

ישנו פתרון יחיד
ישנם אינסוף פתרונות
אין אף פתרון

אנו נדון בהרחבה במקרים אלו בפרק חקירת מערכות של משוואות לינאריות.

[עריכה] דוגמא

נתבונן במקרה הבא:

$\left\{ \begin{matrix}\left(I\right) & x-3y & = & 4 \\ \left(II\right) & 2x-6y & = & 8 \\ \end{matrix} \right.$

נבצע את אותה הפעולה שעשינו בדוגמא קודמת למקרה שבו אין אף פתרון, והרי נקבל מערכת חדשה:

$\left\{ \begin{matrix}\left(I\right) & x-3y & = & 4 \\ \left(II\right) & 0 & = & 0 \\ \end{matrix} \right.$

מכיוון שביצענו רק פעולות מותרות, הרי ששתי המשוואות שקולות, כלומר כל פתרון של המערכת החדשה הוא פתרון של הישנה. המשוואה השניה, כפי שקל לשים לב, לא תורמת לנו כל מידע על הנעלמים, שכן היא אמת ברורה מאליה לכן ניתן למחוק אותה. נותרנו רק עם המשוואה הראשונה. מכאן די קל לראות שנוכל להציב כל ערך שנרצה ל- $\;x$ . למשל נוכל להציב $\;x=4$ ונקבל משוואה חדשה על $\;y$ :

$\;4-3y=4$

אם פותרים אותה מקבלים כמובן ש- $\;y=0$ . נקבל פתרון שונה ל- $\;y$ לכל ערך שנציב במקום $\;x$ . כל אחד מהזוגות הללו, למשל הזוג $\;x=4,\;y=0$ או בסימון המקובל $\left(4,0\right)$ , הוא פתרון למערכת המקורית (בדוק!). מכיוון שניתן להציב כל ערך במקום $\;x$ ולקבל פיתרון למשוואה, אנו מסיקים שישנם אינסוף פתרונות.
למרות שמספר הפתרונות הוא אינסופי, אין זה אומר שכל זוג מספרים פותר את המערכת, זאת מכיוון שהצבה של ערך מסויים של $\;x$ מכתיבה את הערך של $\;y$ . למשל הזוג $\left(4,1\right)$ הוא לא פתרון של המערכת, מכיוון שהוא יוצר סתירה במשוואה הראשונה.

[עריכה] מערכת משוואות לא לינאריות

מערכת משוואות ליניארית כזכור היא מערכת משוואות שבה כל המשוואות הן משוואות ליניאריות. משוואה לינארית היא כזכור משוואה אשר ניתן להביא לצורה:

$\;ax+by+\dots=c$

משוואה שאינה לינארית היא כל סוג של משוואה שאינה ניתנן להבאה לצורה הנ"ל, לדוגמא:

$\;ax^2+b=0$

קל לראות שפה המשתנה מופיע בחזקה שניה, ועל כן, זוהי איננה משוואה לינארית. אנו נתמקד בסעיף זה בפתרון של מערכות משוואות אשר לפחות אחת מהן איננה לינארית.
כמובן שכל הטכניקות שלמדנו עד כה למשוואות לינאריות תקפות גם כן למשוואות אי לינאריות, עם זאת קיימות טכניקות נוספות אשר ניתן להשתמש בכדי לפתור אותן.

[עריכה] בידוד נעלם

במקרה של משוואות לא לינאריות לעיתים קשה (אפילו בלתי אפשרי) לבודד את אחד הנעלמים. למשל:

$\left\{ \begin{matrix} \left(I\right) & xy+5y^2-3x &=& 0\\ \left(II\right)& \sqrt{xy+3}+\sqrt{5}y &=& \sqrt{5}\\ \end{matrix} \right.$

במקרה הזה, הנעלם $\;y$ קשור בכל מני אופנים, למשל, הוא קשור על ידי כפל ב- $\;x$ במשוואה הראשונה וקשור על ידי סימן שורש וחיבור במשוואה השניה. על מנת לפתור את מערכת המשוואות הנ"ל, עלינו למצוא דרך לבודד את אחד הנעלמים. די קל לראות שבמקרה הזה יותר קל לבודד את $\;x$ מהמשוואה הראשונה. במשוואה הראשונה:

$\begin{matrix} \\ xy-5y^2-3x&=&0\\ x\left(y-3\right)-5y^2&=&0\\ x\left(y-3\right)&=&5y^2\\ \end{matrix}$

כלינו להניח ש- $\;y\neq 3$ על מנת שנוכל לחלק את המשוואה ב- $\;y-3$ ויהיה עלינו לוודא שזו אכן הנחה סבירה שאינה גוררת איבוד של פתרונות. נקבל

$\;x=\frac{5y^2}{y-3}$

ואכן הצלחנו לבודד את $\;x$ . את התוצאה נציב כעת במשוואה השניה ונקבל:

$\begin{matrix} \sqrt{\frac{5y^2}{y-3} y+3}+\sqrt{5}y &=& \sqrt{5}\\ \sqrt{\frac{5y^3}{y-3}+3}&=&\sqrt{5}-\sqrt{5}y \ \ \ \;/\uparrow^2\\ \frac{5y^3}{y-3}+3&=&5\left(1-y\right)^2\\ 5y^3+3y-9&=&5\left(y^2-2y+1\right)\left(y-3\right)\\ 5y^3+3y-9&=&5\left(y^3-2y^2+y-3y^2+6y-3\right)\\ \end{matrix}$

את ההמשך נשאיר לקורא כתרגיל, שכן מתקבלת כאן משוואה במעלה שניה פשוטה עם הנעלם $\;y$

הפרק הקודם:
משוואות כלליות בנעלם אחד

משוואות בשני נעלמים או יותר
תרגילים

הפרק הבא:
בעיות מילוליות

[עריכה] משוואות בכמה נעלמים - תרגילים

רשימת הפרקים

[עריכה] משוואות לינאריות רמה א

$\left\{\begin{matrix} -3 y & = & 12 \\ 4 x-4 y & = & 32 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 x-2 y & = & 9 \\ -x & = & -3 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -3 x-4 y & = & 14 \\ 3 y-x & = & -4 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -x-4 y & = & 4 \\ 4 x & = & 16 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 x+4 y & = & -4 \\ 3 y-2 x & = & -3 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 4 y-2 x & = & 4 \\ -4 x-y & = & -10 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 x-2 y & = & -11 \\ 2 y-2 x & = & 10 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2 x+3 y & = & -11 \\ 4 x-4 y & = & 8 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 x+y & = & 7 \\ 4 x-y & = & 7 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -3 y & = & -6 \\ x+3 y & = & 8 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} x+3 y & = & 5 \\ -4 x-2 y & = & 10 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -2 x-y & = & 0 \\ -4 x-3 y & = & -4 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2 y-x & = & 1 \\ 4 y-x & = & -1 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -2 y & = & 2 \\ 4 x-y & = & -15 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -2 x-4 y & = & 8 \\ 4 x+2 y & = & 8 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 4 x+y & = & -5 \\ 2 x-3 y & = & 1 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 x-3 y & = & -6 \\ 3 x & = & -6 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 4 x+3 y & = & 17 \\ y-3 x & = & -3 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 x+2 y & = & -17 \\ 2 y-x & = & -5 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2 y-2 x & = & 0 \\ 3 x+2 y & = & 20 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 y-7 x & = & -46 \\ 2 x+8 y & = & 22 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 6 x-2 y & = & 18 \\ -6 x-5 y & = & -18 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 x+3 y & = & -3 \\ y-7 x & = & -65 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -5 y & = & 5 \\ 4 x-7 y & = & -5 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} x-2 y & = & -2 \\ 2 x+9 y & = & 48 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 4 x & = & 4 \\ 6 x-9 y & = & -30 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -5 y & = & -10 \\ 9 y-6 x & = & 36 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 5 x+7 y & = & -103 \\ 3 x-5 y & = & 21 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 5 x+5 y & = & 0 \\ 5 x+9 y & = & 32 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 6 x-4 y & = & 60 \\ 2 x-7 y & = & 71 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} x+6 y & = & 13 \\ -2 x-3 y & = & -8 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 9 x-9 y & = & 9 \\ 6 x-2 y & = & -30 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 x-4 y & = & -22 \\ 9 x-7 y & = & -46 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 x & = & 3 \\ 9 x+9 y & = & 45 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 x+8 y & = & 3 \\ 6 x+8 y & = & -18 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 8 x & = & -32 \\ -x-y & = & 9 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 4 y-2 x & = & -20 \\ -9 x-3 y & = & 99 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -x-y & = & 0 \\ 4 x & = & -32 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -7 x & = & -7 \\ 6 x+7 y & = & 62 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -9 x-2 y & = & -8 \\ -8 x-3 y & = & -12 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2 x+7 y & = & -34 \\ -8 x-4 y & = & -8 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -4 x & = & 24 \\ 6 y-x & = & -24 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -4 x-6 y & = & -70 \\ -8 x-2 y & = & -70 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 4 x+y & = & 23 \\ 7 y-6 x & = & -77 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 9 x+6 y & = & -63 \\ 6 x-7 y & = & -42 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 7 y-9 x & = & 63 \\ 8 x-9 y & = & -81 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 6 x-5 y & = & -23 \\ 5 y-9 x & = & 47 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -6 x-y & = & 16 \\ 7 x-9 y & = & -100 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 4 x-7 y & = & -18 \\ x-8 y & = & 8 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -9 x-2 y & = & 38 \\ 2 y-8 x & = & 30 \end{matrix}\right.$

[עריכה] תשובות

$\left(4,-4\right)$
$\left(3,0\right)$
$\left(-2,-2\right)$
$\left(4,-2\right)$
$\left(0,-1\right)$
$\left(2,2\right)$
$\left(-1,4\right)$
$\left(-1,-3\right)$
$\left(2,1\right)$
$\left(2,2\right)$
$\left(-4,3\right)$
$\left(-2,4\right)$
$\left(-3,-1\right)$
$\left(-4,-1\right)$
$\left(4,-4\right)$
$\left(-1,-1\right)$
$\left(-2,0\right)$
$\left(2,3\right)$
$\left(-3,-4\right)$
$\left(4,4\right)$
$\left(7,1\right)$
$\left(3,0\right)$
$\left(8,-9\right)$
$\left(-3,-1\right)$
$\left(6,4\right)$
$\left(1,4\right)$
$\left(-3,2\right)$
$\left(-8,-9\right)$
$\left(-8,8\right)$
$\left(4,-9\right)$
$\left(1,2\right)$
$\left(-8,-9\right)$
$\left(-2,4\right)$
$\left(1,4\right)$
$\left(-7,3\right)$
$\left(-4,-5\right)$
$\left(-8,-9\right)$
$\left(-8,8\right)$
$\left(1,8\right)$
$\left(0,4\right)$
$\left(4,-6\right)$
$\left(-6,-5\right)$
$\left(7,7\right)$
$\left(7,-5\right)$
$\left(-7,0\right)$
$\left(0,9\right)$
$\left(-8,-5\right)$
$\left(-4,8\right)$
$\left(-8,-2\right)$
$\left(-4,-1\right)$

[עריכה] משוואות לינאריות רמה ב

$\left\{\begin{matrix} y-x & = & 3 \\ x-6 y-5 z & = & 17 \\ -6 x-4 y-6 z & = & 46 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 6 x-y & = & 14 \\ -5 x+3 y-z & = & -18 \\ -5 x+6 y+2 z & = & -18 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -5 x+y-5 z & = & 18 \\ 2 x+4 y-6 z & = & -32 \\ -2 x-y-5 z & = & 4 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 x-4 y+5 z & = & 36 \\ -6 x-6 y+4 z & = & 96 \\ 4 y-5 z & = & -54 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2 x-y-z & = & -2 \\ -4 x-3 y-3 z & = & -36 \\ -5 x+y+4 z & = & 5 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 5 x-y-z & = & 8 \\ -5 x-4 y+3 z & = & -39 \\ 6 x+4 y+5 z & = & 17 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -5 x-2 z & = & -9 \\ -3 x+2 y-3 z & = & 3 \\ -6 x-2 y+4 z & = & -10 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} x+2 y & = & -9 \\ 2 y-3 z & = & -18 \\ 6 x-6 y-2 z & = & 50 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 6 x-5 y+5 z & = & 16 \\ -y-6 z & = & 9 \\ 2 x+5 y-6 z & = & -7 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 6 x-2 y+z & = & -1 \\ -2 x+2 y+2 z & = & -2 \\ 2 x+2 y-2 z & = & 2 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -x+y-4 z & = & 8 \\ -6 x+4 y+2 z & = & -16 \\ -3 x-4 y+6 z & = & -54 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -x+3 y+4 z & = & 6 \\ x-5 y-z & = & 3 \\ 2 x-3 y+2 z & = & 18 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -6 x+5 y-6 z & = & 24 \\ -6 x+2 y+5 z & = & 6 \\ y+2 z & = & 6 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -x+y+2 z & = & 22 \\ -6 x-2 y+5 z & = & 58 \\ -5 x+6 y-5 z & = & 24 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 6 x-4 y+2 z & = & -32 \\ 2 x-6 y+z & = & -12 \\ 6 x+5 y-2 z & = & -16 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 5 x+2 y+4 z & = & -34 \\ 6 y+6 z & = & 0 \\ 2 x-4 y-z & = & -18 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 4 x-6 y-6 z & = & -34 \\ -2 x-4 y+4 z & = & -26 \\ -3 x-4 y-4 z & = & -17 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -6 x-2 z & = & -38 \\ -x-5 y-4 z & = & -41 \\ -4 x-2 z & = & -28 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 5 x+5 y & = & -25 \\ 2 y+3 z & = & 12 \\ -2 x-6 y+6 z & = & 34 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 x+4 y-z & = & 0 \\ 5 x+4 y+3 z & = & -12 \\ -2 y-4 z & = & 36 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -6 x-6 y-6 z & = & -66 \\ x-y-4 z & = & -14 \\ 3 x-3 y-6 z & = & -24 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 6 x-2 y-5 z & = & -31 \\ -x-2 z & = & -10 \\ 6 x-y-z & = & -8 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -4 x-3 y+3 z & = & -6 \\ -4 x-5 y+5 z & = & -26 \\ -3 x-5 y+2 z & = & -20 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -5 x+6 y+z & = & -23 \\ 3 x+4 y-2 z & = & -20 \\ 4 x-y+2 z & = & -9 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -6 x+2 y+4 z & = & -10 \\ -3 x-4 z & = & 15 \\ 3 x-5 y+5 z & = & -8 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 4 z-5 x & = & 4 \\ 3 x-5 y+4 z & = & 19 \\ -4 x-y-z & = & 2 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 5 z-5 x & = & 5 \\ -x+6 y+4 z & = & 40 \\ 4 y+3 z & = & 29 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -5 x-5 y+z & = & -59 \\ 6 z-3 x & = & -12 \\ 5 y-3 z & = & 27 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -3 x+2 y+z & = & 11 \\ 6 x-5 y-z & = & -20 \\ -2 y-3 z & = & -1 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 6 x & = & -6 \\ 6 x-6 y+z & = & -4 \\ -2 x+4 y-z & = & 0 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 11 x-6 y+10 z & = & -90 \\ -9 x-10 y+3 z & = & 137 \\ 3 x-8 y-2 z & = & 88 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -7 x+5 y+6 z & = & 3 \\ -2 x-7 y+10 z & = & -82 \\ 11 x-3 y-4 z & = & -59 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -9 x-3 y-10 z & = & -38 \\ -6 x-y-7 z & = & -32 \\ 10 x+3 y+7 z & = & 36 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -10 x+11 y+11 z & = & -81 \\ 7 x-y-5 z & = & 54 \\ -3 x+4 y-3 z & = & -18 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 5 x+9 y & = & 86 \\ 4 x-5 y-7 z & = & -20 \\ -3 x+10 y-6 z & = & 105 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -10 x+10 y-6 z & = & -32 \\ 11 x-11 y-3 z & = & -32 \\ 10 x-4 y+8 z & = & 94 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -7 x+10 y+3 z & = & 35 \\ -10 x-6 y+8 z & = & -18 \\ z-5 x & = & -21 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -9 x+3 y-8 z & = & 111 \\ 3 x-9 y-2 z & = & -81 \\ 4 x-8 z & = & 32 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 7 x-4 y-6 z & = & -7 \\ -9 x-9 y-10 z & = & 126 \\ -4 x-2 y-6 z & = & 76 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -9 x+10 y-9 z & = & 218 \\ 9 x-11 y+7 z & = & -209 \\ 3 x+5 y-z & = & 59 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 7 x+11 y+11 z & = & -126 \\ 8 x+6 y-8 z & = & -126 \\ -x+5 y+3 z & = & -32 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2 x-y-6 z & = & 49 \\ -6 x+9 y-8 z & = & 193 \\ 3 x-10 y-3 z & = & -69 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -8 x+y+7 z & = & 15 \\ 10 x+7 y+7 z & = & 147 \\ -5 x+6 y+6 z & = & 31 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -4 x+4 y-9 z & = & -13 \\ 3 x+8 z & = & -26 \\ -3 x-9 y+z & = & 44 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 8 x+5 y-11 z & = & -99 \\ 9 x+10 y-11 z & = & -90 \\ -11 x-2 y-6 z & = & 24 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -2 x-2 y+8 z & = & 68 \\ 5 x-2 y-7 z & = & -74 \\ 5 x+2 y-3 z & = & -26 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -9 y-z & = & 55 \\ 8 x-9 y-5 z & = & 147 \\ 10 z-6 x & = & -76 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -6 x-y-3 z & = & 26 \\ 3 x+2 y+7 z & = & -31 \\ -2 x+9 y+8 z & = & 48 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -11 x-10 y+8 z & = & -55 \\ 7 x-10 y-6 z & = & -15 \\ -4 x+5 y-5 z & = & -2 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -9 x+10 y+3 z & = & 64 \\ -10 y & = & -100 \\ -11 x-7 y+6 z & = & -135 \end{matrix}\right.$

[עריכה] תשובות

$\left(-4,-1,-3\right)$
$\left(2,-2,2\right)$
$\left(-6,-2,2\right)$
$\left(-6,-6,6\right)$
$\left(3,4,4\right)$
$\left(2,5,-3\right)$
$\left(1,6,2\right)$
$\left(3,-6,2\right)$
$\left(1,-3,-1\right)$
$\left(0,0,-1\right)$
$\left(6,6,-2\right)$
$\left(6,0,3\right)$
$\left(1,6,0\right)$
$\left(-6,4,6\right)$
$\left(-4,0,-4\right)$
$\left(-6,2,-2\right)$
$\left(-1,6,-1\right)$
$\left(5,4,4\right)$
$\left(-5,0,4\right)$
$\left(6,-6,-6\right)$
$\left(3,5,3\right)$
$\left(0,3,5\right)$
$\left(-6,6,-4\right)$
$\left(-2,-5,-3\right)$
$\left(-1,-2,-3\right)$
$\left(0,-3,1\right)$
$\left(2,5,3\right)$
$\left(6,6,1\right)$
$\left(-4,-1,1\right)$
$\left(-1,0,2\right)$
$\left(-6,-11,-9\right)$
$\left(-9,0,-10\right)$
$\left(4,-6,2\right)$
$\left(7,0,-1\right)$
$\left(1,9,-3\right)$
$\left(7,8,7\right)$
$\left(6,5,9\right)$
$\left(-4,9,-6\right)$
$\left(-7,3,-9\right)$
$\left(-2,11,-10\right)$
$\left(-7,-9,2\right)$
$\left(-4,9,-11\right)$
$\left(7,1,10\right)$
$\left(10,-9,-7\right)$
$\left(-6,3,6\right)$
$\left(-1,3,9\right)$
$\left(11,-6,-1\right)$
$\left(-3,10,-6\right)$
$\left(3,3,1\right)$
$\left(1,10,-9\right)$

[עריכה] משוואות לינאריות רמה ג

$\left\{\begin{matrix} 3 y & = & 0 \\ -w+x-3 y-2 z & = & -9 \\ -3 w+3 x+2 y & = & -15 \\ -3 w-x-3 y+3 z & = & 3 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2 (x+y+z)-3 w & = & -6 \\ 2 z-w & = & -2 \\ 3 (x+y-z) & = & 0 \\ -w-3 x-2 y+3 z & = & -4 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -3 w+2 x-2 y+z & = & 11 \\ 3 w-x+y+3 z & = & -5 \\ 3 w-3 x+2 y-2 z & = & -11 \\ -3 w-x+3 y-2 z & = & -4 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -w+2 x+3 y & = & -11 \\ w+x+2 y+z & = & -5 \\ -3 w-3 x+z & = & -7 \\ 2 w+2 x-y-3 z & = & 10 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2 x-3 (y+z) & = & 15 \\ w-3 y & = & 8 \\ -2 x+3 y-z & = & -7 \\ -2 w-2 x-3 z & = & 8 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -3 w+3 x+2 y+z & = & -1 \\ w+2 x-3 y-z & = & -8 \\ w-3 x-2 z & = & -1 \\ -w+x-2 y+3 z & = & -3 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -2 w+x-2 (y+z) & = & 7 \\ 2 x-2 y+3 z & = & 21 \\ -3 x+2 y-3 z & = & -24 \\ 3 w+3 x-y+3 z & = & 15 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -w-x+y-z & = & -6 \\ z-3 y & = & 6 \\ 3 (y+z)-x & = & -9 \\ -2 w-x+3 y & = & -11 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2 w+2 x+3 y-3 z & = & 10 \\ -3 w-3 x+y-2 z & = & -18 \\ w-x+3 y-z & = & 5 \\ 3 y-2 w & = & 5 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2 (-x+y+z)-3 w & = & 8 \\ w+2 y+z & = & 1 \\ -3 x-2 y-z & = & 8 \\ w-x-3 y+3 z & = & 6 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -3 w-2 x+y-2 z & = & 1 \\ 2 w-3 x-2 z & = & -12 \\ 3 (-x+y+z)-w & = & 6 \\ w-y-2 z & = & -7 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -2 w-3 x+3 y+z & = & -14 \\ 2 w-x-3 (y+z) & = & 12 \\ 3 w+x+3 (y+z) & = & -7 \\ -2 w-x-y+2 z & = & -9 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 (w-z) & = & 18 \\ 2 w+x-y-3 z & = & 14 \\ -w+2 x-y-3 z & = & 2 \\ -2 w-y+z & = & -7 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 w-2 x+3 y+2 z & = & -9 \\ -2 w-3 x+y+3 z & = & -11 \\ w+2 x-y-3 z & = & 10 \\ 2 w-x-y-3 z & = & -1 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2 (x+y-z)-w & = & 6 \\ w-x-2 y+3 z & = & -5 \\ 2 w+3 (x+y) & = & 5 \\ 3 w+x+3 y & = & 3 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2 w+3 x-2 y+2 z & = & -18 \\ 2 w-x+2 (y+z) & = & 2 \\ 3 w+x+2 (y+z) & = & -5 \\ 2 x+y+3 z & = & -1 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -w-x-3 y-2 z & = & -2 \\ -3 w-y+z & = & -7 \\ 3 w-2 x-y-3 z & = & 5 \\ -2 w-3 x+3 y & = & -10 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -2 (w+x+y) & = & -4 \\ -3 w-3 x-y-z & = & -7 \\ w-3 x+y-2 z & = & -4 \\ 2 w-2 x+3 z & = & -13 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 w-x-3 z & = & 20 \\ 2 x+y & = & -2 \\ 2 w-x+y+3 z & = & 1 \\ w+2 x+z & = & -4 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -3 w+2 x-2 z & = & -5 \\ w-3 (y+z) & = & 2 \\ -2 w+2 x+y+z & = & -5 \\ -2 x+3 y+z & = & 1 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -3 x-y+3 z & = & 12 \\ 2 z-4 w & = & 4 \\ 4 w+3 x-y+3 z & = & -16 \\ -4 w-2 x-y+z & = & 12 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 x-3 y+4 z & = & -3 \\ -4 x-3 y-2 z & = & -6 \\ -2 x-4 y+3 z & = & -15 \\ 3 w-2 x-3 y+4 z & = & -30 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -4 w-2 x+3 y+4 z & = & 22 \\ -3 w-2 x-3 (y+z) & = & 15 \\ 4 w-2 y-z & = & -8 \\ 4 w-2 x+y-4 z & = & -26 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -4 w-2 x+4 y+3 z & = & -20 \\ -4 (w+x+y) & = & -16 \\ 2 (2 x+y+2 z) & = & 16 \\ 3 w-3 x-2 y+2 z & = & 8 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2 (x-2 y) & = & 10 \\ -4 w-2 x+3 (y+z) & = & 9 \\ 2 w-4 x+y-3 z & = & -19 \\ y-4 w & = & 6 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 x-4 y+2 z & = & 30 \\ 2 z-y & = & 12 \\ 2 (w-2 x+z) & = & 2 \\ -2 w-x-4 y+z & = & 16 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} w-2 x-y+2 z & = & 1 \\ 3 w-4 (y+z) & = & -16 \\ 2 (w-2 x+z) & = & -2 \\ 3 (x+y)-w & = & 9 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} w-3 x-2 y+2 z & = & -1 \\ 2 (2 w+x-y+z) & = & 0 \\ -4 w-3 x-4 y-z & = & -12 \\ 3 w-4 x+3 y & = & 16 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 4 w+3 y & = & 20 \\ w+2 x+3 z & = & 4 \\ 4 w-2 x+y-2 z & = & 8 \\ -3 w-2 y-z & = & -12 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 4 w+4 x-4 y-z & = & 10 \\ 2 w+x+3 z & = & 12 \\ -3 x+3 y+4 z & = & 8 \\ 3 w-3 x-2 y & = & 9 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 w+4 x-3 y & = & 1 \\ 4 w+3 x+3 y+4 z & = & -11 \\ 4 w-3 y+4 z & = & -2 \\ 2 w-x-y-3 z & = & -8 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -3 w-3 x-2 y+3 z & = & 2 \\ 3 y-2 z & = & -4 \\ w-3 x+y+3 z & = & -22 \\ -2 (w+y+2 z) & = & 30 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -w-4 x+2 y+z & = & -8 \\ -4 w+2 x-y-3 z & = & -10 \\ -3 w+3 x-y-2 z & = & -6 \\ 3 w+2 z & = & 10 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 4 (w+x+z) & = & -12 \\ 4 w-2 x+4 y-3 z & = & 1 \\ 4 w-2 x+2 y-z & = & -1 \\ 2 w+3 x+3 y+z & = & -9 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 w+4 x+4 y-2 z & = & -13 \\ -3 w-3 x-y+z & = & 6 \\ -2 w+2 x+2 y-z & = & 4 \\ -2 w-4 x-y+2 z & = & 1 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -2 (2 w+2 x+z) & = & -10 \\ -3 w+3 x+3 y+2 z & = & 3 \\ -x-4 (y+z) & = & -26 \\ -2 w+3 x+4 y+z & = & 7 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} w+3 x-4 y+2 z & = & -28 \\ 3 w-x+y-4 z & = & 5 \\ 3 w+x-3 y+2 z & = & -25 \\ -x-y+4 z & = & -8 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} w+3 x-3 y+4 z & = & -6 \\ x-4 y+z & = & -5 \\ w-3 x-4 (y+z) & = & -1 \\ -3 w-x-y-4 z & = & 0 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -4 x+4 y+z & = & 13 \\ 3 x-4 y-3 z & = & -16 \\ -4 x+y-2 z & = & -2 \\ 3 w+3 x-4 z & = & 8 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 4 (w-x-y) & = & -20 \\ -3 w-2 x-y-4 z & = & -20 \\ -2 w-3 x+4 y-z & = & -1 \\ -2 w-3 x-3 y+2 z & = & -16 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -4 w+4 x+3 (y+z) & = & 17 \\ 4 w+3 x+4 y-4 z & = & -19 \\ -2 w-4 x-y+3 z & = & 15 \\ -3 x+2 y+3 z & = & 11 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -4 w-3 x+4 y-3 z & = & -4 \\ -4 w-x-4 y & = & -14 \\ -3 w-x+4 y-2 z & = & 0 \\ 3 w+2 x+y+2 z & = & 7 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -w-2 x-y-3 z & = & 17 \\ 4 x+2 y+3 z & = & -17 \\ 3 w+4 y-3 z & = & -19 \\ 2 z-x & = & -6 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -3 w+4 x+2 y-4 z & = & -8 \\ -4 w+2 x+y+4 z & = & 24 \\ -4 w+x-3 y-z & = & -3 \\ 3 w-4 x-y+2 z & = & 6 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -4 w+x-4 y+4 z & = & -27 \\ 4 w+4 x+3 y-3 z & = & 29 \\ -4 w+4 x+2 y-3 z & = & -4 \\ -3 w+3 x+3 y-2 z & = & -2 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 w-2 x-3 y-4 z & = & 2 \\ -2 w-4 x+y-4 z & = & 2 \\ -2 (2 w-2 x+2 y+z) & = & -14 \\ 3 (y-z) & = & -15 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -3 w+3 x-2 y-3 z & = & -9 \\ 3 w+3 y+4 z & = & 19 \\ 4 w-x+3 y+4 z & = & 20 \\ 2 w+y-z & = & 1 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -3 w-x+4 y-z & = & -1 \\ -w+2 y+4 z & = & -16 \\ w-x-y+z & = & -3 \\ w-4 x-2 y-z & = & 0 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2 w-4 x+4 y-z & = & -5 \\ 2 w-3 x+4 z & = & -6 \\ 2 x+4 y-3 z & = & -11 \\ -2 w-x-3 y+z & = & 11 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 x-2 w & = & 1 \\ -4 y & = & -16 \\ -4 w-3 x-3 y+4 z & = & -17 \\ 2 z-4 y & = & -24 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{6} (-2 x+9 y-6 z) & = & \frac{4}{15} \\ -\frac{3 w}{4}-x-3 (y+z) & = & \frac{5}{4} \\ -w+\frac{4 x}{3}-2 z & = & -\frac{7}{15} \\ \frac{1}{4} (-5 w-8 x-2 y) & = & \frac{47}{20} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -\frac{4 x}{5}+y+\frac{3 z}{4} & = & \frac{133}{60} \\ 5 w+\frac{5 x}{4}-\frac{2 z}{5} & = & \frac{211}{30} \\ \frac{1}{20} (-5 w+60 x+4 y-4 z) & = & \frac{67}{20} \\ \frac{1}{4} (-w-10 x+10 y-3 z) & = & \frac{77}{6} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{6} (-15 w-15 x+4 y-12 z) & = & -\frac{37}{12} \\ \frac{5 w}{2}-\frac{4 y}{3} & = & \frac{37}{6} \\ w-\frac{3 x}{5}-y-\frac{2 z}{5} & = & \frac{29}{10} \\ 3 w-\frac{3 x}{2}+\frac{y}{3}-2 z & = & \frac{139}{12} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{4} (-6 w-2 x-3 y+10 z) & = & \frac{3}{16} \\ -\frac{2 w}{5}-2 x+\frac{3 y}{4} & = & \frac{709}{240} \\ -\frac{5 w}{3}+x-\frac{3 y}{2}+\frac{z}{2} & = & -\frac{55}{72} \\ \frac{3 w}{4}+\frac{4 x}{5}-\frac{y}{2} & = & -\frac{13}{8} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{w}{5}-\frac{5 x}{4}+2 y+\frac{3 z}{4} & = & \frac{179}{20} \\ w & = & 3 \\ \frac{4 w}{3}+\frac{2 x}{5}+\frac{y}{3}-\frac{3 z}{4} & = & \frac{361}{75} \\ -w+2 x-\frac{y}{5}-\frac{3 z}{4} & = & -4 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} x-y-\frac{4 z}{3} & = & \frac{25}{12} \\ \frac{1}{12} (-16 w+16 x-6 y-9 z) & = & -\frac{19}{24} \\ -\frac{5 w}{4}-\frac{5 x}{2}+y & = & \frac{35}{16} \\ -\frac{2 w}{5}+5 x-y-4 z & = & \frac{69}{20} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{4 w}{5}+\frac{1}{3} (4 x-12 y+z) & = & -\frac{901}{60} \\ -\frac{5 w}{4}+x-\frac{4 y}{5}+z & = & \frac{7}{10} \\ -\frac{4 w}{5}+\frac{3 x}{5}+y & = & \frac{129}{25} \\ -\frac{w}{4}+3 x-\frac{4 y}{5}-z & = & -\frac{13}{5} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{15} (20 w+5 x-6 z) & = & -\frac{13}{5} \\ -w-\frac{4 x}{5}+\frac{y}{5}+\frac{z}{3} & = & \frac{154}{75} \\ 4 w-\frac{x}{5}+y-\frac{3 z}{2} & = & -\frac{767}{100} \\ w-\frac{2 x}{5}-y & = & -\frac{67}{50} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{5 w}{3}-2 x-\frac{5 y}{4}+5 z & = & -\frac{5}{2} \\ -\frac{w}{2}+\frac{3 x}{4}+y-z & = & \frac{13}{80} \\ -\frac{2 w}{5}+\frac{x}{2}+2 y+\frac{5 z}{4} & = & -\frac{277}{200} \\ 2 w-\frac{2 x}{3}-y+2 z & = & -\frac{59}{30} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{3} (-12 w-3 x-5 y-4 z) & = & -\frac{178}{15} \\ -\frac{2 w}{3}+4 x+4 y-z & = & \frac{1042}{45} \\ \frac{2 w}{3}+x+\frac{2 y}{3}-\frac{3 z}{4} & = & \frac{433}{90} \\ -\frac{4 w}{3}+4 x+\frac{3 y}{5} & = & \frac{428}{45} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -\frac{4}{15} (3 w-5 x+5 y) & = & -\frac{154}{45} \\ w+2 x-\frac{4 y}{5}-\frac{2 z}{3} & = & \frac{13}{30} \\ \frac{1}{6} (4 w-3 x-6 y+3 z) & = & -\frac{16}{15} \\ -\frac{2 w}{5}+x+y-z & = & \frac{23}{15} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} w-x+2 y-\frac{3 z}{5} & = & \frac{171}{20} \\ -\frac{2 w}{5}-\frac{2 x}{3}+\frac{2 y}{3}+5 z & = & -\frac{407}{30} \\ -w-\frac{3 x}{5}-2 y+z & = & -\frac{291}{20} \\ -\frac{w}{4}+4 x-y+\frac{z}{5} & = & \frac{517}{80} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -\frac{w}{4}-\frac{x}{5}-2 y-5 z & = & -\frac{221}{40} \\ \frac{5 w}{3}-x-\frac{5 y}{2}-4 z & = & -\frac{31}{6} \\ \frac{5}{4} (w+4 x+2 z) & = & \frac{105}{8} \\ \frac{5 w}{4}+4 x+\frac{2 y}{5}+\frac{3 z}{2} & = & \frac{81}{8} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -\frac{3 w}{2}+\frac{4 x}{5}+y+5 z & = & -\frac{41}{4} \\ -w+\frac{x}{5}+\frac{2 y}{5}+\frac{3 z}{2} & = & -\frac{61}{20} \\ -5 w+\frac{4 x}{3}-\frac{5 y}{2}-\frac{3 z}{4} & = & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} (-2 w-10 y+9 z) & = & -1 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{3 x}{4}-3 y-\frac{z}{4} & = & \frac{139}{40} \\ \frac{1}{6} (9 x-6 y+4 z) & = & \frac{77}{60} \\ -2 w+\frac{3 x}{4}-\frac{4 y}{5}+\frac{z}{2} & = & \frac{91}{10} \\ -\frac{w}{5}-5 y+4 z & = & \frac{181}{20} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{60} (-75 w-12 x-20 y-150 z) & = & \frac{1541}{240} \\ \frac{1}{6} (-4 w+8 x-15 y-6 z) & = & \frac{11}{3} \\ -w-x+\frac{3 y}{4}+3 z & = & -\frac{41}{4} \\ w+\frac{x}{2}+4 y+\frac{2 z}{5} & = & -\frac{173}{40} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -w+x-2 y-\frac{3 z}{5} & = & \frac{29}{10} \\ -\frac{4 w}{5}-\frac{3 x}{4} & = & -\frac{321}{200} \\ -\frac{5 w}{3}+\frac{4 x}{5}-\frac{2 y}{3}+\frac{3 z}{2} & = & -\frac{38}{15} \\ -w-\frac{3 x}{5}+y+\frac{4 z}{3} & = & -\frac{137}{30} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -\frac{w}{5}-x-\frac{3 y}{2}+z & = & \frac{24}{5} \\ -w+3 x-\frac{5 y}{2}+5 z & = & -11 \\ x+5 y+\frac{3 z}{4} & = & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{10} (-5 w-5 x+4 y-5 z) & = & \frac{63}{20} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -\frac{4 w}{5}-\frac{x}{2}+y+\frac{4 z}{3} & = & -\frac{451}{90} \\ -w-x+\frac{y}{3}+\frac{z}{5} & = & -\frac{76}{15} \\ \frac{1}{4} (-12 w+6 y+z) & = & -\frac{85}{12} \\ \frac{3 x}{5}-\frac{y}{4}-\frac{4 z}{3} & = & \frac{247}{90} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2 w+3 x+2 y & = & -\frac{41}{4} \\ 2 y+\frac{4 z}{5} & = & -\frac{28}{5} \\ \frac{1}{4} (-4 x-10 y-5 z) & = & \frac{111}{16} \\ \frac{3 w}{4}+\frac{4 x}{5}-2 (y+z) & = & \frac{89}{20} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 w+\frac{3 x}{5}-2 y+4 z & = & -\frac{17}{3} \\ \frac{1}{3} (w-3 x+6 z) & = & \frac{2}{9} \\ 3 w-y+2 z & = & -\frac{13}{3} \\ -2 y & = & \frac{4}{3} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{12} (30 w-4 x+3 y-6 z) & = & \frac{13}{12} \\ \frac{1}{3} (-3 w-5 x-y) & = & \frac{3}{2} \\ w-\frac{3 x}{5}-\frac{y}{5}-\frac{5 z}{4} & = & \frac{27}{40} \\ \frac{3 w}{5}-x+2 y+\frac{5 z}{2} & = & \frac{11}{20} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -5 w-x-\frac{3 y}{5}+4 z & = & \frac{103}{15} \\ w-\frac{x}{2}+y+\frac{5 z}{3} & = & \frac{37}{90} \\ \frac{1}{5} (-4 w-x-3 y+10 z) & = & \frac{151}{75} \\ \frac{1}{10} (-15 w-4 x-6 z) & = & \frac{22}{25} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} w-\frac{x}{5}-\frac{y}{2}+2 z & = & \frac{641}{100} \\ \frac{1}{12} (4 w+9 x+6 (y+z)) & = & \frac{89}{60} \\ \frac{1}{2} (-w-3 x-2 y) & = & \frac{33}{40} \\ \frac{5 w}{3}-\frac{2 x}{5}-\frac{2 y}{3}+3 z & = & \frac{957}{100} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{w}{3}-4 y-\frac{3 z}{4} & = & \frac{1379}{120} \\ -\frac{3 w}{2}+x-y-3 z & = & \frac{3}{2} \\ \frac{1}{6} (-4 w-3 x+8 y-10 z) & = & -\frac{64}{15} \\ 2 w+\frac{x}{2}+\frac{5 z}{3} & = & -\frac{4}{15} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{12} (30 w+4 x+15 y-9 z) & = & \frac{151}{30} \\ w-2 x-y+\frac{z}{5} & = & -\frac{203}{25} \\ \frac{w}{3}-\frac{5 x}{4}+y-z & = & \frac{19}{40} \\ \frac{3 w}{5}+\frac{x}{2}-2 z & = & \frac{49}{20} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2} (w-2 x+3 y+2 z) & = & \frac{3}{20} \\ \frac{1}{5} (-4 x+y-z) & = & \frac{1}{5} \\ -w-x+\frac{y}{3}+z & = & \frac{97}{60} \\ \frac{w}{4}+\frac{4 x}{3}+y-\frac{z}{4} & = & -\frac{23}{10} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -2 x-\frac{3 z}{5} & = & -\frac{23}{10} \\ \frac{1}{20} (-15 w-4 x-80 y+8 z) & = & \frac{103}{80} \\ \frac{1}{10} (-5 w-20 y-2 z) & = & -\frac{3}{8} \\ -w-x-\frac{5 y}{4}+z & = & \frac{15}{4} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -\frac{w}{5}-\frac{5 x}{4}+\frac{4 y}{3}+\frac{z}{4} & = & \frac{1121}{144} \\ \frac{w}{5}-y-\frac{5 z}{2} & = & -\frac{33}{8} \\ -\frac{5 w}{2}-\frac{4 x}{3}+3 y+\frac{2 z}{5} & = & \frac{40}{3} \\ -5 w-\frac{x}{2}-y+\frac{4 z}{5} & = & \frac{67}{6} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{2 w}{5}+x+y-4 z & = & -\frac{59}{15} \\ \frac{1}{4} (-2 w+2 x+2 y-z) & = & \frac{2}{15} \\ 5 w-\frac{4 x}{3}-\frac{5 y}{2}-\frac{2 z}{5} & = & -\frac{2719}{450} \\ \frac{5 w}{2}+4 x-\frac{3 y}{4}-\frac{2 z}{5} & = & -\frac{2671}{300} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -\frac{4 w}{5}-\frac{x}{3}+\frac{3 y}{2} & = & -\frac{103}{105} \\ 2 x+\frac{2 y}{5}-\frac{z}{3} & = & -\frac{737}{315} \\ -\frac{w}{7}+x-y-\frac{5 z}{6} & = & -\frac{695}{882} \\ -\frac{6 w}{7}+7 x-\frac{2 (y+z)}{3} & = & -\frac{3233}{441} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{14} (-7 w+4 y+49 z) & = & -\frac{25}{8} \\ -\frac{3 w}{4}+\frac{7 x}{3}-3 y-\frac{5 z}{3} & = & \frac{145}{18} \\ -\frac{3}{2} (y+2 z) & = & \frac{39}{8} \\ \frac{3 w}{5}+\frac{5 x}{4}-\frac{7 y}{6}+\frac{3 z}{4} & = & \frac{37}{16} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -\frac{5 w}{3}+\frac{3 x}{2}+y+7 z & = & \frac{677}{60} \\ -\frac{2 w}{5}-\frac{4 x}{3}-\frac{2}{7} (7 y+z) & = & -\frac{58}{105} \\ -\frac{4 w}{5}+x-\frac{7 y}{3}+5 z & = & \frac{199}{30} \\ -7 w+\frac{7 x}{5}-\frac{2 y}{3}+3 z & = & \frac{527}{30} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -\frac{4 w}{3}+\frac{7 x}{6}-\frac{y}{5}-z & = & \frac{551}{1260} \\ \frac{w}{2}+x-\frac{3 y}{4}-\frac{7 z}{6} & = & \frac{283}{112} \\ \frac{4 w}{7}+\frac{2 x}{5}-\frac{4 y}{7}+3 z & = & \frac{26}{21} \\ \frac{1}{10} (-5 w+5 x+6 y+60 z) & = & -\frac{113}{60} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2} (-w+10 x-6 y-8 z) & = & -\frac{1147}{84} \\ -\frac{w}{7}+\frac{2 x}{3}+\frac{y}{4}+\frac{2 z}{7} & = & -\frac{50}{147} \\ \frac{1}{30} (-18 w-24 x+24 y-25 z) & = & \frac{334}{105} \\ \frac{1}{15} (12 w+5 x-9 y) & = & -\frac{71}{30} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{6 x}{5}-3 y+\frac{5 z}{3} & = & \frac{1059}{175} \\ \frac{1}{12} (14 w-9 y-4 z) & = & \frac{269}{84} \\ w-\frac{3 x}{5}+2 y+\frac{6 z}{7} & = & -\frac{17057}{3675} \\ \frac{4 w}{3}+\frac{x}{5}+y-\frac{7 z}{3} & = & \frac{27}{25} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -3 w-2 x-y & = & 0 \\ w-x-\frac{5 y}{2}+\frac{7 z}{2} & = & \frac{25}{4} \\ w-\frac{3 x}{4}+\frac{2 y}{3}+5 z & = & \frac{43}{12} \\ \frac{1}{6} (-w+18 x-3 y-42 z) & = & -\frac{37}{6} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 4 w+\frac{4 x}{7}-3 y-z & = & \frac{1679}{980} \\ -\frac{4 x}{5}+\frac{7 y}{6}-z & = & -\frac{61}{28} \\ \frac{w}{4}-x-\frac{y}{2}-\frac{4 z}{3} & = & -\frac{2671}{1680} \\ -2 w-\frac{3 x}{7}-6 z & = & -\frac{398}{49} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{2 w}{5}-\frac{4 x}{7}-\frac{3 y}{4}+3 z & = & \frac{39}{28} \\ \frac{1}{2} (-w+4 x+y+2 z) & = & \frac{13}{7} \\ -\frac{4 w}{7}+\frac{x}{6}-\frac{3 y}{2}-\frac{4 z}{5} & = & \frac{688}{245} \\ \frac{5 w}{3}-\frac{5 x}{4}+y-\frac{z}{5} & = & -\frac{1753}{420} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{2 w}{3}-\frac{x}{7}+2 y & = & -2 \\ 2 w+\frac{4 x}{7}+\frac{7 y}{5}-z & = & \frac{343}{60} \\ -w-\frac{4 x}{7}-\frac{3 y}{2}+\frac{5 z}{7} & = & -\frac{419}{168} \\ -w+\frac{4 x}{5}+y+\frac{4 z}{3} & = & -\frac{391}{180} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{5 w}{4}+\frac{2 x}{5}-\frac{y}{2}+4 z & = & \frac{83}{21} \\ \frac{2 w}{3}+\frac{3 x}{4}-2 y-3 z & = & \frac{328}{315} \\ -3 w+\frac{5 x}{7}-2 y+\frac{4 z}{3} & = & \frac{146}{245} \\ \frac{5 w}{2}+\frac{2 y}{7}-2 z & = & \frac{221}{420} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -2 w+7 x+7 y-\frac{z}{2} & = & -\frac{19}{12} \\ \frac{1}{28} (-14 w-21 y-24 z) & = & \frac{11}{84} \\ \frac{1}{12} (-6 w-21 x+4 (y-7 z)) & = & -\frac{97}{24} \\ -\frac{w}{2}-\frac{4 x}{3}+\frac{6 y}{7}+\frac{z}{2} & = & -\frac{3}{28} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -\frac{3 w}{2}+\frac{7 x}{4}+7 y+z & = & \frac{281}{40} \\ \frac{w}{5}+2 x-\frac{3 y}{5}-\frac{5 z}{7} & = & \frac{376}{175} \\ 3 w+x+\frac{7 y}{5}-\frac{7 z}{3} & = & \frac{251}{150} \\ \frac{5 w}{2}-\frac{x}{3}-y-z & = & -\frac{9}{10} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{2 w}{3}-2 x+4 y+\frac{3 z}{2} & = & -\frac{148}{105} \\ \frac{7 w}{6}+\frac{5 x}{3}+y-z & = & -\frac{22}{5} \\ \frac{1}{6} (-12 w-4 x-7 y) & = & \frac{503}{210} \\ \frac{3 w}{5}-\frac{3 x}{2}+\frac{4 y}{7}+z & = & \frac{83}{35} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -\frac{w}{3}-\frac{3 x}{7}+\frac{7 y}{4}-\frac{3 z}{2} & = & -\frac{4651}{336} \\ \frac{5 w}{3}+6 x-2 y-\frac{z}{4} & = & \frac{437}{12} \\ -\frac{w}{3}+\frac{5 x}{4}-2 z & = & -\frac{41}{6} \\ -\frac{5 w}{4}-\frac{5 x}{2}+\frac{7 y}{5}+z & = & -\frac{48}{5} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{4 w}{5}-\frac{5 x}{7}-\frac{3 y}{2}-z & = & -\frac{137}{28} \\ \frac{3 w}{5}+\frac{5 x}{3}+3 y-\frac{5 z}{7} & = & \frac{31}{4} \\ \frac{1}{4} (10 w+3 x-y-12 z) & = & -\frac{7}{6} \\ \frac{1}{4} (-8 w-10 x+7 y+2 z) & = & -\frac{71}{24} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} w-y+\frac{z}{4} & = & -\frac{9}{10} \\ \frac{1}{2} (-2 w+x+3 y-z) & = & \frac{43}{60} \\ -w+\frac{2 x}{7}-\frac{y}{2} & = & \frac{20}{21} \\ \frac{1}{2} (w-4 x+2 y+z) & = & \frac{1}{30} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -\frac{w}{3}-\frac{2 x}{5}+z & = & -\frac{8}{9} \\ -\frac{6 w}{5}+\frac{3 x}{2}-\frac{4 y}{7}-\frac{z}{2} & = & \frac{9}{10} \\ \frac{1}{30} (45 w+10 x-6 y+35 z) & = & -\frac{5}{3} \\ 3 w+\frac{7 x}{5}-2 y-\frac{5 z}{3} & = & \frac{2}{3} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} w-x+y-\frac{3 z}{5} & = & \frac{7}{10} \\ -\frac{7 w}{5}-\frac{4 x}{7}-y+\frac{2 z}{3} & = & -\frac{6}{35} \\ 2 w+5 x & = & -2 \\ x-\frac{y}{2}-\frac{7 z}{4} & = & \frac{101}{40} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -\frac{w}{6}-\frac{4 x}{5}-\frac{7 y}{4}+z & = & \frac{3}{16} \\ \frac{3}{5} (z-2 y)-\frac{7 x}{6} & = & \frac{7}{12} \\ 3 w-\frac{2 x}{7}-\frac{2 y}{7}+z & = & -\frac{19}{5} \\ \frac{4 w}{5}+\frac{4 x}{5}+\frac{5 y}{2}+\frac{3 z}{4} & = & -\frac{147}{25} \end{matrix}\right.$

[עריכה] תשובות

$\left(-3,0,2,2\right)$
$\left(2,-2,0,2\right)$
$\left(-1,-3,1,-2\right)$
$\left(0,-3,-1,2\right)$
$\left(0,-3,-2,-1\right)$
$\left(0,3,2,3\right)$
$\left(3,-3,3,-2\right)$
$\left(3,-2,0,1\right)$
$\left(3,3,3,2\right)$
$\left(-3,0,1,0\right)$
$\left(0,-2,3,-3\right)$
$\left(2,-1,-3,1\right)$
$\left(-3,-2,-3,3\right)$
$\left(3,3,-3,-2\right)$
$\left(0,3,1,-2\right)$
$\left(-2,3,0,-3\right)$
$\left(2,0,-1,2\right)$
$\left(3,-2,-3,1\right)$
$\left(-2,2,-3,3\right)$
$\left(-3,-2,1,-1\right)$
$\left(-4,0,0,-1\right)$
$\left(3,0,-3,-4\right)$
$\left(-3,-4,4,-3\right)$
$\left(3,-2,2,3\right)$
$\left(1,-2,3,-2\right)$
$\left(2,-4,4,1\right)$
$\left(2,1,3,0\right)$
$\left(-1,2,-1,2\right)$
$\left(4,4,-2,2\right)$
$\left(0,0,2,3\right)$
$\left(1,-2,1,-3\right)$
$\left(1,-4,-4,-3\right)$
$\left(0,-4,2,2\right)$
$\left(0,-2,-3,0\right)$
$\left(2,-3,0,-3\right)$
$\left(-2,4,3,3\right)$
$\left(-3,3,-2,-3\right)$
$\left(-1,1,0,0\right)$
$\left(1,4,1,3\right)$
$\left(3,3,2,1\right)$
$\left(-1,1,2,-3\right)$
$\left(2,1,-2,2\right)$
$\left(0,-4,-3,-4\right)$
$\left(-4,4,3,-4\right)$
$\left(1,1,-2,4\right)$
$\left(-4,-2,3,0\right)$
$\left(3,-3,4,4\right)$
$\left(1,2,-4,4\right)$
$\left(-2,-4,-3,0\right)$
$\left(-1,4,-4,-2\right)$
$\left(-\frac{4}{5},0,0,-\frac{3}{5}\right)$
$\left(\frac{2}{3},5,-3,1\right)$
$\left(-\frac{3}{2},1,0,3\right)$
$\left(-\frac{5}{4},\frac{1}{4},-\frac{1}{2},-\frac{2}{3}\right)$
$\left(\frac{1}{5},4,\frac{4}{5},3\right)$
$\left(-\frac{5}{4},0,-\frac{5}{2},\frac{3}{4}\right)$
$\left(-\frac{2}{5},3,-\frac{1}{4},-3\right)$
$\left(-\frac{2}{5},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-2\right)$
$\left(-\frac{5}{4},0,-\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right)$
$\left(2,4,\frac{2}{5},\frac{2}{3}\right)$
$\left(\frac{1}{3},2,\frac{1}{5},\frac{3}{2}\right)$
$\left(3,5,-3,-\frac{1}{4}\right)$
$\left(2,0,1,\frac{1}{2}\right)$
$\left(-\frac{5}{2},-\frac{3}{4},-\frac{3}{2},0\right)$
$\left(-\frac{1}{5},-\frac{5}{4},\frac{1}{2},-4\right)$
$\left(-\frac{3}{4},-1,-3,\frac{5}{4}\right)$
$\left(\frac{3}{2},-\frac{2}{5},-2,\frac{3}{5}\right)$
$\left(-5,1,1,-\frac{3}{2}\right)$
$\left(3,-2,-\frac{1}{3},\frac{4}{3}\right)$
$\left(\frac{1}{4},-\frac{5}{2},-\frac{3}{4},-3\right)$
$\left(-\frac{5}{3},-\frac{2}{3},-\frac{1}{2},-\frac{4}{3}\right)$
$\left(-1,-1,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$
$\left(-\frac{1}{5},0,\frac{2}{3},-\frac{4}{5}\right)$
$\left(-\frac{4}{5},1,4,-\frac{5}{4}\right)$
$\left(-\frac{3}{5},-3,\frac{1}{2},-\frac{2}{5}\right)$
$\left(\frac{5}{2},3,-\frac{3}{5},0\right)$
$\left(-\frac{3}{4},-1,1,-\frac{1}{5}\right)$
$\left(\frac{1}{4},\frac{1}{5},3,-\frac{5}{4}\right)$
$\left(-5,\frac{2}{3},\frac{5}{4},-\frac{5}{3}\right)$
$\left(-\frac{4}{3},1,\frac{4}{5},-1\right)$
$\left(-1,-\frac{4}{7},\frac{1}{3},\frac{4}{7}\right)$
$\left(\frac{2}{3},-\frac{7}{4},-\frac{3}{4},0\right)$
$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{5},1,-2\right)$
$\left(\frac{5}{7},-\frac{7}{4},-\frac{1}{7},\frac{2}{3}\right)$
$\left(-\frac{3}{2},2,\frac{1}{7},-\frac{5}{6}\right)$
$\left(\frac{2}{5},-\frac{7}{3},-\frac{6}{7},1\right)$
$\left(-1,-1,\frac{1}{2},1\right)$
$\left(\frac{2}{7},-\frac{3}{5},\frac{5}{4},\frac{1}{4}\right)$
$\left(1,-\frac{5}{3},\frac{1}{3},-\frac{5}{7}\right)$
$\left(\frac{7}{2},-\frac{7}{4},-\frac{1}{6},3\right)$
$\left(-\frac{2}{7},-\frac{5}{4},\frac{3}{5},\frac{5}{6}\right)$
$\left(\frac{1}{2},-1,\frac{3}{2},-\frac{4}{3}\right)$
$\left(\frac{3}{2},\frac{3}{5},\frac{4}{5},\frac{2}{5}\right)$
$\left(-2,-\frac{7}{5},0,\frac{2}{7}\right)$
$\left(6,-\frac{1}{4},7,1\right)$
$\left(3,\frac{7}{6},0,-\frac{5}{4}\right)$
$\left(-\frac{1}{6},0,\frac{2}{5},-1\right)$
$\left(0,0,-1,-\frac{1}{3}\right)$
$\left(-\frac{2}{5},-\frac{3}{5},-\frac{3}{2},0\right)$
$\left(-\frac{1}{2},-\frac{5}{4},-\frac{5}{2},-\frac{3}{5}\right)$

אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות בשני נעלמים או יותר/תרגילים/משוואות לא לינאריות רמה א

אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות בשני נעלמים או יותר/תרגילים/משוואות לא לינאריות רמה ב

אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות בשני נעלמים או יותר/תרגילים/משוואות לא לינאריות רמה ג

[עריכה] בעיות מילוליות

[עריכה] הקדמה

בעיות מילוליות הינן תרגילים מתמטיים המנוסחים בצורת "סיפור". מתוך השאלה עלינו להבין בעצמנו את הנתונים והקשר ביניהם

בחלק זה נלמד את כל סוגי הבעיות המילוליות שיכולים להופיע בבגרות.

רשימת הפרקים

דרישות קדם: כדאי מאוד לעבור על פרקי החשבון במדף מתמטיקה. לרוב בעיות אלה מצריכות שימוש באחוזים ועקב כך בשברים עשרוניים. כדאי לעבור גם על פתרון משוואות ממעלה ראשונה ושנייה.

בהצלחה!

[עריכה] קבוצות ותחומים

בפרק זה נעסוק בנושאים בסיסיים בתורת הקבוצות במידה הנדרשת על מנת שנוכל להמשיך לנושא אי שוויונות.
זהו נושא פשוט, קצר ובסיסי מאוד במתמטיקה.

רשימת הפרקים

תורת הקבוצות היא התחום במתמטיקה העוסק בקבוצות ובאברים הנמצאים בתוכן. למשל, כל אחד מכם שייך לקבוצת בני האדם, החתול והכלב שייכים לקבוצת בעלי החיים וירושלים ותל אביב שייכות לקבוצת הערים.
תורת הקבוצות היא השפה המתמטית בה נשתמש כדי לתאר קבוצות מעולם היום יום וקבוצות מתמטיות מופשטות, כמו קבוצת המספרים השליליים או קבוצת המספרים הזוגיים.

[עריכה] קבוצה

התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף או רשימה של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה נקראים איברי הקבוצה. נהוג להציג קבוצה באמצעות סוגריים מסולסלים, שבתוכם מפורטים כל איברי הקבוצה, או מופיע כלל לפיו נוצרים כל איברי הקבוצה.
למשל, כיתה בתיכון היא קבוצה של תלמידים. מה שמגדיר את התלמידים כאברים של הכיתה שלהם על פי רשימת התלמידים של הכיתה. קבוצה יכולה להיות קבוצה סופית, כלומר קבוצה בעלת מספר מסויים של אברים (כמו למשל כל הסוכריות בעולם) או קבוצה אינסופית, כלומר קבוצה שעבור כל מספר שנבחר מספר האיברים בקבוצה גדול ממנו. דוגמא לקבוצה כזו היא קבוצת המספרים השלמים.
נהוג לסמן קבוצות באותיות לטיניות גדולות וקבוצות מיוחדות שיש להן שימושים מיוחדים, נהוג לסמן בגופן מיוחד (יוצג בהמשך).
קבוצה יכולה להיות אוסף שרירותי לחלוטין של אברים. למשל, נוכל לאגד יחד בקבוצה אחת צרצר, חמוס וחלב. הקבוצות המעניינות אותנו הן קבוצות מתמטיות ולכן נראה כיצד נהוג לסמן קבוצות במתמטיקה.
ניקח את הקבוצה שמאגדת את 1,2,3 ו-4 יחד. במקום לכתוב זאת במילים, במתמטיקה נהוג לכתוב זאת כך:

$A=\left\{1,2,3,4\right\}$

באותה הזדמנות גם סימנו את הקבוצה הזו באות הלטינית $\;A$ . בקבוצה לא יתכן שאותו איבר יחזור פעמיים. כך למשל,

$A=\left\{1,1,2,3,4\right\}=\left\{1,2,3,4\right\}$

כמו-כן, אין בקבוצה (בניגוד לסדרה) משמעות לסדר שבו כותבים את האברים. גם אם אחד גדול מהשני, המיקום שלהם בכתיבה אינו בעל משמעות כלל. כך למשל,

$A=\left\{4,3,1,2\right\}=\left\{1,2,3,4\right\}$

לעיתים נרצה לכתוב קבוצה גדולה אשר אין לנו סיבה טובה לכתוב באופן מפורש. למשל, קבוצת המספרים השלמים מ-1 עד 101. במקרה זה נכתוב זאת כך:

$A=\left\{1,2,\dots,101\right\}$

שימו לב לסימון של $\dots$ (שלוש נקודות). סימון זה אומר שעל הקורא לחשוב לבד מה אמור להיות במקום הנקודות על פי הכלל שכתוב בהתחלה. במקרים בהם הכלל לא ברור מאליו יהיה כתוב מה הכלל בתוך הסוגרים.
במידה ונרצה לסמן קבוצה שמכילה את כל המספרים הממשיים שגדולים מ-5 נכתוב:

$A=\left\{x\left|x>5\right.\right\}$

לעיתים נרצה להדגיש ש- $\;x$ הוא מספר ממשי, ואז נכתוב ש-

$A=\left\{x\in{\mathbb{R}}\left|x>5\right.\right\}$

במקרה שלנו, בקבוצה $\;A$ יש את כל המספרים הממשיים שגדולים מ-5.
או במילים: " $\;A$ היא קבוצת כל המספרים הממשיים שגדולים מ-5". לעיתים כותבים את הכלל במילים בתוך הסוגריים המסולסלים.

[עריכה] סימונים

סימן היחס הבסיסי ביותר בתורת הקבוצות הוא סימן השייכות. הסימן שייך הוא הסימן $\in$ כאשר בצד ימין תהיה הקבוצה ובצד שמאל יהיה האיבר. הפסוק יהיה אמיתי אם באמת מה שכתוב בצד שמאל הוא איבר בקבוצה שכתובה בצד ימין. בקבוצה שהגדרנו מקודם, $A=\left\{1,2,3,4\right\}$ , מתקיים ש-3 הוא אבר בקבוצה. את זה ניתן לכתוב כך:

$3\in A$

זהו פסוק אמת. לעומת זאת המספר 6 אינו איבר ב- $\;A$ ולכן הפסוק

$6\in A$

איננו אמת, והסימון לכך הוא

$6\not\in A$

כלומר $6\not\in A$ הוא כן פסוק אמת.

[עריכה] קבוצות מיוחדות

קיימות קבוצות מיוחדות במתמטיקה, למשל קבוצת המספרים הטבעיים, ויש להן סימונים מיוחדים. קבוצת המספרים הטבעיים מסומנת באות המיוחדת $\mathbb{N}$ ואילו קבוצת על המספרים הממשיים (כלומר כל המספרים כולל שליליים, שורשים וכו') מסומנת באות המיוחדת $\mathbb{R}$ . אם אנו כותבים למשל ש- $x\in\mathbb{R}$ אז למעשה אנו אומרים ש- $\;x$ הוא מספר ממשי. אם אנו כותבים ש- $k\in\mathbb{N}$ אז אנו אומרים ש- $\;k$ הוא מספר טבעי.
ישנה קבוצה מיוחדת נוספת אשר נקראת הקבוצה הריקה. היא מסומנת באות היוונית פי ( $\;\phi$ ). לקבוצה זו אין אף איבר. לכן האמירה $x\in\phi$ היא סתירה. נזכיר שוב שקבוצת המספרים הטבעיים היא קבוצת כל המספרים השלמים הגדולים מ-0 (ישנם המכלילים את 0 בקבוצה אולם בספר זה לא נעשה זאת). כלומר בסימון מתמטי:

$\mathbb{N}=\left\{1,2,\dots\right\}$

נגדיר באופן מדוייק למה הכוונה בסימן שוויון בפרק הבא.

הפרק הקודם:
קבוצות ותחומים (מבוא)

בסיס
תרגילים

הפרק הבא:
הכלה ושוויון

[עריכה] תרגילים

ענו על השאלות הבאות.

אילו מבין האברים הבאים נמצא בקבוצה שהוגדרה בפרק?
1. $\;1$
2. $\;5$
3. $\left\{1,3\right\}$
4. $A$
5. $\left\{A\right\}$
כתבו בשפה מתמטית קבוצה שמכילה את כל המספרים הזוגיים מ- 1 עד 10.
כתבו בשפה מתמטית קבוצה שמכילה את כל המספרים הראשוניים מ- 1 עד 24.
כתבו בשפה מתמטית קבוצה שמכילה את כל המספרים הזוגיים מ-1 עד 119.
אילו מבין המספרים הבאים הוא איבר ב-?
1. $\;4$
2. $\;4.2$
3. $\;1$
4. $\;-1$
5. $\;0$
6. $\;\pi$
7. $\frac{5}{2}$
8. $\frac{6}{2}$
קבעו, לכל אחד, האם המשפטים הבאים נכונים או לא:
1. $\;4\in\mathbb{R}$
2. $\;1.2\in\mathbb{R}$
3. $\;\pi\in\mathbb{R}$
4. $\;\mathbb{N}\in\mathbb{R}$
5. $\;2\in\mathbb{N}$
6. $\;3\not\in\mathbb{R}$
7. $\;4.4\not\in\mathbb{N}$
8. $\;\pi\in\mathbb{N}$
כתבו בכתיב מתמטי
1. קבוצת כל המספרים הממשיים שקטנים או שווים ל-3.
2. קבוצת כל המספרים הטבעיים שמתחלקים ב-27.
3. קבוצת כל המספרים הטבעיים הגדולים מ-4.
4. קבוצת כל המספרים הממשיים השליליים.
5. קבוצת כל המספרים האי-שליליים.
6. קבוצת כל המספרים הגדולים מ-5 וגם קטנים מ-10.
7. קבוצת כל המספרים הגדולים או שווים ל-3 או קטנים מ-2
8. (*)קבוצת כל המספרים הראשוניים.
9. (*)קבוצת כל המספרים הממשיים אשר ריבועיהם קטן מ-2 (שימו לב! אל תנסו לפתור את התרגיל - רק לכתוב את הכלל).
10. (*)קבוצת כל המספרים הממשיים אשר ניתן להציג כשבר של מספרים שלמים (קבוצת המספרים הרציונליים - $\mathbb{Q}$ ).
11. (*)קבוצת כל המספרים אשר שורשיהם השלישיים גדולים מ-5.

[עריכה] פתרונות

$\;A$ מכילה את 1. כל השאר, אינם אברים ב- $\;A$ .
$\;\left\{1,2,\dots,10\right\}$
$\;\left\{2,3,5,7,11,13,17,19,23\right\}$
$\;\left\{2,4,\dots,118\right\}$
המספרים $\;4$ ו- $\;1$ הם מספרים טבעיים. גם $\frac{6}{2}$ הוא מספר טבעי כי לאחר חישוב מתקבל כמובן, 3.
פתרון:
1. נכון
2. נכון
3. נכון
4. לא נכון
5. נכון
6. לא נכון
7. נכון
8. לא נכון
פתרונות
1. $\left\{x\in{\mathbb{R}}\left|x\le{3}\right.\right\}$
2. $\left\{k\in{\mathbb{N}}\left|k\ has\ 27\ as\ factor\right.\right\}$
3. $\left\{m\in{\mathbb{N}}\left|m>4\right.\right\}$
4. $\left\{x\in{\mathbb{R}}\left|x<0\right.\right\}$
5. $\left\{x\left|x\ge{0}\right.\right\}$
6. $\left\{x\left|x>5\ and\ x<10\right.\right\}$
7. $\left\{x\left|x>3\ or\ x<2\right.\right\}$
8. $\left\{p\in{\mathbb{N}}\left|p\neq{n\cdot{m}}\ for\ every\ natural\ 1<m<p\ and\ 1<n<p\right.\right\}$
9. $\left\{x\in{\mathbb{R}}\left|{x^2}<2\right.\right\}$
10. $\left\{\frac{m}{n}\left|m\in{\mathbb{N}}\ and\ n\in{\mathbb{Z}}\right.\right\}$
11. $\left\{x\left|\sqrt[3]{x}>5\right.\right\}$

[עריכה] הכלה

כשם שישנו סימון מתמטי שמתאר יחס בין איבר לקבוצה (כלומר יחס השייכות) ישנם סימני יחס נוספים שמסמנים קשר בין קבוצות שלמות. הסימן הבסיסי ביותר לתיאור יחס בין קבוצות הוא סימן ההכלה שמסומן בסימון: $\;\subseteq$ . נניח למשל שישנן שתי קבוצות $\;A$ ו־ $\;B$ . נניח גם שכל האברים של $\;A$ גם נמצאים ב- $\;B$ כלומר לכל איבר $\;x$ שמקיים $\;x\in A$ גם מתקיים $\;x\in B$ . במקרה זה נאמר ש- $\;A$ מוכלת ב- $\;B$ ונסמן זאת בסימון:

$A \subseteq {B}$

הבה נתבונן בדוגמא של הכלה. למשל, נניח שהקבוצה $\;A$ היא קבוצת כל החמוסים. כמו-כן, נניח ש- $\;B$ היא קבוצת כל היונקים. מכיוון שכל חמוס הוא גם יונק, ברור ש

$A \subseteq {B}$

כמו-כן, גם ברור מיד שההיפך אינו נכון, שכן בני אדם הם יונקים, אבל הם אינם חמוסים. כלומר, ישנו יונק שאינו חמוס. זאת אומרת ש-

$\;B\not\subseteq {A}$

כדאי לדעת:

שימו לב! יחס ההכלה איננו סימטרי! יש לשים לב לכיוון ההכלה. ישנו דמיון בין סימן ההכלה לסימן יחס הסדר (גדול - < או קטן >). הצד הפתוח מצביע לכיוון הקבוצה ה"גדולה" יותר ואילו הצד הסגור לכיוון הקבוצה ה"קטנה" יותר. בדומה לסימן יחס הסדר.

אם קבוצה מוכלת בקבוצה אחרת אז היא נקראת גם תת-קבוצה של הקבוצה ה"גדולה" יותר. בדוגמא שלנו, קבוצת החמוסים היא תת-קבוצה של קבוצת היונקים, אבל לא תת-קבוצה של קבוצת בני האדם. בני-האדם לעומת זאת הם כן תת-קבוצה של קבוצת היונקים.

[עריכה] הכלה ממש והכלה חלשה

נדבר על ההבדל בין הכלה ממש להכלה חלשה. נדמיין מצב שבו ישנן שתי קבוצות, למשל $\;A$ ו $\;B$ . נניח גם שכל האברים של $\;A$ שייכים גם ל- $\;B$ . במצב זה, כפי שכבר ראינו

$A\subseteq {B}$

אבל, כאן יתכן ששתי הקבוצות מכילות בדיוק את אותם האברים. לכן סימן זה נקרא הכלה חלשה. הכלה חזקה או בשמה השני הכלה ממש זה מצב שבו בקבוצה $\;B$ ישנו לפחות אבר אחד שאינו שייך ל- $\;A$ . מצב זה יסומן כך:

$\;A\subset {B}$

שוב רואים כאן דמיון לסימון יחס הסדר (גדול-קטן) $\;<$ .

[עריכה] שוויון

המצב שוויון בין קבוצות הוא מצב שקל מאוד לדמיין. אם שתי שתי קבוצות מוכלות אחת בתוך השניה (הכלה חלשה לשני הכיוונים) אז הקבוצות תקראנה שוות. כלומר $\;A\subseteq {B}$ וגם $\;B\subseteq {A}$ שניהם מתקיימים ביחד.
הבה נתבונן על התכונות הבסיסיות של סימן השוויון. השוויון חייב להיות סימטרי. כלומר לומר ש- $\;A=B$ זה אותו דבר כמו להגיד ש- $\;B=A$ . זה נכון בגלל שאם $\;A\subseteq {B}$ וגם $\;B\subseteq {A}$ אז גם מתקיים ש- $\;B\subseteq {A}$ וגם $\;A\subseteq {B}$ . גם צריך להתקיים שלכל קבוצה $\;A=A$ . זה נכון כי $\;A\subseteq {A}$ וזה כמובן נכון לשני הכיוונים.
ישנה עוד תכונה חשובה של שוויון והיא שאם ישנן שלוש קבוצות $\;B$ , $\;A$ ו $\;C$ וגם $\;A=B$ ו $\;B=C$ אז $\;A=C$ (בדוק!).

[עריכה] סימון בדיאגרמות

דיאגרמת אוילר

ישנה דרך פשוטה לסמן יחסים בין קבוצות בצורה של ציור או דיאגרמה. לעיתים נקראות דיאגרמות אלו דיאגרמות וֶן, אך למעשה דיאגרמות אלו מיוחסות לכמה מתמטיקאים שונים. למשל, אם ישנה קבוצה $\;A$ אשר מוכלת בקבוצה $\;B$ וקבוצה נוספת $\;C$ אשר אין לה בכלל אברים משותפית עם השתיים האחרות, נצייר זאת כעיגול גדול שבתוכו עיגול קטן, כאשר עיגול נוסף מחוץ לשניהם ללא נקודת מגע (ראה דיאגרמת אוילר). נציג נושא זה שוב בפרק הבא.

[עריכה] הכלה ושוויון של קבוצות מיוחדות

לפי ההגדרה שלהן, נוכל לאמר מספר דברים ברורים לגבי הקבוצות המיוחדות, למשל, קבוצת המספרים הטבעיים- $\mathbb{N}$ מוכלת בקבוצת המספרים הממשיים- $\mathbb{R}$ וקבוצת המספרים השלמים- $\mathbb{Z}$ . כלומר, $\mathbb{N}\subset{\mathbb{Z}}$ וגם $\mathbb{N}\subset{\mathbb{R}}$ . חשוב לציין שאם מתקיימת הכלה חזקה, אז בפרט מתקיימת גם החלה חלשה. לכן גם מתקיים ש- $\mathbb{N}\subseteq{\mathbb{Z}}$ וגם $\mathbb{N}\subseteq{\mathbb{R}}$ . ברור גם ש- $\mathbb{Z}\subset{\mathbb{R}}$ וגם $\mathbb{N}\subset{\mathbb{Z}}$ .

הפרק הקודם:
מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות

הכלה ושוויון
תרגילים

הפרק הבא:
איחוד וחיתוך

[עריכה] תרגילים

סדרו את הקבוצות הבאות לפי סדר ההכלה שלהן.
- $\mathbb{Z}$
- $\mathbb{R}$
- $\mathbb{N}$
- קבוצת כל המספרים הזוגיים
ציירו דיאגרמה המתארת את המצב ההדדי של הקבוצות הבאות
- $\mathbb{N}$
- $\mathbb{R}$
- $\mathbb{Z}$
- קבוצת כל המספרים שהם כפולה שלמה של $π$ .
- $\left\{1,2,\dots,103\right\}$

[עריכה] איחוד וחיתוך

בדומה לפעולות על מספרים כגון חיבור וחיסור, ישנן פעולות גם על קבוצות. הפעולות הבסיסיות ביותר הן פעולות החיתוך והאיחוד. כשם שתוצאת החיבור והחיסור של שני מספרים היא מספר, גם תוצאת האיחוד והחיתוך של קבוצות היא קבוצה. נגדיר כעת את פעולות אלו באופן מתמטי.

[עריכה] איחוד

דיאגרמת וֶן לאיחוד

איחוד שתי קבוצות היא קבוצה חדשה המכילה את כל האברים של הקבוצה הראשונה ואת כל האברים של הקבוצה השניה. איחוד מסומן באופן הבא: נתונות שתי קבוצות - $\;A$ ו $\;B$ הקבוצה $\;C$ היא האיחוד שלהן, וזה יסומן כ:

$C=A\cup{B}$

במילים אחרות, האיחוד של $\;A$ ו $\;B$ הוא $\;C$ . בקבוצה החדשה שלנו, $\;C$ מופיעים כל האברים של $\;A$ וגם כל האברים של $\;B$ . זאת אומרת שלכל $\;x$ שהוא גם אבר ב- $\;A$ , כלומר, $\;x\in {A}$ מקיים גם ש- $\;x\in {C}$ וכך גם ל- $\;B$ . כלומר כל האברים ב- $\;C$ מופיעים או ב- $\;A$ או ב- $\;B$ או בשתיהן. על כן, אומרים שפעולת האיחוד מקבילה לקשר הלוגי או.
איחוד של קבוצות שמוכלות אחת בשניה הוא תמיד הקבוצה ה"גדולה" יותר. וגם קל לראות שפעולת האיחוד היא סימטרית.
בדיאגרמת ון משמאל מופיע האיחוד בצבע צהוב.

[עריכה] חיתוך

דיאגרמת וֶן לחיתוך

בניגוד לאיחוד, חיתוך שתי קבוצות הוא קבוצה חדשה המכילה את כל האברים של הקבוצה הראשונה שהם גם אברים של הקבוצה השניה. חיתוך מסומן באופן הבא: נתונות שתי קבוצות - $\;A$ ו $\;B$ הקבוצה $\;C$ היא החיתוך שלהן, וזה יסומן כ:

$C=A\cap{B}$

במילים אחרות, החיתוך של $\;A$ ו $\;B$ הוא $\;C$ . בקבוצה החדשה, $\;C$ מופיעים כל האברים של $\;A$ שהם גם אברים של $\;B$ . זאת אומרת שלכל $\;x$ שמקיים $\;x\in {C}$ מתקיים ש- $x\in{A}$ וגם $x\in{B}$ . כלומר כל האברים ב- $\;C$ מופיעים גם ב- $\;A$ וגם ב- $\;B$ . על כן, אומרים שפעולת האיחוד מקבילה לקשר הלוגי וגם.
חיתוך של קבוצות שמוכלות אחת בשניה הוא תמיד הקבוצה ה"קטנה" יותר. וגם קל לראות שפעולת החיתוך היא סימטרית. בדיאגרמת ון משמאל, מסומן החיתוך באדום.

כדאי לדעת:

כיצד נזכור את הכיוונים של איחוד וחיתוך? הנה עזר זיכרון. סימן החיתוך נראה כמו האות ח', שהרי חיתוך מתחיל בח'. עבור איחוד, הוא נראה כמו האות הלטינית - U, ובאנגלית המילה איחוד היא Union.

[עריכה] חיסור קבוצות

ישנה פעולה נוספת, אשר גם היא יוצרת קבוצה חדשה, זוהי פעולת החיסור. בניגוד לחיתוך ואיחוד, חיסור קבוצות אינו סימטרי ומתקבלות תוצאות שונות אם מחליפים את הכיוונים. מחיסור בין שתי קבוצות מתקבלת קבוצה חדשה אשר מכילה את כל האברים של הקבוצה הראשונה אשר אינם בקבוצה השניה. אם בקבוצה השניה יש אברים שאינם קיימים בקבוצה הראשונה, הם לא משפיעים. פעולה זו תסומן בסימן החיסור הרגיל של המספרים, או על ידי לוכסן:

$C=A-B=A \setminus{B}\;$

[עריכה] הקבוצה המשלימה וחוקי דה-מורגן

הבא נניח שכל הקבוצות שבהן אנו עוסקים מוכלות כולן בקבוצה "כללית" שתסומן באות $\;U$ (לעיתים מסומנת ב- $\;\Omega$ ). כעת נניח שישנן קבוצות $\;A$ ו $\;B$ . הקבוצה השלימה של $\;A$ אשר תקרא המשלים של $\;A$ , היא הקבוצה $\;\overline{A}$ (מסומן בקו מעל סימון הקבוצה), אשר מקיימת:

$\overline{A}=\Omega \setminus{A}=U\setminus{A}$

מתוך ההגדרה די ברור שהמשלים של המשלים הוא הקבוצה המקורית. זאת קל לראות בעזרת דיאגרמה מתאימה (בדוק!)

[עריכה] חוקי דה מורגן

חוקי דה-מורגן הינם חוקים אשר מטרתם ל"הפוך" חיתוך באיחוד. זה נעשה על ידי שימוש במשלים. חוקי דה-מורגן קובעים שלכל שתי קבוצות $\;A$ ו- $\;B$ מתקיים:

$\overline{A\cap {B}}=\overline{A}\cup\overline{B}$
$\overline{A\cup {B}}=\overline{A}\cap\overline{B}$

[עריכה] הוכחת חוקי דה-מורגן

כעת נדגים הוכחה בתורת הקבוצות, ובד בבד, גם נוכיח את הכללים החשובים של דה-מורגן.
הוכחה: נתחיל בחוק הראשון. נבחר אבר כלשהו, $x\in \overline{A\cap{B}}$ (כלומר איבר במשלים של קבוצת החיתוך). לפי ההגדרה, $\;x$ אינו בד-בבד ב- $\;A$ וב- $\;B$ (כי הוא במשלים) אז יש רק 3 אופציות.

יתכן ש- $\;x\in {A}$ וגם $\;x\not\in {B}$ .
יתכן ש- $\;x\in {B}$ וגם $\;x\not\in {A}$ .
יתכן ש- $\;x\not\in {A}$ וגם $\;x\not\in {B}$ .

מתוך 1 נובע ש- $\;x \in \overline{B}$ ולכן בפרט גם באיחוד $\overline{A}\cup{\overline{B}}$ .
מתוך 2 נובע ש- $\;x\in {\overline{A}}$ ולכן בפרט גם באיחוד $\overline{A}\cup{\overline{B}}$ .
מתוך 3 ברור ש - $x\in\overline{A}\cup{\overline{B}}$ ממש מתוך ההגדרה.
מה שקיבלנו זה ש- $\overline{A \cap{B}}\subseteq{\overline{A}\cup\overline{B}}$ . לא נותר אלא להראות את ההכלה בכיוון השני.
נבחר אבר כלשהו, $x\in \overline{A}\cup\overline{B}$ . לפי ההגדרה, $x\in \overline{A}$ או $x\in \overline{B}$ (או שניהם) ולכן יש 3 אופציות:

יתכן ש- $\;x\in \overline{A}$ .
יתכן ש- $\;x\in \overline{B}$ .
יתכן ש-1 וגם 2 מתקיימים בו-זמנית.

אם מתקיים 1, אז בהכרח $\;x\not\in A$ מכאן בפרט, $\;x\not\in A\cap{B}$ (למה?). לכן ברור ש- $x\in \overline{A\cap{B}}$ . באופן סימטרי גם עבור 2 ו-3 $x\in \overline{A\cap{B}}$ מאותם שיקולים. הראנו הכלה בכיוון ההפוך כלומר, $\overline{A\cap{B}}\supseteq{\overline{A}\cup{\overline{B}}}$ ולכן לפי ההגדרה גם $\overline{A\cap{B}}=\overline{A}\cup{\overline{B}}$ כנדרש.

כתרגיל ניתן לקורא להוכיח את החוק השני.

הערה: שים לב, אין להגדיר קבוצה שמכילה את כל העצמים - כולל קבוצות - ביקום, הסיבה לכך היא פרדוקס ראסל, אשר לא נדון בו במסגרת ספר זה.

הפרק הקודם:
הכלה ושוויון

איחוד וחיתוך
תרגילים

הפרק הבא:
קשרים לוגיים

[עריכה] תרגילים

[עריכה] איחוד וחיתוך

חשבו את:
1. $\left\{1,2,3,6,7,8\right\}\cap{\left\{1,2,7,10,4,5\right\}}$
2. $\left\{2,4,6,\dots\right\}\cap{\mathbb{N}}$
3. $\left\{1,2,3,6,7,8\right\}\cup{\left\{1,2,7,10,4,5\right\}}$
4. $\left\{ x \left| x \ge { 0 } \right. \right\} \cap { \left\{ x \left| x\le{2} \right. \right\} }$
5. $\left\{x\left|x\ge{0}\right.\right\}\cap{ \left\{x\left|x<0\right.\right\} }$
6. $\left(\left\{1,2,3,6,7,8\right\}\cap{\left\{1,2,7,10,4,5\right\}}\right)\cup\left\{0,2,3\right\}$
7. - האם התוצאה שקיבלתם בסעיף זה זהה לתואה בסעיף קודם?
  - האם פעולות החיתוך והאיחוד ניתנות לפילוג?
הוכיחו או מצאו דוגמא נגדית שסותרת את הטענה הבאה: $A\cap{(B\cup{C}})=(A\cap{B})\cup{C}$ .
הוכיחו או מצאו דוגמא נגדית שסותרת את הטענה הבאה: $A\cap{(B\cup{C}})=(A\cap{B})\cup{(A\cap{C})}$ .
הוכיחו את חוק דה-מורגן שלא הוכח.
הוכיחו כי $A\cap{B}\subseteq{A}$
האם נכון ש- $A\cup{B}\subseteq{A}$ ? אם כן, הוכיחו, אם לא, תנו דוגמא הסותרת זאת.
האם נכון ש- $A\cup{B}\supseteq{A}$ ? אם כן, הוכיחו, אם לא, תנו דוגמא הסותרת זאת.
חשבו את:
1. $\left\{1,2,3,6,7,8\right\}\setminus{\left\{1,2,7,10,4,5\right\}}$
2. $\left\{2,4,6,\dots\right\}\setminus{\mathbb{N}}$
3. $\left\{1,2,3,6,7,8\right\}\setminus{\left\{1,2,7,10,4,5\right\}}$
4. $\left\{x\left|x\ge{0}\right.\right\}\setminus{ \left\{x\left|x\le{2}\right.\right\} }$
5. $\left\{x\left|x\ge{0}\right.\right\}\setminus{ \left\{x\left|x<0\right.\right\} }$

[עריכה] קשרים לוגיים

בתורת הלוגיקה המתמטית, קשר לוגי הוא סימן אשר פועל על פסוקים אשר ניתן להעריך אם הם אמת או שקר. למשל, הפסוק "חמוס הוא יונק" הוא פסוק שניתן להעריך אם הוא אמת או שקר. במקרה זה, אנו מתבססים על עולם הביולוגיה, אשר סיווג את החמוסים וסיווג אותם בקבוצה. בעולם הביולוגי, פסוק זה הוא אמת מכיוון שהחמוס הוא בעל חיים ממשפחת היונקים, כלומר, חמוס מסויים הוא אבר בקבוצת היונקים. ישנם פסוקים שקריים. למשל, הפסוק "ישנו אדם שהוא חמוס" הוא (לפחות בעולם הביולוגיה) שקרי.
נתחיל את הדיון שלנו בקשרים לוגיים בשתי הגדרות:

ערך אמת הוא אבר בקבוצה שמכילה שתי מילים: אמת ושקר. במילים אחרות, זה או המילה אמת, או המלה שקר (במובן הרגיל שלהן).
קָשַר לוגי הוא התאמה בין אחד או יותר ערכי אמת לערך אמת יחיד חדש שנוצר מהם. למשל, אמת או אמת זה אמת. לא אמת זה שקר, שקר וגם אמת זה שקר וכו'.

במתמטיקה וגם בחיים משפטים לרוב מורכבים מ"תת משפטים" כלומר, משפטים קטנים יותר שמרכיבים אותם. במשפט "היום ירד גשם וגם אין סוסים שמדברים עברית" יש למעשה שני משפטים קטנים יותר, שכל אחד מהם ניתן להעריך אם הוא נכון או לא. למשל, אני יודע אם באמת היום ירד גשם, אז אני יכול לקבוע אם היום ירד גשם זה אמת, וגם אני יודע, מנסיון, שאין באמת סוסים שמדברים עברית, כלומר, המשפט "אין סוסים שמדברים עברית", שמרכיב את המשפט כולו, הוא אמיתי בעולם שלי. על-כן, אם אכן היום באמת ירד גשם אז המשפט הגדול "היום ירד גשם וגם אין סוסים שמדברים עברית" הוא כולו אמת. מצד שני, אם היום לא ירד גשם, אז המשפט "היום ירד גשם וגם אין סוסים שמדברים עברית" הוא שקרי, מכיוון שהיום לא ירד גשם, ולכן זה בכלל לא משנה אם יש או אין סוסים שמדברים עברית, המשפט "היום ירד גשם וגם אין סוסים שמדברים עברית" הוא פשוט לא נכון. לו היינו מחליפים את המלה וגם במלה או ועוברים למשמעות מתמטית של המלה "או" היתה למשפט משמעות שונה לחלוטין. למעשה, כעת היינו מקבלים משפט אמיתי מכיוון שזה לא משנה אם ירד גשם או לא, הרי ידוע לנו שאין סוסים שמדברים עברית לכן המשפט "היום ירד גשם או שאין סוסים שמדברים עברית" הוא אמיתי, למרות שהוא נשמע קצת מגוחך.
בניגוד לשפה העברית, במתמטיקה ישנה משמעות שונה למילה "או". המילה או בעברית המחברת בין שני משפטים, תהפוך את המשפט המורכב לאמת אם רק אחד משני המשפטים הוא אמת. לדוגמא: "היום ירד גשם או שאין סוסים שמדברים עברית" הוא אמת רק אם באמת לא ירד גשם. במתמטיקה אין הדבר כך. המשפט "היום ירד גשם או שאין סוסים שמדברים עברית" אם לפחות אחד מהמשפטים המחוברים הוא אמת (מספיק אחד).

[עריכה] טבלאות אמת

הבא נתבונן יותר בכלליות על המושגים שדיברנו עד כה. מילת הקשר העברית "או" כרגע הופעלה כקשר לוגי, וחיברה בין שני משפטים שונים, אשר כל אחד מהם הוא אולי אמת או אולי שקר. נשים לב שמדובר כאן בלוגיקה מאוד פשוטה. משפט שבנוי משני משפטים קטנים ומילת חיבור "או" הוא אמת, אם ורק אם, לפחות אחד מהם הוא אמת. אז ניתן לכתוב זאת בטבלא, שתקרא טבלאת אמת. המשפט הימני יקרא $\;A$ ואילו השמאלי יקרא $\;B$ . נבנה טבלא:

$\;A$	$\;B$	$\;A$ או $\;B$
אמת	אמת	אמת
אמת	שקר	אמת
שקר	אמת	אמת
שקר	שקר	שקר

כלומר, כאשר, למשל, שני המשפטים שקר, אז גם החיבור בעזרת או הוא שקר.

[עריכה] הקשרים הבסיסיים "או", "וגם" ו"לא"

שלושת הקשרים הפשוטים והחשובים ביותר להבנה הם הקשרים "או", "וגם" ו"לא". הקשר "לא" הוא הפשוט ביותר, הוא לא מחבר משפטים, אבל הוא יכול להקדים את המשפט ולהפוך את משמעותו. למשל "לא היום ירד גשם", זה בדיוק הפוך ל"היום ירד גשם", לכן, טבלת האמת של "לא" היא:

$\;A$	לא $\;A$
אמת	שקר
שקר	אמת

ברור שזהו הקשר הפשוט ביותר, מכיוון שהוא פועל על ערך אמת יחיד בעוד ש"או" ו"וגם" פועלים על שנים. נמשיך ונבנה את טבלת האמת של "וגם". קשר זה מחבר שני משפטים כפי שראינו לעיל, והתוצאה היא אמת אם ורק אם אין אף שקר מבין המשפטים המחוברים. אז:

$\;A$	$\;B$	$\;A$ וגם $\;B$
אמת	אמת	אמת
אמת	שקר	שקר
שקר	אמת	שקר
שקר	שקר	שקר

כמו-כן, ניתן לבצע הרכבות או להחליף מקומות. למשל, $\;A$ וגם לא $\;B$ . במקרה הזה, נקבל:

$\;A$	$\;B$	$\;A$ וגם לא $\;B$
אמת	אמת	שקר
אמת	שקר	אמת
שקר	אמת	שקר
שקר	שקר	שקר

עוד ניתן גם להוסיף משפט שלישי למשל, או רביעי וכו', אבל ככל שמוסיפים יותר משפטים הטבלא תעשה יותר ויותר גדולה. לקשרים הלוגיים יש סימונים מתמטיים. ניתן להשתמש בסימונים הללו, אך ניתן גם לכתוב במילים, מה שלעיתים קרובות נוח יותר לקריאה. הקשר "או" מסומן כ-" $\vee$ ", הקשר "וגם" מסומן כ-" $\wedge$ " והקשר "לא" מסומן כ-" $˜$ ".

[עריכה] קשרים לוגיים וקבוצות

ישנו קשר בין הפעולות שניתן לבצע על קבוצות לבין הקשרים הלוגיים. למשל, קבוצה שמכילה את כל היונקים הלבנים, וקבוצה אחרת שמכילה את כל היונקים השחורים, הן שתי קבוצות אשר נסמנן ב- $\;A$ ו- $\;B$ בהתאמה. קבוצת האיחוד היא קבוצה חדשה $\;A\cup{B}$ שמכילה את כל היונקים שהם שחורים או לבנים. לעומתה, הקבוצה של החיתוך, כלומר $\;A\cap{B}$ היא קבוצה שמכילה את כל היונקים שהם לבנים ושחורים גם יחד (זה נשמע אולי כמו סתירה, ואם זו אכן סתירה אז החיתוך הוא הקבוצה הריקה, אך למעשה, זה תלוי בכיצד קובעים אם יונק הוא שחור או לא). כלומר, איחוד של שתי הקבוצות זה בחירה כל האברים שהם מ- $\;A$ או מ- $\;B$ וחיתוך זה בחירת כל האברים שהם ב- $\;A$ וגם ב- $\;B$ . איחוד מתאים לקשר או ואילו חיתוך מתאים לקשר וגם. על הקורא מוטלת המשימה של להבין מדוע הקשר לא מתאים לפעולת החיסור בין קבוצות.

הפרק הקודם:
איחוד וחיתוך

קשרים לוגיים
תרגילים

הפרק הבא:
תחומי הצבה והגדרה

[עריכה] תרגילים

הרכיבו טבלאות אמת עבור הפסוקים הבאים:
1. (לא $\;a$ ) או $\;b$ .
2. לא ( $\;a$ או $\;b$ ).
3. $\sim(a\wedge{b})\vee{c}$
4. $((\sim{a})\vee(\sim{b}))\wedge{c}$
5. $\sim({a}\wedge{b})\vee{c}$
6. $\sim({a}\vee{b})$
הוכיחו את חוקי דה-מורגן לקשרים לוגיים:
- $\sim{(a\vee{b})}=(\sim{a})\wedge(\sim{b})$
- $\sim{(a\wedge{b})}=(\sim{a})\vee(\sim{b})$
הוכיחו או תנו דוגמא נגדית: $(a\vee{b})\wedge{c}=(a\wedge{c})\vee(b\wedge{c})$

[עריכה] תחומי הצבה

במערכות משוואות ואי-שוויונות, לא תמיד ניתן להציב כל מספר כנעלם או משתנה. לעיתים אנו ניצבים בפני תרגיל שבו ניתן להציב רק תת-קבוצה של המספרים הממשיים. למשל, אם קיבלנו משוואה מהסוג: $4+\frac{1}{x-5}=3$ , אז אסור להציב $\;x=5$ מכיוון שחילוק ב-0 איננו מוגדר. במקרה זה, הקבוצה שמותר לנו להציב (שתקרא תחום ההצבה) היא הקבוצה שמכילה כל $\;x$ פרט ל-5. את זה מסמנים כך:

$\;x\neq{5}$

למעשה, הסימון הזה אומר במובלע ש- $\;x$ אינו 5 אך יכול להיות כל אחד אחר. כלומר, מותר להציב כל מספר פרט ל-5. כדוגמה נוספת, ניקח את המשוואה:

$4+\frac{1}{x-5}-\frac{1}{x-9}=3$

נקבל שאסור להציב 5 או 9. כלומר הקבוצה שאסור להציב היא $\left\{5,9\right\}$ , אבל אנו מתבקשים למצוא את התחום שבו מותר להציב. התחום הזה הוא המשלים של התחום בו אסור להציב. כלומר, זה כל המספרים שהם לא המספרים 5 או 9. לפי חוקי דה-מורגן אנו מקבלים שקבוצה זו היא הקבוצה שלא מכילה את 5 וגם לא את 9 (בדוק!).
על מנת למצוא את תחומי ההצבה של משוואה זו או אחרת, עלינו ראשית למצוא את הקבוצה שבה אסור לנו להציב. לקבוצה זו אנו מוצאים את המשלים וזהו כאמור תחום ההצבה.

[עריכה] דוגמה 1

נתונה המשוואה:

$\frac{2}{x^2-9}+\frac{1}{5-x}=3$

מצא את תחום ההצבה.
פתרון: נפתור את המשוואה $\;x^2-9=0$ על מנת למצוא מתי השבר השמאלי במשוואה אינו מוגדר. הפתרון מתקבל מיידית, וקבוצת הפתרון היא $x_{1,2}=\pm 3$ . בשבר השני כמובן אסור להציב 5, מכיוון שגם אז השבר לא מוגדר. מכאן שהקבוצה של המספרים אותם אסור לנו להציב היא הקבוצה $\left\{-3,3,5\right\}$ ומכאן שתחום ההצבה הוא: $\;x\neq -3$ וגם $\;x\neq 3$ וגם $\;x\neq 5$ .

[עריכה] דוגמה 2

נושא זה ידון שוב ביתר הרחבה בפרק אי שיויונות. נניח שנתונה המשוואה:

$\sqrt{x+5}=3$

מצא את תחום ההצבה.
פתרון: לפי הגדרת השורש הריבועי במספרים הממשיים, אסור להציב בו מספרים שליליים. לכן, קבוצת ההצבה שלנו צריכה להיות כל ה- $; x$ ים שמותר להציב, ולכן תחום ההצבה הוא $\;x\ge -5$ כפי שקל לראות (פתרון של אי-שיויונות ידון בהמשך הספר).
תשובה: תחום ההצבה המבוקש הוא $\;x\ge -5$ .

[עריכה] דוגמה 3

נתונה המשוואה:

$\sqrt{x+5}-\sqrt{x-4}=3$

מצא את תחום ההצבה.
פתרון: לפי הגדרת השורש הריבועי במספרים הממשיים כאמור, אסור להציב בו מספרים שליליים. לכן, קבוצת ההצבה שלנו צריכה להיות כל ה- $; x$ ים שמותר להציב, כלומר תחום ההצבה הוא $\;x\ge -5$ וגם $\;x\ge 4$ . שימו לב שמדובר כאן על קשר לוגי וגם בין שני התנאים אז אנו מחפשים את קבוצת החיתוך של שני התנאים. במקרה זה, ברור שאם $\;x\ge 4$ אז הוא גם $\;x\ge - 5$ ואז החיתוך הוא בדיוק $\;x\ge 4$ . והתשובה הסופית היא: תחום ההצבה הוא: $\;x\ge 4$ .

[עריכה] דוגמה 4

נתונה המשוואה:

$\sqrt{x+5}-\frac{1}{\sqrt{-x-2}}=2$

מצא את תחום ההצבה.
פתרון: במקרה זה הפתרון הוא מעט שונה, אם כי השיטה זהה. ראשית, נבדוק מתי מותר להציב, כלומר, כאשר $\;x+5\ge 0$ וגם $\;-x-2\ge 0$ אבל יש גם את השבר, אז צריך לדרוש גם ש- $\;-x-2\ne 0$ . זה חיתוך של כל שלושת הקבוצות הללו, כי על $\;x$ לקיים את כל התנאים בו זמנית. התשובה תתקבל מ: $\;x\ge -5$ וגם $\;x\le -2$ וגם $\;x\ne -2$ ולאחר פישוט מתקבלת התשובה הסופית: $\;x\ge -5$ וגם $\;x< -2$ ואת זה אפשר גם לכתוב כך: $\;-5\le x< -2$ .

הפרק הקודם:
קשרים לוגיים

תחומי הצבה והגדרה
תרגילים

הפרק הבא:
אי שיויונות

אלגברה תיכונית/קבוצות ותחומים/תחומי הצבה והגדרה/תרגילים

[עריכה] אי שיויונות

אי שוויונות אלו פסוקים בהם אין סימן שוויון בין האגפים, אלא סימן גדול, קטן, גדול או שווה, קטן או שווה.
החוקים לפתרון אי-שוויונות דומים מאוד לאלו של פתרון משוואות, למעט מספר הבדלים:

כמו במשוואות, גם באי-שוויון מותר לחבר או לחסר את אותו המספר משני האגפים.
כמו במשוואות, ניתן לחלק או להכפיל את שני האגפים של אי-השוויון באותו מספר, בתנאי שהוא חיובי. אם המספר בו מחלקים (או מכפילים) שלילי, יש להפוך את כיוון אי-השוויון. מכאן גם נובע על פי אותו הגיון שהצגנו בנושא משוואות שלא ניתן לכפול במשתנה.
כמו במשוואות, אם מחברים אי-שוויונות כאשר סימני אי-השוויון הם בעלי אותו כיוון באגפיהם המתאימים מקבלים אי-שוויון נכון. במילים אלגבריות: אם $\ a>b$ ו- $\ c>d$ אז $\ a+c>b+d$ .

בד"כ נעסוק באי-שוויונות בהם מופיעים משתנים. פתרון אי-שוויון בעל משתנה פירושו יהיה למצוא עבור אילו ערכים של המשתנה אי-השוויון מתקיים. בשונה מפתרון משוואות בהן התשובה בד"כ כוללת פתרון אחד או שניים, הרי שבפתרון אי-שוויונות מתקבל בד"כ תחום, כלומר קבוצה של ערכים עבורה מתקיים האי-שוויון.

טכניקת הפתרון היא שונה לסוגים שונים של אי-שיוויונות. בפרק זה נציג את טכניקות הפתרון של כל הסוגים של אי-השוויונות הקיימים שנלמדים בתיכון, למעט אי-שוויונות מעריכיים ולוגריתמיים, אשר יילמדו בהמשך. לפני לימוד נושא זה, מומלץ ללמוד את הפרק קבוצות ותחומים.

רשימת הפרקים

בדף זה תוצג דרך הפתרון של אי-שוויונות ממעלה ראשונה, וכן דרך הפתרון של מערכת אי-שוויונות.
שני הדברים חשובים ומהווים בסיס להמשך ההבנה של פרק האי-שוויונות.

[עריכה] אי-שוויון בודד

שיטת הפתרון של אי-שוויונות כאלו היא זהה לשיטת הפתרון של משוואות, למעט ההבדל שצוין לעיל (כפל או חלוקה במספר שלילי הופכים את סימן אי-השוויון). דוגמאות:

[עריכה] דוגמה 1

$\frac{4(x+2)}{9}-\frac{17-2x}{36}<\frac{2x}{3}$

מכפילים במכנה המשותף-36. גם כאן אנו מכפילים במספר חיובי, ולכן אין צורך בשינוי הסימן.

$\ 16(x+2)-(17-2x)<24x$
$\Updownarrow$
$\ 16x+32-17+2x<24x$
$\Updownarrow$
$\ 18x+15<24x$
$\Updownarrow$
$\ 15<6x$
$\Updownarrow$
$\ 2.5<x$

כלומר עבור כל ערך שנציב במקום איקס שגדול מ-2.5, נקבל כי אי-השוויון הוא פסוק אמת.

[עריכה] דוגמה 2

$\frac{x+1}{2}-\frac{x-1}{3}<\frac{x+2}{6}$

מכפילים את אי-השוויון במכנה המשותף- 6. שימו לב- המכנה המשותף חיובי, ולכן סימן אי-השוויון נשאר כמות שהוא.

$\ 3(x+1)-2(x-1)<x+2$
$\Updownarrow$
$\ 3x+3-2x+2<x+2$
$\Updownarrow$
$\ x+5<x+2$
$\Updownarrow$
$\ 5<2$

כלומר לאי-שוויון זה אין פתרון עבור כל ערך של איקס. כלומר, לא משנה איזה ערך איקס נציב, אי השוויון לא יתקיים לעולם (וזאת משום שקיבלנו פסוק שקר- 5 לא קטן מ-2).

[עריכה] מערכת של אי שוויונות

ייתכנו מצבים, בהם תתבקשו לפתור מערכת של אי-שוויונות. במצב זה, יינתנו לכם 2 אי-שוויונות, כאשר ביניהם תבוא מילה: או (נקרא גם איחוד) או וגם (נקרא גם חיתוך). להלן השלבים בפתרון מערכת אי-שוויונות:

ראשית, יש לפתור כל אחד מאי-השוויונות הנתונים בנפרד, ולהגיע לאי-שוויון פשוט (איקס גדול או קטן מ-___).
שנית, יש לבדוק את הקשר הלוגי בין שני הביטויים:
- בקשר או, יש למצוא את התחום הכולל לשני האי-שוויונות הפשוטים (ראה קשרים לוגיים).
- בקשר וגם, יש למצוא את התחום המשותף לשני האי-שוויונות (קשרים לוגיים).
לבסוף יש לרשום את התשובה הסופית (התחום הנדרש).

כדי להקל על מציאת התחום הנדרש, ישנה שיטה. לפי שיטה זו, יש לשרטט בתחילה ציר מספרים אופקי. עליו, יש לשרטט את התחומים באופן הבא: משרטטים כל תחום בנפרד, כאשר תחום הכולל את הערך יסומן בעיגול מלא, לעומת תחום שאינו כולל את הערך שהוא יסומן בעזרת עיגול ריק. מלבד העיגולים, כמובן שיש לשרטט קווים היוצאים מהעיגולים, ואלו יסמנו את התחום (דוגמה בהמשך). עכשיו, למציאת הפתרון:
בקשר או, יש לחפש את הערכים עבורם יש קו אחד (או יותר). בקשר וגם יש לחפש את הערכים עבורם יש שני קווים (ולא פחות!).

[עריכה] דוגמה 1

נתונים שני האי-שוויונות הבאים:

$\left\{ \begin{matrix} \left(1\right) & 2x-6 & \ge & 0 \\ \left(2\right) & x-4 & < & 4 \end{matrix} \right.$

א. מצא את התחום המשותף (קשר וגם, חיתוך). ב. מצא את התחום הכולל (קשר או, איחוד).
ראשית, נפתור כל אחד מהאי-שוויונות בנפרד:

$\left\{ \begin{matrix} \left(1\right) & x & \ge & 3 \\ \left(2\right) & x & < & 8 \end{matrix} \right.$

כעת, נסמן את שני התחומים על אותו ציר מספרים:

כמו שצוין, התחום המשותף (וגם, חיתוך) הוא המקום בו ישנם שני קווים, כלומר במקרה שלנו התחום בין 3 (כולל) ל-8 (לא כולל). לכן התשובה לסעיף א' היא: $\ 3 \le x < 8$ .
התחום הכולל (איחוד, או) הוא המקום בו יש קו אחד, ובמקרה שלנו זה כל ציר המספרים, כלומר כל איקס (וזוהי התשובה לסעיף ב'). שימו לב- גם ב- $\;x=8$ יש קו אחד, ולכן גם הוא בתחום.

[עריכה] דוגמה 2

נתונים שני האי-שוויונות הבאים:

$\left\{ \begin{matrix} \left(1\right) & x & < & 6 \\ \left(2\right) & x+1 & < & 4 \end{matrix} \right.$

א. מצא את התחום המשותף (קשר וגם, חיתוך). ב. מצא את התחום הכולל (קשר או, איחוד).
ראשית, נפתור כל אחד מהאי-שוויונות בנפרד:

$\left\{ \begin{matrix} \left(1\right) & x & < & 6 \\ \left(2\right) & x & < & 3 \end{matrix} \right.$

כעת נסמן את שני התחומים על אותו ציר מספרים:

כמו שצוין, התחום המשותף (וגם) הוא המקום בו ישנם שני קווים, כלומר במקרה שלנו בכל איקס שקטן משלוש. כלומר התשובה לסעיף א' היא $\ x < 3$ .
התשובה לסעיף ב', כלומר שני אי-השוויונות בקשר של ואו היא המקום בו יש קו אחד או יותר, כלומר $\ x < 6$ .

הערה:
כאשר נתון אי-שוויון כפול בצורה הבאה: $\ -k<m<l$ ( $\;l$ , $\;k$ , ו- $\;m$ ייצגו משתנים או מספרים) יש להבין כי מדובר במערכת עם קשר לוגי וגם, ועל כן יש לפתור אותה כמו שפותרים מערכת רגילה. השוני הוא שלפני הפתרון יש להפריד את המערכת לשני אי שוויונות נפרדים רגילים וביניהם קשר וגם. בדוגמה שלנו:
$\ -k<m\$ וגם $\ m<l$ .

הפרק הקודם:
אי שיויונות

אי שיויונות ממעלה ראשונה
תרגילים, פתרונות

הפרק הבא:
אי שיויונות ממעלה שנייה

אלגברה תיכונית/אי שיויונות/אי שיויונות ממעלה ראשונה/תרגילים

[עריכה] פתרון אי שוויונות ממעלה שנייה

שיטות הפתרון של אי שוויונות ממעלה שניה שיוצגו פה מתבססות על ידע בסיסי מוקדם בחשבון דיפרנציאלי ואיטגרלי. הידע הנדרש הוא הכרה (בלבד) של פרבולה (במובן של פונקציה ריבועית).

לפתרון אי-שוויונות ממעלה שנייה ישנה טכניקה שונה מהטכניקה לפתרון אי-שוויונות ממעלה ראשונה. הטכניקה לפתרון אי-שוויונות ריבועיים היא לצייר בקירוב גס את הפונקציה (על ציר ה- $\;x$ בלבד- הסבר בהמשך), ולראות מתי היא קטנה או גדולה מאפס. ניקח דוגמה:
$\ 2x^2-8x<-6$
ראשית נפשט את הביטוי ונעביר את כל האיברים לאגף אחד בלבד. כדאי ורצוי להעביר לאגף בו המקדם של $\ x^2$ (a) חיובי (שיקולי נוחות).

$\ 2x^2-8x+6<0$
$\Updownarrow$
$\ x^2-4x+3<0$

כעת מה שנעשה הוא שלב עזר. נשווה את הביטוי שבאגף שמאל לאפס (משוואה), ונמצא את שורשי המשוואה.

$\ x^2-4x+3=0$

$\ x_{1,2}=\frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot 1\cdot 3}}{2\cdot 1}=\frac{4 \pm \sqrt{4}}{2}=\frac{4 \pm 2}{2}$

$\ x_1=\frac{4+2}{2}=3$
$\ x_2=\frac{4-2}{2}=1$

עכשיו משמצאנו את שורשי המשוואה, נוכל לשרטט את הפונקציה בקירוב גס (ואין צורך ביותר מזה):

כעתן ניתן לראות, שהביטוי לעיל קטן מ-0 (כי ביקשו קטן) כאשר ערכי איקס הינם בין 1 ל-3. כלומר פתרון אי-השוויון הוא:
$\ 1<x<3$
לחליפין אם היו שואלים מתי אי-השוויון המפורש (לאחר שפישטנו אותו) גדול מ-0, אזי הפתרון היה $\ x>3\$ או $\ x<1$ .

[עריכה] השיטה לפתרון

שלבי הפתרון של אי-שוויון ריבועי:

מפשטים את אי-השוויון למצב שכל האיברים באגף מסוים.
אם יש צורך, מכפילים את המשוואה ב-(1-) כדי שהמקדם של $\ x^2$ יהיה חיובי.
משווים ל-0 ומוצאים את שורשי המשוואה ( $\ x_1$ ו- $\ x_2$ ).
משרטטים ציר איקס בלבד, מסמנים עליו את השורשים, ומשרטטים פרבולה ישרה ("מחייכת") (היא ישרה כי דאגנו שהמקדם של האיקס בריבוע יהא חיובי. אלמלא דאגנו לכך, כי אז היה צורך לצייר את הפרבולה הפוכה).
בודקים איזה תחום נדרש מאיתנו (גדול או קטן מאפס) ומוצאים את התחום הזה בגרף.
רושמים את הפתרון.

כאשר אנו נדרשים להתיר אי שוויון ריבועי וחישבנו ומצאנו כי שורשי הביטוי הריבועי הם $\ x_1$ ו- $\ x_2$ . בהנחה ש- $\ x_1>x_2$ אזי:
א. אם הביטוי הריבועי קטן מאפס אזי הפתרון הוא מערכת וגם: $\ x_2<x<x_1$ ב. אם הביטוי הריבועי גדול מאפס אזי הפתרון הוא מערכת או: $\ x>x_1$ או $\ x<x_2$

ניתן להבין את קביעה זו לפי הגרף הבא:

[עריכה] אי-שוויונות ריבועיים מיוחדים

לעתים מופיעים תרגילים בהם נדרשת הוכחה כי אי-שוויון מסוים מתקיים לכל ערך של איקס, או לא מתקיים עבור אף ערך של איקס וכו'. בסעיף זה נלמד כיצד לפתור שאלות מסוג זה.
מלימודינו בחשבון דיפרנציאלי ראינו כי המקדם של $x 2$ מלמד על צורתה של הפרבולה: ישרה ("מחיכת") או הפוכה ("בוכה/עצובה"). נלמד כעת תכונה נוספת של ביטויים ריבועיים:
כידוע, הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית היא $\ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ . הביטוי שנמצא מתחת לשורש ( $\ b^2-4ac$ ) נקרא דיסקרימיננטה ומסומן באות היוונית- $\ \Delta$ (ד'לתא). לדלתא משמעות רבה לגבי צורת הגרף:

כאשר הדיסקרימיננטה גדולה מאפס, לגרף של הביטוי הריבועי יש שתי נקודות חיתוך עם ציר האיקס.
כאשר הדיסקרימיננטה שווה לאפס, לגרף של הביטוי הריבועי יש נקודת חיתוך אחת עם ציר האיקס (הגרף בעצם משיק לציר האיקס).
כאשר הדיסקרימיננטה קטנה מאפס, לגרף של הביטוי הריבועי אין נקודות חיתוך עם ציר האיקס.

כאשר יודעים את המקדם של ה- $a$ של $\ x^2$ ואת הדיסקרימיננטה, ניתן לשרטט (באופן סכמטי, אך אין צורך ביותר מזה) את גרף הפונקציה. שרטוט גרף הפונקציה בעזרת מרכיבים אלו מאפשר לנו להוכיח ולפתור אי-שוויונות מעט יותר מורכבים. דוגמאות:

[עריכה] דוגמה 1

הוכח כי אי-השוויון $\ x^2-2x+1 \ge 0$ מתקיים עבור כל ערך של איקס (ניסוחים אחרים: נכון עבור כל איקס, נכון תמיד, סימון: $x\in\mathbb{R}$ ).
לפתרון שאלה זו שתי דרכים:
א. הדרך הרלוונטית לנו: שרטוט הגרף. בכדי לשרטט את הגרף נזדקק לשני נתונים הכרחיים: $\;a$ והדיסקרימיננטה. נוכל לראות כי $\ a=1>0$ , כלומר הפרבולה ישרה. שנית, נחשב את הדיסקרימיננטה:
$\ \Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot 1=4-4=0$
קיבלנו כי הדיסקרימיננטה שווה לאפס, כלומר לגרף הפונקצייה נקודה אחת משותפת עם ציר ה- $\;x$ (הגרף משיק לציר ה- $\;x$ ). במונחים של משוואות, למשוואה יש רק פתרון אחד. כעת נוכל לשרטט באופן סכמטי את גרף הפונקציה:

מכאן נוכל לראות שאכן הביטוי הריבועי תמיד גדול או שווה ל-0 (הוא תמיד מעל (או על) ציר $\;x$ ).

ב. דרך שנייה היא לאלו מבינינו ששמו לב שמדובר בנוסחת כפל מקוצר. לכן:

$\ x^2-2x+1=(x-1)^2$

וכידוע, ביטוי ריבועי תמיד גדול או שווה לאפס.

[עריכה] דוגמה 2

הוכח כי עבור כל ערך של איקס הביטוי $\ -x^2+5x-7$ שלילי.

שוב, כדי לפתור שאלה זו מה שנעשה הוא ננסה לצייר את הפונקציה, וכך נוכיח את נכונות הטענה. בכדי לצייר את הפונקציה, אנו זקוקים לפרמטר $\;a$ (המקדם של ה- $\ x^2$ ) ולדיסקרימננטה. נבדוק את הפרמטרים:

$\ a=-1<0$ - שלילי.
$\ \Delta=5^2-4 \cdot (-1) \cdot (-7)=25-28=-3<0$ , כלומר הדיסקרימננטה שלילית גם כן.

משני נתונים אלו נוכל להסיק כי הפרבולה הפוכה, וכי אין לה נקודות חיתוך עם ציר ה- $\;x$ . נצייר:

נוכל לראות מהגרף כי גרף הפונקציה נמצא תמיד מתחת לציר ה- $\;x$ , כלומר תמיד שלילי. שוב, במונחים של משוואות, למשוואה הריבועית הזו אין אף פתרון. (בכך הוכחה הטענה)

הפרק הקודם:
אי שוויונות ממעלה ראשונה

אי שוויונות ממעלה שנייה
תרגילים

הפרק הבא:
אי שיויונות עם שורשים

[עריכה] תרגילים

[עריכה] אי שוויונות ושורשים

ידיעת הטכניקה לפתרון אי שוויונות יכולה לסייע במציאת תחום הגדרה של פונקציות ושורשים. לדוגמה,-תחום ההגדרה של $\ \sqrt{x}$ הוא $\ x \ge 0$ . אך יש לשים לב לשינויים קלים בפונקציה, שמביאים לשינויים גם בתחום ההגדרה. לדוגמה, תחום ההגדרה של $\ \frac{1}{\sqrt{x}}$ הוא $\ x>0$ , שכן השורש מופיע במכנה, ולכן לא יכול להישוות ל-0. לסיכום:
א. ביטוי מתחת לשורש חייב להיות אי-שלילי (גדול מ-0 או שווה לו).
ב. מכנה של שבר חייב להיות שונה מאפס.
ג. אם יש שני שורשים בפונקצייה אחת, תחום ההגדרה של הפונקציה הוא חיתוך התחומים של כל אחד מן השורשים בנפרד. בעברית פשוטה, מוצאים את תחום ההגדרה של כל אחד מהשורשים ועושים ביניהם וגם, כלומר חיתוך (משום ששני השורשים חייבים להתקיים בו זמנית כדי שהפונקציה תהא מוגדרת).

מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות:

$\ y=\sqrt{\frac{x}{6}}$
$\ y=\sqrt{x+2}$
$\ y=\sqrt{8-2x}$
$\ y=\sqrt{x+4} + \sqrt{4-x}$
$\ y=\sqrt{x-4}+\frac{1}{\sqrt{4-x}}$ (קשה)
$\ y=\sqrt{2x^2-2x+4}$ (קשה)

[עריכה] פתרונות

$\;x\ge 0$
$\;x\ge -2$
$\;x\le 4$
$\;-4\le x\le 4$
$\;-4\le x< 4$

[עריכה] תחומי הגדרה וסימונים

ראשית ניזכר כי $\sqrt{x}$ מוגדר רק עבור x שאינו שלילי (כל עוד מדברים על מספרים ממשיים). לכן, לדוגמה, $\sqrt{9}$ מוגדר, אך $\sqrt{-9}$ איננו. כאשר מופיע שורש בתוך אי-שוויון כלשהו, נניח $\sqrt{f}$ (כאשר f הוא ביטוי כלשהו), אז צריך לזכור שתחום ההגדרה של האי-שוויון אינו כולל תחום שעבורם f שלילי.

עכשיו תורך:

מה תחום ההצבה של:

$\ \sqrt{x+1}<\sqrt{3-2x}$

פיתרון

$\ x+1 \ge 0$ וגם $3-2x \ge 0$
$\Updownarrow$
$\ x \ge -1$ וגם $x \le 1.5$
$\Updownarrow$
$\ -1 \le x \le 1.5$

כעת נניח $x > 0$ כלשהו. אז יש לו שני שורשים הפוכים בסימנם. לדוגמה, 3 הוא שורש ריבועי של 9, אבל גם $- 3$ הוא שורש ריבועי של 9. ישנה מוסכמה לפיה $\sqrt{x}$ היא סימון לשורש החיובי. כדי לציין את השורש השלילי, יש לכתוב $-\sqrt{x}$ .

[עריכה] העלאה בריבוע

כאשר באי שוויון עצמו מופיע שורש, טכניקת הפתרון היא לרוב העלאה בריבוע: מעלים בריבוע את שני אגפיו. כאשר עושים זאת, חשוב לשים לב מה קורה לסימנו של האי-שוויון:

אם כל אחד מאגפיו חיובי, הסימן נשאר.
אם כל אחד מאגפיו שלילי, הסימן מתהפך.

צריך לטפל בזהירות במקרים בהם אי אפשר לקבוע בוודאות את סימני כל אחד מהאגפים.

שאר הדף מסביר עוד על טכניקת ההעלאה בריבוע.

[עריכה] סימני אגפים ידועים

כאשר סימני האגפים ידועים, פשוט מעלים בריבוע (והופכים את הסימן אם יש צורך).

[עריכה] דוגמה

פתור את אי השוויון:

$\ \sqrt{x+1}<\sqrt{3-2x}$

כבר ראינו מקודם שתחום ההגדרה הוא

$\ -1 \le x \le 1.5$

כדי לפתור את אי השוויון, נשים לב ששני אגפיו אינם שליליים, ולכן נוכל להעלות בריבוע את אגפיו ולשמור על הסימן:

$\ x+1<3-2x$
$\Updownarrow$
$\ 3x<2$
$\Updownarrow$
$\ x< \frac{2}{3}$

כל שנותר הוא לחתוך את מה שקיבלנו כאן עם תחום ההגדרה:

$-1 \le x \le 1.5$ וגם $x< \frac{2}{3}$
$\Updownarrow$
$-1 \le x < \frac{2}{3}$

וזהו הפתרון.

[עריכה] סימני אגפים לא ידועים

לפעמים סימני האגפים אינם ידועים. נתבונן, לדוגמה בבעיה הבאה:

$\ \sqrt{x-4}-2 < \sqrt{x-1}$

קל למצוא את תחום ההצבה:

$\ x-4 \ge 0$ וגם $x-1 \ge 0$
$\Updownarrow$
$\ x \ge 4$ וגם $x \ge 1$
$\Updownarrow$
$\ x \ge 4$

קל גם לראות שאגף ימין אינו שלילי. אגף שמאל, לעומת זאת, יכול להיות שלילי או חיובי - קשה לקבוע זאת.

כאשר סימני האגפים אינם ידועים, אפשר לעשות אחת משתי אפשרויות: אפשר להמיר את הבעיה למצב בו הסימנים ידועים, או שאפשר להשתמש בחלוקה למקרים.

[עריכה] המרה לסימני אגפים ידועים

לפעמים סימני האגפים אינם ידועים, אך אפשר להמיר את הבעיה לבעיה עם סימני אגפים ידועים.

[עריכה] דוגמה

$\ \sqrt{x-4}-2 < \sqrt{x-1}$

בעלת סימן לא ידוע באגף השמאלי. נעביר את ה-2 לאגף ימין, בכך סימנו ישתנה לפלוס ובכך תיפתר הבעיה: שני האגפים יהיו אי-שליליים בהכרח.

$\ \sqrt{x-4} < \sqrt{x-1}+2$
$\Updownarrow$
$\ x-4 < x - 1 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x-1} + 4$
$\Updownarrow$
$\ x-4 < x +3 + 4 \cdot \sqrt{x-1}$
$\Updownarrow$

$\ -7 < 4 \cdot \sqrt{x-1}$

כאן אגף שמאל שלילי, ואגף ימין אי-שלילי. לכן האי-שוויון מתקיים תמיד (בתחום ההצבה). הפתרון לבעיה, אם כן, הוא חיתוך כל המספרים עם תחום ההצבה, או, באופן פשוט, תחום ההגדרה.

[עריכה] חלוקה למקרים

גישה נוספת לפתרון במקרה שאגף כלשהו בעל סימן לא ידוע, הוא לחלק את הבעיה לכל אחד מהמקרים האפשריים. כלומר, יש לבדוק מה קורה כשהאגף שלילי, ומה קורה כשהאגף חיובי.

[עריכה] דוגמה

נתבונן שוב באי השויון

$\ \sqrt{x-4}-2 < \sqrt{x-1}$

קל לראות שאגף ימין חיובי תמיד (נמצא בו רק שורש). לעומת זאת, אין אנו יודעים מה סימנו של אגף שמאל. לכן, נניח שתי הנחות לגביו:

נניח שאגף שמאל שלילי, כלומר $\ \sqrt{x-4}-2 < 0$ . המשמעות היא שעבור כל ערך של $\;x$ המקיים את הביטוי $\ \sqrt{x-4}-2 < 0$ (מיד נבדוק אלו ערכים אלו) אגף שמאל יהא שלילי! לכן, נקבל שעבור כל ערך של $x$ המתאים לביטוי $\ \sqrt{x-4}-2 < 0$ אי השוויון המקורי מתקיים (משום שאגף ימין החיובי תמיד גדול מאגף שמאל השלילי). נפתח את הביטוי כדי לראות באילו ערכים מדובר:

$\ \sqrt{x-4}<2$
$\Updownarrow$
$\ x-4<2^2$
$\Updownarrow$
$\ x<8$

כלומר עבור כל ערך של $\;x$ שקטן משמונה, נקבל שאגף שמאל של אי השוויון המקורי הוא שלילי ומכיוון שאגף ימין תמיד אי-שלילי, אי השוויון כולו מתקיים.

אם אגף שמאל אי-שלילי (למה בחרנו דוקא אי-שלילי?), כלומר $\ \sqrt{x-4}-2 \ge 0$ , אזי שני האגפים יהיו חיוביים ונוכל להעלות את הביטוי בריבוע. ראשית נבדוק באילו ערכים מדובר:

$\ \sqrt{x-4} \ge 2$
$\Updownarrow$
$\ x-4 \ge 4$
$\Updownarrow$
$\ x \ge 8$

כעת נעלה את אי השוויון המקורי בריבוע:

$\ x-4-2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x-4}+4<x-1$
$\Updownarrow$
$\ x-4 \cdot \sqrt{x-4}<x-1$
$\Updownarrow$
$\ -4 \cdot \sqrt{x-4}<-1$
$\Updownarrow$
$\ 4 \cdot \sqrt{x-4}>1$
$\Updownarrow$
$\ \sqrt{x-4}> \frac{1}{4}$
$\Updownarrow$
$\ x-4>\frac{1}{16}$
$\Updownarrow$
$\ x>4\frac{1}{16}$

כעת נחתוך את הערכים בהם מדובר כאן (סעיף זה) עם התוצאה ונקבל:

$x \ge 8$ וגם $x>4\frac{1}{16}$
$\Updownarrow$
$x \ge 8$

כעת יש לאחד את שני הפתרונות שיצאו משתי ההנחות (שיחד משלימות לכל ציר המספרים) בקשר של או:

$x \ge 8$ או $\;x<8$

כלומר כל $x$ , או בסימון שונה: $x\in\mathbb{R}$ .
זהו פתרון אי-השוויון לאחר העלאה בריבוע, ולכן יש לחזור לתחום ההצבה שחישבנו לפני ההעלאה בריבוע (כמו במשוואות, גם באי-שיויונות העלאה בריבוע מוסיפה פתרונות). נקבל שהפתרון הוא חיתוך של $x\in \mathbb{R}$ עם תחום ההצבה שחישבנו בתחילת הדוגמא, וזה בדיוק תחום ההצבה.

כדאי לדעת:

שיטת פתרון זו היא מעט מסובכת יותר, אך לא תמיד ניתן לפתור אי-שוויון בעזרת העלאה בריבוע. במקרים מסויימים, עלינו לחלק למקרים ולעיתים שיטה זו פשוטה יותר משיטות אחרות.

הפרק הקודם:
אי שוויונות ממעלה שנייה

אי שיויונות עם שורשים
תרגילים

הפרק הבא:
אי שוויונות עם ערך מוחלט

אלגברה תיכונית/אי שיויונות/אי שיויונות עם שורשים/תרגילים

[עריכה] אי שיויונות עם ערך מוחלט

לפני שנתחיל נראה את הגדרת הערך המוחלט:

$\ |x|=\left\{\begin{matrix} x, & \mbox{if }x \ge 0 \\ -x, & \mbox{if }x<0 \end{matrix}\right.$

משמעות ההגדרה, היא כי הערך המוחלט של כל מספר הוא בעצם מרחקו מהאפס על גבי ציר המספרים. כלומר, מרחקו של $- 6$ מ-0 זהה למרחקו של $6$ מהאפס, כלומר הערך המוחלט שלהם שווה. בכלליות ניתן לומר כי

$\ |x|=|-x|$

חשוב לשים לב כי מההגדרה נובע כי ערכו המוחלט של כל מספר הוא אי שלילי. כלומר,

$\ |x| \ge 0$

ניתן לראות זאת גם מציור הפונקציה:

[עריכה] אי שוויונות עם ערך מוחלט אחד

ככלל, קיימים שני אי-שוויונות בסיסיים אותם יש לדעת ולהבין, ואת היתר ניתן (בדרך כלל) לפתור באמצעותם:

[עריכה] מקרה א'- $\ |x| < a$

אם $\ a$ הינו מספר שלילי, אזי אין פתרון לאי-שוויון זה. זאת משום שאגף שמאל תמיד חיובי או אפס (ערך מוחלט), לעומת אגף ימין שהוא מספר שלילי ולכן, אין פתרון לאי-שוויון זה.

אם $\ a$ מספר חיובי, אזי תחום הערכים המהווים פתרון לאי-השוויון הוא $\ -a < x < a$ . נדגים זאת ע"פ דוגמה מספרית:

$\ |x|<5$ .

אם נצייר את הגרף לשני האגפים על אותה מערכת צירים, נוכל בנקל לראות מתי אי-השוויון מתקיים (זאת מכיוון שקל לצייר את שני הגרפים באופן סכמטי וכל שאנו מחפשים הוא החלק בגרף של אגף שמאל שנמצא "מתחת" לגרף של אגף ימין):

מהגרף ניתן לראות כי הערכים בהם הערך המוחלט של $\;x$ (כלומר $\;|x|$ ) קטן מ- $\;5$ נמצאים בין $\;(-5)$ ל- $\;(+5)$ . כלומר התשובה היא:
$\ -5 < x < 5$

[עריכה] דוגמה

מצא לאילו ערכי $\;x$ אי השוויון הבא מתקיים:

$\ |2x-3|<4$ .

נפתור לפי השיטה שהצגנו:

$\ -4<2x-3<4$

$\ -4<2x-3\$ וגם $\ 2x-3<4$

$\ -1<2x$ וגם $\;2x<7$

$\ x>-0.5\$ וגם $\ x<3.5$

$\ -0.5<x<3.5$

וזהו הפתרון.

[עריכה] מקרה ב'- $\ |x|>a$

אם $\ a$ מספר שלילי, אז אי-השוויון מתקיים עבור כל $x$ . זאת משום שאגף שמאל תמיד אי-שלילי (ערך מוחלט), והאגף הימיני שלילי. כידוע, מספר חיובי תמיד גדול ממספר שלילי.

אם $\ a$ מספר חיובי, אזי תחום הערכים המהווים פתרון לאי-השוויון הוא $\ x>a\$ או $\ x<-a$ . נדגים בעזרת אותה הדוגמה המספרית בה השתמשנו קודם:

$\ |x|>5$ .

נצייר את הגרף לשני האגפים בנפרד על אותה מערכת צירים, ונראה מתי אי-השוויון מתקיים. במקרה זה אנו מעוניינים לבדוק באיזה תחום הגרף של $\;|x|$ נמצא מעל אגף ימין:

מהגרף ניתן לראות כי הערכים בהם הערך המוחלט (מודגשים בקו שחור עבה בגרף) של $\;x$ גדול מ- $\;5$ נמצאים אחרי $\;5$ , או לפני $\;(-5)$ . כלומר התשובה היא:

$\ x>5\$ או $\ x<-5$

דוגמה לפתרון תרגיל:
מצא לאילו ערכים של $\;x$ אי השוויון הבא מתקיים:

$\ |4x-2|>12$ .

נפתור לפי השיטה שהצגנו:

$\ 4x-2>12\$ או $\ 4x-2<-12$

$\ 4x>14\$ או $\ 4x<-10$

$\ x>3.5\$ או $\ x<-2.5$

וזהו הפתרון.

[עריכה] אי שוויונות עם שני ערכים מוחלטים או יותר

כאשר מופיעים שני ערכים מוחלטים (או יותר) באי-שוויון, הטכניקה לפתרון נעשית מסובכת מעט יותר. נדגים שיטה לפתרון:

מוצאים את כל הערכים המאפסים את הערכים המוחלטים המופיעים באי-שוויון, ומסדרים אותם מהקטן לגדול.
מחלקים את ציר המספרים כולו לתחומים, לפי הערכים שקיבלנו בסעיף הקודם.
עבור כל תחום רושמים איך ייראה אי-השוויון, תוך השמטת סימני הערך המוחלט. למרות שזה נשמע קשה, זה לא עד כדי כך מסובך.
עבור כל תחום, חותכים את התוצאה שהתקבלה עם התחום שהוצב (כלומר שימוש בקשר וגם הגורם לחיתוך קבוצות).
בודקים באופן כללי עבור כל אחד מערכי הגבול (הערכים שהתקבלו בסעיף הראשון) אם הוא מקיים את האי שוויון.
עבור כל התחומים, מאחדים את התשובות (קשר או) ומוסיפים (אם צריך) את ערכי הגבול וזו התשובה הסופית.

בשלב זה נראה שדוגמא תתרום להבנת התהליך. נדגים את שלבי הפתרון על אי-השוויון:

$\ |x-3|+|x+1|>6$

הערכים המאפסים את הערכים המוחלטים (לפי הסדר) הם: $\ -1, 3$ .
התחומים המתקבלים הם:
- $\ x<-1$ .
- $\ -1<x<3$ .
- $\ x>3$ .
נבנה כאן טבלה, שכותרות העמודות בה יהיו התחומים שקיבלנו בסעיף הקודם, ומתחת יהיה פתרון אי-השיויון לפי השלבים:

התחום

$\ x<-1$

$\ -1<x<3$

$\ x>3$

הסבר

כאשר ערכו של איקס יהיה קטן מ-(1-) הביטויים שבשני הערכים המוחלטים יהיו שליליים, ולכן מה שהערך המוחלט יעשה לביטוי הוא פשוט להפוך את סימנו. לכן, כדי להשמיט את הערך המוחלט, מה שנעשה הוא במקום סימני הערך המוחלט לשים את הביטוי בסוגריים, ולפניו מינוס.

כאשר ערכו של איקס גדול מ-(1-) אבל קטן מ-3 אזי הביטוי בערך המוחלט השמאלי יהא שלילי, ולכן נוריד את סימני הערך המוחלט ונוסיף מינוס לפני (כמובן שנוסיף סוגריים). באותו התחום, ערכו של הביטוי עם הערך המוחלט הימני יהא חיובי, ולכן נוכל פשוט להשמיט את הערך המוחלט.

כאשר ערכו של איקס גדול מ-3 אזי שני הביטויים בערכים המוחלטים יהיו חיוביים ממילא, ולכן ניתן פשוט להשמיט את סימני הערך המוחלט.

פתרון התחומים

$\ - (x-3)-(x+1)>6$

$\ -x+3-x-1>6$

$\ -2x+2>6$

$\ -2x>4$

$\ x<-2$

$\ - (x-3)+(x+1)>6$

$\ -x+3+x+1>6$

$\ 4>6$

אין פתרון

$\ (x-3)+(x+1)>6$

$\ x-3+x+1>6$

$\ 2x-2>6$

$\ 2x>8$

$\ x>4$

חיתוך של התחום עם התוצאה

$\ x<-2$

אין פתרון

$\ x>4$

ערכי גבול

$x=-1\$
$\Downarrow$
$\ |-4|+|0|>6$

$\ 4+0>6$

$\ 4>6$

$\ x=3$
$\Downarrow$
$\ |0|+|4|>6$

$\ 4>6$

אף אחד מערכי הגבול אינו מקיים את האי-שוויון, ולכן אינו מהווה פתרון.

התשובה הסופית

$\ x<-2$ או $\;x>4$

הפרק הקודם:
אי שיויונות עם שורשים

אי שיויונות עם ערך מוחלט
תרגילים

הפרק הבא:
אי שיויונות עם שברים

|x-1|+|x-2|>1

[עריכה] אי שיויונות עם שברים

בפרק זה נראה כיצד ניתן לפתור אי-שוויונות בהם יש שברים, כאשר המשתנה מופיע גם במכנה.

בתור דוגמה ניקח את התרגיל:

$\ \frac{x+2}{x-3} \ge -4$

תחילה כמו בכל פתרון של אי-שיויון או משוואה עלנו לשים לב ולרשום במדויק את תחום ההצבה של אי-השיויון: $\ x \ne 3$ , משום שכאשר ערכו של איקס הוא 3, אזי במכנה יהיה 0 ואז אי-השוויון יהא לא מוגדר.
באנלוגיה למשוואות נדמה שכדאי לכפול את אי-השוויון ב- $\;(x-3)$ כדי להיפטר מהמכנה. צורה זו אינה מותרת מכיוון ש $\;(x-3)$ יכול לקבל ערכים שליליים, מה שיהפוך את הסימן של אי השיויון. ניתן כמובן להפריד למקרים בהם המכנה $\;(x-3)$ שלילי ולמקרים בהם המכנה חיובי, אך דרך זו ארוכה יותר וטומנת יותר פחים שבהם אנו יכולים ליפול. ננצל, אם כן, מעין תכסיס שמקובל לעשות בהרבה מקרים של אי-שיויונות. כדי לפתור את הבעיה נכפיל את שני אגפי אי-השוויון ב- $\ (x-3)^2$ . ביטוי ריבועי זה הוא תמיד חיובי (3 אינו בתחום הגדרה - אחרת אסור לכפול ב-0 גם במקרה של אי-שיויונות), ולכן סימן אי השוויון נותר על כנו. נמשיך את הפתרון מנקודה זו:

$\ \frac{(x+2) \cdot(x-3)^2}{(x-3)} \ge -4(x-3)^2$

(הערה: בשלב זה ניתן להעביר אגף אחד לאגף השני, לשנות את סימנו ולהוציא גורם משותף. כאן נראה את הדרך הפשוטה)

$\ (x+2)(x-3) \ge -4(x^2-6x+9)$

$\ x^2+2x-3x-6 \ge -4x^2+24x-36$

$\ x^2-x-6 \ge -4x^2+24x-36$

$\ 5x^2-25x+30 \ge 0$

$\ x^2-5x+6 \ge 0$

$\ x_1=2 \quad x_2=3$

פתרון: $\ x \ge 3$ או $x \le 2$

אבל, תחום ההגדרה אומר ש-3 איננו פתרון, ולכן הפתרון הוא:
$\ x > 3$ או $x \le 2$

לסיום, סיכום והערות:

לסיכום, הטכניקה היא הכפלת אי-השוויון במכנה בריבוע (כדי שיווצר ביטוי חיובי). משם פותרים רגיל.
יש לשים לב כי מכפילים את שני האגפים בריבוע, ולא בטעות רק אחד מהם.
יש לשים לב שתחום ההגדרה אינו נכלל בפתרון. הכללת תחום ההגדרה מהווה שגיאה חמורה.

ישנה שיטה נוספת לפתרון אי שוויונות עם שברים:
מביאים את אי-השוויון למצב בו באחד האגפים יהיה 0, ואז על האגף עם התוכן עושים מכנה משותף כך שנוצר שבר אחד בלבד. לאחר מכן, מכפילים במכנה בריבוע (ואז בצד של ה-0 נשאר 0, והדבר מקל על הפתרון). בנוסף, במקום להכפיל במכנה בריבוע, ניתן להשתמש בכלל: שבר הוא חיובי אם המכנה והמונה שלו הם שווי סימן, והוא שלילי אם הם שוני סימן. נראה כאן דוגמה לכל אחת מן השיטות האחרונות: להדגמת שיטה זו נביא כאן שתי דוגמאות, אחת בה המשתנה במעלה ראשונה, ואחת בה המשתנה ממעלה שנייה.

[עריכה] דוגמא 1

פתרו את אי השוויון:

$\ \frac{x+2}{x-3} \ge -4$

פתרון:

$\ \frac{x+2}{x-3}+4 \ge 0$

$\ \frac{x+2}{x-3}+\frac{4(x-3)}{x-3} \ge 0$

$\ \frac{(x+2)+4(x-3)}{x-3} \ge 0$

$\ \frac{x+2+4x-12}{x-3} \ge 0$

עכשיו מכפילים במכנה בריבוע:

$\ \frac{5x-10}{x-3} \ge 0 \;\;\;\;\;/\cdot(x-3)^2$

$\ (5x-10)(x-3) \ge 0$

$\ x>3$ או $\ x \le 2$

[עריכה] דוגמא 2

פתרו את אי השיויון:

$\ \frac{x^2-9}{x+4} \le 0$

פתרון: נפתור את התרגיל בעזרת חלוקה למקרים. כדי שהשבר יהיה שלילי (רק שלילי) יש שתי אפשרויות:

$\ x^2-9<0\quad and\quad x+4>0$
$\ x^2-9>0\quad and\quad x+4<0$

נפתור את שתי האפשרויות בנפרד, ולבסוף נפעיל בין הפתרונות שלהן קשר או:

$\ Option\ A\ :$

$\ (x-3)(x+3)<0\quad and\quad x>-4$

$\ -3<x<3\quad and\quad x>-4$

$\ -3<x<3$

$\ Option\ B\ :$

$\ (x-3)(x+3)>0\quad and\quad x<-4$

$\ x>3\ or\ x<-3\quad and\quad x<-4$

$\ x<-4$

לכן הפתרון של שליליות השבר הוא: $\ -3<x<3\quad or\quad x<-4$
כמו-כן, יש לבדוק מתי השבר מתאפס (כך נתבקשנו) ולכן:

$\ \frac{x^2-9}{x+4}=0$

$\ x^2-9=0$

$\ x_1=-3\quad x_2=3$

ולכן הפתרון הסופי הוא:

$\ x<-4\quad or\quad -3 \le x \le 3$

הפרק הקודם:
אי שיויונות עם ערך מוחלט

אי שיויונות עם שברים
תרגילים

הפרק הבא:
אי שיויונות ממעלה שלישית או יותר

אלגברה תיכונית/אי שיויונות/אי שיויונות עם שברים/תרגילים

[עריכה] אי שיויונות ממעלה שלישית או יותר

אי-שוויונות ממעלה הגבוהה ממעלה שנייה הם בדרך כלל קשים יותר. דרך הפתרון:

מעבירים את כל האיברים לאגף אחד בלבד. (בד"כ אי-שוויון מסוג כזה יינתן כבר במצב שבאגף אחד יש אפס)
מפרקים את הביטוי לגורמים ככל הניתן.
עורכים טבלה (זו השיטה העדיפה):
- הכותרות של השורות בטבלה הן כל אחד מהביטויים שהופיעו באי-שוויון לאחר הפירוק לגורמים.
- בכותרות העמודות יש לרשום את הערכים המאפסים כל אחד מהביטויים שהתקבלו, כאשר יש לשים גם עמודות בין תחום לתחום (עמודות נוספות בקצוות).
- רושמים בכל משבצת שנוצרה את סימן הערך- ( + או - או אפס).
- לבסוף מוסיפים שורה תחתונה שכותרתה- מכפלה, ומחשבים עבור כל עמודה את סימן המכפלה של כל המשבצות שבאותה עמודה- פלוס, מינוס או אפס.
- אם התבקשתם להראות מתי אי-השוויון גדול מאפס, יש לכתוב את התחומים בהם התקבלה מכפלה שהיא + (חיובית). אם התבקשתם להראות מתי אי-השוויון קטן מאפס, יש לכתוב את התחומים בהם התקבלה מכפלה שהיא - (שלילית). אם בנוסף התבקשתם להראות מתי זה שווה לאפס (לדוגמה גדול או שווה לאפס), אזי יש להוסיף את התחומים בהם התקבלה מכפלה 0.

[עריכה] דוגמה א'

$\ (x-1)(x^2-x-6) < 0$

$\ (x-1)(x^2-3x+2x-6) < 0$

$\ (x-1)[x(x-3)+2(x-3)] < 0$

$\ (x-1)(x+2)(x-3) < 0$

	$\ x<-2$	$\ -2$	$\ -2<x<1$	$\ 1$	$\ 1<x<3$	$\ 3$	$\ x>3$
$\ x-1$	$\ -$	$\ -$	$\ -$	$\ 0$	$\ +$	$\ +$	$\ +$
$\ x+2$	$\ -$	$\ 0$	$\ +$	$\ +$	$\ +$	$\ +$	$\ +$
$\ x-3$	$\ -$	$\ -$	$\ -$	$\ -$	$\ -$	$\ 0$	$\ +$
מכפלה	$\ (-)$	$\ 0$	$\ (+)$	$\ 0$	$\ (-)$	$\ 0$	$\ (+)$

התבקשנו להראות את ערכי X עבורם הביטוי קטן מ-0, ולכן אנו מחפשים מכפלה שלילית. לכן התוצאה היא:
$\ x<-2\quad or\quad 1<x<3$

[עריכה] דוגמה ב'

$\ (x^2-4x)(x^2-25) \ge 0$

$\ [x(x-4)][(x-5)(x+5)] \ge 0$

$\ x(x-4)(x-5)(x+5) \ge 0$

	$\ x<-5$	$\ -5$	$\ -5<x<0$	$\ 0$	$\ 0<x<4$	$\ 4$	$\ 4<x<5$	$\ 5$	$\ x>5$
$\ x$	$\ -$	$\ -$	$\ -$	$\ 0$	$\ +$	$\ +$	$\ +$	$\ +$	$\ +$
$\ x-5$	$\ -$	$\ -$	$\ -$	$\ -$	$\ -$	$\ -$	$\ -$	$\ 0$	$\ +$
$\ x+5$	$\ -$	$\ 0$	$\ +$	$\ +$	$\ +$	$\ +$	$\ +$	$\ +$	$\ +$
$\ x-4$	$\ -$	$\ -$	$\ -$	$\ -$	$\ -$	$\ 0$	$\ +$	$\ +$	$\ +$
מכפלה	$\ +$	$\ 0$	$\ -$	$\ 0$	$\ +$	$\ 0$	$\ -$	$\ 0$	$\ +$

התבקשנו להראות את ערכי X עבורם הביטוי גדול מ-0 או שווה לו, ולכן אנו מחפשים מכפלה חיובית (+) או אפס. לכן התוצאה היא:
$\ x \le -5\quad or\quad 0 \le x \le 4\quad or\quad x \ge 5$

הפרק הקודם:
אי שיויונות עם שברים

אי שיויונות ממעלה ממעלה שלישית או יותר
תרגילים

הפרק הבא:
הוכחת אי שיויונות

אלגברה תיכונית/אי שיויונות/אי שיויונות ממעלה שלישית או יותר/תרגילים

אלגברה תיכונית/אי שיויונות/הוכחת אי שיויונות

אלגברה תיכונית/אי שיויונות/הוכחת אי שיויונות/תרגילים

אלגברה תיכונית/אי שיויונות/אי שיויונות ופרמטרים

אלגברה תיכונית/אי שיויונות/אי שיויונות ופרמטרים/תרגילים

[עריכה] חקירת משוואה ריבועית

חקירת משוואה ריבועית הוא תחום המתבקש מיד מידיעת פתרון אי שוויונות. חקירת משוואה ריבועית זה ניתוח מתמטי של מספר הפתרונות של משוואה ריבועית הנתונה לנו, לרוב בצורה פרמטרית. החקירה מתבססת בעיקר על תכונות הדיסקרימיננטה ( $\;\Delta$ - ד'לתא). חקירת משוואה ריבועית היא לרוב שאלה מסוג "עבור אילו ערכים של הפרמטר $\;m$ יש למשוואה שני פתרונות, פתרון אחד או 0 פתרונות?". התשובה היא (במקרה של דוגמה אופיינית זו) 3 תחומים: תחום 2 פתרונות, פתרון אחד ואי-קיום פתרון.

[עריכה] סכימה לפתרון

במקרה של חקירת משוואה ריבועית, קשה מאוד להפתיע, והנושא הוא למעשה נושא יחסית פשוט. על כן, ניתן לכתוב סכימה פשוטה יחסית שנותנת פתרון לכל בעיה אפשרית בבחינות הבגרות. על מנת להסיר ספק, הסכימה נותנת תשובה לשאלה: "מתי יש למשוואה ריבועית נתונה 2 פתרונות, פתרון אחד או 0 פתרונות". ישנו סוג נוסף של שאלות, אותו ננסח בהמשך (ואף הוא אינו קשה כלל ועיקר). הבה נניח שיש משוואה ריבועית הנתונה (באופן הכללי ביותר) על ידי

$\;ax^2+bx+c=0$

אז למשוואה יש שני פתרונות אם ורק אם כל התנאים הבאים מתקיימים (כלומר, מדובר בחיתוך של קבוצות המשוואות שמקיימות אחד מהתנאים. דרך אחרת לחשוב על כך היא שבין התנאים קיים הקשר הלוגי וגם):

$\;a\neq 0$ (אחרת המשוואה אינה ריבועית, אלא לינארית ולכן יש לה רק פתרון אחד או אינסוף פתרונות)
$\;\Delta>0$ (שימו לב! זה אי-שוויון ממש)

כדאי לדעת:

$\;\Delta=b^2-4ac$ היא הדיסקרימיננטה של המשוואה הריבועית.

למשוואה יש פתרון יחיד אם ורק אם לפחות אחד מהתנאים הבאים מתקיימים:

$\;b\neq 0$ וגם $\;a=0$
$\;a\neq 0$ וגם $\;\Delta=0$

למשוואה אין אף פתרון ממשי אם ורק אם $\;\Delta<0$ הבה נראה כיצד ניתן להשתמש בסכימה זו בפתרון בעיה של ממש.

אתגר:

מדוע סכימה זו נכונה? תנו הסבר מתמטי מדוע כל אחד מהתנאים גורם לכך שהדרישה תתקיים, למשל מדוע הדרישה שהדיסקרימיננטה קטנה מ-0 גורמת לכך שלא יהיה פתרון.

[עריכה] דוגמה 1

נתונה המשוואה

$\;(6-m)x^2+(m-3)x+1=0$

עבור אילו ערכים של $\;m$ למשוואה:

אין פתרון ממשי?
יש רק פתרון ממשי אחד?
יש שני פתרונות ממשיים?

פתרון: נפתור שוב בעזרת הסכימה. נבדוק מתי למשוואה אין בכלל פתרון ממשי. זה קורה כאשר הדיסקרימיננטה שלילית כלומר:

$\;\Delta<0$
$\Updownarrow$
$\;b^2-4ac<0$
$\Updownarrow$
$\;(m-3)^2-4\cdot(6-m)\cdot 1<0$
$\Updownarrow$
$\;m^2-6m+9-24+4m<0$
$\Updownarrow$
$\;m^2-2m-15<0$

$\;f(m)=m^2-2m-15$ מייצגת פרבולה ישרה (כלומר מחייכת) שחותכת את ציר ה- $\;x$ בנקודות $\;-5$ ו- $\;3$ ולכן כפי שפתרנו בפרק אי שיויונות ממעלה שנייה:
תשובה: $\;-5<m<3$ ובזאת פתרנו את הסעיף הראשון. נמשיך ונפתור - עבור אילו ערכים של $\;m$ יש למשוואה פתרון יחיד?
אם $\;a=0$ אז זה אומר ש- $\;6-m=0$ וזה אומר ש- $\;m=6$ ולכן גם מתקיים ש- $b=m-3=3\neq 0$ ולכן ישנו פתרון יחיד במקרה ש- $\;m=6$ אך בזאת לא סיימנו את הפתרון מכיוון שעלינו גם לבדוק מה קורה אם $\;a\neq 0$ .
נדרוש $\;a\neq 0$ כלומר, $6-m\neq 0$ ונקבל ש- $m\neq 6$ . עלינו גם לדרוש ש- $\;\Delta=0$ ולכן $m 2 - 2 m - 15 = 0$ . פתרונות המשוואה הם כאמור $\;-5$ ו- $\;3$ . על פי הסכימה, על מנת שיתקבל פתרון יחיד צריך ששני התנאים יתקיימו יחדיו אבל מכיוון שאם $\;x=-5$ או ש- $\;x=3$ הרי שברור שגם מתקיים ש- $\;x\neq 6$ .
מכאן שהתשובה לסעיף זה היא האיחוד של שתי התשובות וזה אומר: $\;m=6$ או $\;m=3$ או $\;m=-5$ .
את הסעיף האחרון ניתן לפתור בעזרת המידע שכבר קיים מפתרון הסעיפים הקודמים. פתרון הסעיף הזה הוא בדיוק המשלים (אם אינך זוכר מהו משלים חזור לפרק קבוצות ותחומים) של הקבוצה של כל הפתרונות הקודמים. נזכר ונראה שאיחוד הפתרונות הוא $\;-3<m<5$ או $\;m=6$ או $\;m=3$ או $\;m=-5$ . מחוקי דה-מורגן מתקבל שהמשלים (שהוא גם הפתרון) הוא: ( $\;m>5$ או $\;m<-3$ ) וגם $\;m\neq 6$ וגם $\;m\neq -3$ וגם $\;m\neq 5$ תלמיד המתקשה בשימוש בחוקי דה-מורגן יכול כמובן לעבוד על פי הסכימה שכתובה לעיל והתשובה שתתקבל תהיה שקולה.

[עריכה] דוגמה 2

נתונה המשוואה הריבועית $\;m^2 x^2 + (2m-5)x+1=0$ . עבור אילו ערכים של $\;m$ יש למשוואה שני פתרונות בדיוק?
פתרון: לפי הכלל, למשוואה יש שני פתרונות אם ורק אם מתקיים ש:

$\;m^2 \neq 0$ וגם $\;\Delta>0$

נפתור כל תנאי בנפרד:

$\;m^2\neq 0$
$\Updownarrow$
$m\neq 0$

נותר לפתור את אי השוויון השני. אז:

$\;\Delta>0$
$\Updownarrow$
$\;b^2-4ac>0$
$\Updownarrow$
$\; (2m-5)^2-4m^2\cdot 1>0$
$\Updownarrow$
$\; 4m^2-20m+25-4m^2>0$
$\Updownarrow$
$\; -20m+25>0$
$\Updownarrow$
$\;25>20m$
$\Updownarrow$
$m<\frac{5}{4}$

ומכיוון שהסכימה דורשת שכל התנאים יתקיימו אז הקשר הלוגי כאן הוא וגם ולכן התשובה היא:
תשובה: $m<\frac{5}{4}$ וגם $\;m\neq 0$

[עריכה] חקירת משוואות באמצעות נוסחאות וייטה

במקרים מסויימים אנו נדרשים לקבוע את סוג הפתרונות המתקבלים ממשוואה ריבועית, כלומר לעיתים נשאל שאלות בסגנון: "עבור אילו ערכים של הפרמטר $\;m$ למערכת ישנם שני פתרונות חיוביים?". במקרה זה עלינו לנצל את הידע שרכשנו בחקירת משוואה ריבועית ובידע נוסף שהוא נוסחאות וייטה. נוסחאות וייטה נותנות לנו מידע על סכום הפתרונות של משוואה ריבועית ועל מכפלת הפתרונות של משוואה ריבועית. נזכר, אם כן, בנוסחאות וייטה. אם נתונה משוואה ריבועית:

$\;ax^2+bx+c=0$

הרי שנוסחאות וייטה הן:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

נוסחאות וייטה, כאמור, מתייחסות לפתרונות המשוואה הריבועית הנתונה $\;x_1, x_2$
ישנם 4 תנאים (מלבד התנאים המוזכרים למעלה: שני פתרונות, פתרון יחיד, ואין פיתרון) אשר יכולים להדלות מ-2 נוסחאות אלה:

1.שני שורשי המשוואה חיוביים:

$-\frac{b}{a}>0$

$\frac{c}{a}>0$

$\;\Delta>0$

2.שני שורשי המשוואה שליליים:

$-\frac{b}{a}<0$

$\frac{c}{a}>0$

$\;\Delta>0$

3.שני השורשים שווי סימן:

$\frac{c}{a}>0$

$\;\Delta>0$

4.שני השורשים שוני סימן:

$\frac{c}{a}<0$

מכאן קל לקבל כמה תנאים לגבי תכונת הסימן של הפתרונות. למשל, על מנת שלשני הפתרונות יהיו סימנים הפוכים, עלינו לדרוש שמכפלתם תהיה שלילית. יש לשים לב כי אם ניתנה לנו שאלה, הדרישות שלנו על הפתרונות חייבים להיות גם מספיקים וגם הכרחיים, כלומר שאם הם מתקיימים אז תנאי השאלה מתקיימים ואם תנאי השאלה מתקיימים אז התנאים מתקיימים. כלומר, אם נתבקשנו למצוא את התנאי שנוסח כ"פתרונות המשוואה שוני סימן" הרי שאם הפתרונות שוני סימן אז ברור שמכפלתם היא שלילית, ומאידך ברור שאם מכפלתם שלילית אז הם בוודאי שוני סימן. בכל שאלה עלינו לוודא שאכן התנאי עובד לשני הכיוונים.

[עריכה] דוגמה 3

נחזור לדוגמה הראשונה שהוצגה בסעיף זה. $\;m^2 x^2 + (2m-5)x+1=0$ . עלינו למצוא עבור אילו ערכים של $\;m$ למשוואה פתרונות שוני סימן. כבר הערנו שבמקרה זה עלינו לדרוש שמכפלתם תהיה שלילית, כלומר $x_1 \cdot x_2 <0$ או, לפי נוסחאות וייטה

$\frac{c}{a}<0$

כלומר

$\frac{1}{m^2}<0$

אי שיוויון זה אינו מתקיים לעולם(במסגרת המספרים הממשיים) ולכן אנו מסיקים שלא קיימים ערכים של $\;m$ שעבורם לפתרונות המשוואה סימנים הפוכים במסגרת המספרים הממשיים.

[עריכה] דוגמה 4

עבור אילו ערכי $\;m$ למשוואה $\;m^2 x^2 + (2m-5)x+1=0$ יש שני פתרונות חיוביים? בעיה זו דומה לבעיה קודמת. עם זאת, במקרה זה עלינו לשים לב לתנאים נוספים. עלינו למצוא את התנאי שעבורו למשוואה שני הפתרונות חיוביים. זה אומר שלשניהם יש אותו סימן, אך ברור שתנאי זה אינו מספיק מכיוון שגם לו מצאנו את הערכים עבורם לשני הפתרונות סימנים זהים, הרי שיתכן שהפתרונות שניהם שליליים. על מנת לוודא שהפתרונות הם אכן חיוביים, נשים לב שמספיק לדאוג שסכומם יהיה חיובי. זאת מכיוון שאם שני הפתרונות הם בעלי סימנים זהים, אז שניהם חיוביים או שליליים באותו הזמן אז סכומם הוא חיובי רק אם שניהם חיוביים. מאידך ברור שאם שניהם חיוביים אז סכומם חיובי ובזאת קיבלנו את התנאי הנדרש. על פי נוסחאות וייטה ודוגמה קודמת ברור שעל מנת שהפתרונות הם בעלי סימנים זהים צריך להיות

$\frac{c}{a}>0$

כלומר

$\frac{1}{m^2}>0$

וזה נכון לכל $\;m\neq 0$ . על מנת שסכומם יהיה חיובי נדרוש גם

$-\frac{b}{a}>0$

כלומר

$\frac{2m-5}{m^2}<0$

ניתן לכפול ב- $\;m^2$ כי הוא חיובי ולכן

$\ m<\frac{5}{2}$

ועל כן התשובה היא $\ m<\frac{5}{2}$ .

הפרק הקודם:
אי שוויונות ופרמטרים

חקירת משוואה ריבועית
תרגילים

הפרק הבא:
סדרות

[עריכה] תרגילים

רשימת הפרקים

[עריכה] תרגילים

עבור כל אחת מהמשוואות הבאות קבעו מתי יש להן:

שני פתרונות בדיוק
פתרון אחד בלבד
אין אף פתרון

את התשובות עליכם לכתוב באמצעות ערכי $\ m$ .

$\; (x+2) (-3 x+m (x+6)-2)=0$
$\; (3 x+2) (-x+m (x+2)+2)=0$
$\; (x+2) (m (x+6)-2 (x+2))=0$
$\; (2 x+1) (m (2 x+3)-2)=0$
$\; (x-8) x+m (x+2) (3 x+2)=4$
$\; (2 x+1) (3 m+2 (m+2) x+4)=0$
$\; 3 m x^2+m+1=4 m x$
$\; m (2 x-9) (2 x-3)=0$
$\; m (x-3) (x-1)+1=(x-4) x$
$\; (8-5 x) x+m (x-2) (3 x-2)=4$
$\; 9 (m+1) x^2+12 m+8=24 (m+1) x$
$\; m (5 x+2) (5 x+6)+16=0$
$\; (m-1) (x-3) (x-1)=0$
$\; (x+2) (2 (x+2)+m (x+6))=0$
$\; (6 x-1) (-m+2 (m-1) x+3)=0$
$\; m (x+2) (3 x+2)+x (5 x+8)+4=0$
$\; m (x-3) (x-1)=0$
$\; (x+1) (3 m+(m+2) x-2)=0$
$\; (x+1) (5 x+m (x+3)+3)=0$
$\; (x+2) (2 (x-2)+m (x+6))=0$
$\; (m (x-3)-3 x-1) (x-1)=0$
$\; m (4 (x-2) x+3)=4 (x-1)^2$
$\; (2 x+1) (6 x m+m-8 x+4)=0$
$\; m (x+2) (x+6)=x (x+8)+8$
$\; (4 x+3)^2+m (2 x+3) (2 x+9)=0$
$\; m (5 x+2) (5 x+6)=5 x (5 x+8)+8$
$\; (x-1) (-2 x+m (3 x-1)+2)=0$
$\; (2 x-1) (-8 x+m (6 x-1)-2)=0$
$\; (2 x-3) (10 x+m (2 x-9)+3)=0$
$\; m (x+2) (3 x+2)=2 (x (x+4)+2)$

[עריכה] פתרון

פתרון:
1. $\; m<-1\lor -1<m<3\lor m>3$
2. $\; m=-1\lor m=3$
3. $\; \phi$
פתרון:
1. $\; m<-2\lor -2<m<1\lor m>1$
2. $\; m=-2\lor m=1$
3. $\; \phi$
פתרון:
1. $\; m<0\lor 0<m<2\lor m>2$
2. $\; m=0\lor m=2$
3. $\; \phi$
פתרון:
1. $\; m<0\lor 0<m<1\lor m>1$
2. $\; m=0\lor m=1$
3. $\; \phi$
פתרון:
1. $\; m<-\frac{1}{3}\lor -\frac{1}{3}<m<1\lor m>5$
2. $\; m=-\frac{1}{3}\lor m=1\lor m=5$
3. $\; 1<m<5$
פתרון:
1. $\; m<-2\lor -2<m<-1\lor m>-1$
2. $\; m=-2\lor m=-1$
3. $\; \phi$
פתרון:
1. $\; m<0\lor m>3$
2. $\; m=3$
3. $\; 0<m<3$
פתרון:
1. $\; m\neq 0$
2. $\; \phi$
3. $\; \phi$
פתרון:
1. $\; m<1\lor m>5$
2. $\; m=5$
3. $\; 1<m<5$
פתרון:
1. $\; m<-1\lor 1<m<\frac{5}{3}\lor m>\frac{5}{3}$
2. $\; m=-1\lor m=1\lor m=\frac{5}{3}$
3. $\; -1<m<1$
פתרון:
1. $\; m<-2\lor m>-1$
2. $\; m=-2$
3. $\; -2<m<-1$
פתרון:
1. $\; m<0\lor m>4$
2. $\; m=4$
3. $\; 0<m<4$
פתרון:
1. $\; m\neq 1$
2. $\; \phi$
3. $\; \phi$
פתרון:
1. $\; m<-2\lor -2<m<0\lor m>0$
2. $\; m=-2\lor m=0$
3. $\; \phi$
פתרון:
1. $\; m<1\lor 1<m<4\lor m>4$
2. $\; m=1\lor m=4$
3. $\; \phi$
פתרון:
1. $\; m<-\frac{5}{3}\lor -\frac{5}{3}<m<-1\lor m>1$
2. $\; m=-\frac{5}{3}\lor m=-1\lor m=1$
3. $\; -1<m<1$
פתרון:
1. $\; m\neq 0$
2. $\; \phi$
3. $\; \phi$
פתרון:
1. $\; m<-2\lor -2<m<2\lor m>2$
2. $\; m=-2\lor m=2$
3. $\; \phi$
פתרון:
1. $\; m<-5\lor -5<m<1\lor m>1$
2. $\; m=-5\lor m=1$
3. $\; \phi$
פתרון:
1. $\; m<-2\lor -2<m<2\lor m>2$
2. $\; m=-2\lor m=2$
3. $\; \phi$
פתרון:
1. $\; m<-2\lor -2<m<3\lor m>3$
2. $\; m=-2\lor m=3$
3. $\; \phi$
פתרון:
1. $\; m<0\lor m>1$
2. $\; m=0$
3. $\; 0<m<1$
פתרון:
1. $\; m<\frac{4}{3}\lor \frac{4}{3}<m<4\lor m>4$
2. $\; m=\frac{4}{3}\lor m=4$
3. $\; \phi$
פתרון:
1. $\; m<1\lor m>2$
2. $\; m=2$
3. $\; 1<m<2$
פתרון:
1. $\; m<-4\lor -4<m<0\lor m>5$
2. $\; m=-4\lor m=0\lor m=5$
3. $\; 0<m<5$
פתרון:
1. $\; m<1\lor m>2$
2. $\; m=2$
3. $\; 1<m<2$
פתרון:
1. $\; m<0\lor 0<m<\frac{2}{3}\lor m>\frac{2}{3}$
2. $\; m=0\lor m=\frac{2}{3}$
3. $\; \phi$
פתרון:
1. $\; m<\frac{4}{3}\lor \frac{4}{3}<m<3\lor m>3$
2. $\; m=\frac{4}{3}\lor m=3$
3. $\; \phi$
פתרון:
1. $\; m<-5\lor -5<m<3\lor m>3$
2. $\; m=-5\lor m=3$
3. $\; \phi$
פתרון:
1. $\; m<\frac{2}{3}\lor \frac{2}{3}<m<1\lor m>2$
2. $\; m=\frac{2}{3}\lor m=1\lor m=2$
3. $\; 1<m<2$

[עריכה] תרגילים

סט נוסף של בעיות לתרגול עצמי. עבור אילו ערכי $\;m$ יש למשוואות

שני פתרונות
פתרון יחיד
אין פתרון כלל

$\; (2 x+5) (8 x+m (6 x+5)-10)=0$
$\; m (5 x+3) (5 x+9)+18=0$
$\; m (4 (x-2) x+3)+7=0$
$\; 16 (m-4) x^2+80 (m-3) x+75 m+25=0$
$\; 3 (m+1) x^2+m=4 (m-1) x+1$
$\; (x+5) (3 x+m (x+15)+5)=0$
$\; (3 x+5) (3 m (x+5)-2 (3 x+5))=0$
$\; (x+1) (-4 x+m (x+3)+2)=0$
$\; m (x+3) (x+9)+x (x+12)+18=0$
$\; 27 (m-1) x^2+16 (m-2)=48 (m-2) x$
$\; 4 (3 m+4) x^2+88 (m-1) x+121 (m-1)=0$
$\; 3 m (4 x (x+2)+3)=8 x (x+6)+18$
$\; m (4 x+7) (12 x+7)=40 x (2 x+7)+49$
$\; m (x-2) (3 x-2)+4=x (5 x+8)$
$\; 3 (m+1) x^2+4 m=8 (m+1) x+4$
$\; m (3 x-4) (9 x-4)=32$
$\; m (11 x+4) (11 x+12)=121 x^2$
$\; m (4 x (x+2)+3)+3=4 (x-2) x$
$\; (x-2) (3 (m+1) x-2 (m+11))=0$
$\; m (x+1) (x+3)+x (x+4)=1$
$\; (3 m+7) x^2+4 (m+3) x+m+3=0$
$\; 40 x^2+m (2 x+7) (6 x+7)=0$
$\; (2 m+3) x=\frac{2}{9} (3 m+2) x^2+\frac{9 m}{8}$
$\; 9 (m+1) x^2+75 m=60 (m+1) x+50$
$\; m (4 (x-10) x+75)=4 (x-10) x+50$
$\; m (x+1) (x+3)=4 x+3$
$\; m \left(-\frac{3 x^2}{4}+2 x-1\right)+1=x (x+2)$
$\; m (4 x (x+2)+3)=4 x (x+2)+2$
$\; m (x+2) (x+6)+x (x+8)+4=0$
$\; (2 x+1) (3 m+2 (m+1) x+11)=0$
$\; (5 x-2) (5 (x+2)+m (5 x-6))=0$
$\; m (2 x+3) (2 x+9)+18=0$
$\; 4 x (2 x+9)+3 m (4 x (x+2)+3)=0$
$\; (2 x+5) (5 (3 m-2)+2 (m-8) x)=0$
$\; (3 m-2) x^2+4 (m+3)=8 m x$
$\; m (x+2) (x+6)=2 (x (x+8)+22)$
$\; (x-1) (-x+m (3 x-1)+1)=0$
$\; 16 (m+1) x^2+3 m+11=16 (m+1) x$
$\; (x+3) (m+(m+2) x)=0$
$\; 8 x+m (4 (x-2) x+3)=3$
$\; (5 x+2) (5 x+m (5 x+6)-6)=0$
$\; 121 (m+1) x^2+48 m=176 m x$
$\; m (5 x+2) (5 x+6)=4$
$\; m (5 x-3) (5 x-1)+2=0$
$\; m (x+2) (x+6)+16=0$
$\; 8 (x+1)^2+m (4 x (x+2)+3)=0$
$\; (2 x+1) (3 m+2 (m+9) x+5)=0$
$\; 2 (m+2) x=\frac{3}{4} (m+2) x^2+m+\frac{7}{3}$
$\; 20 (x-7) x+m (2 x-7) (6 x-7)+49=0$
$\; 4 (x-2) x+m (4 (x-2) x+3)+1=0$

[עריכה] פתרונות

פתרון:
1. $\; m<-3\lor -3<m<-\frac{4}{3}\lor m>-\frac{4}{3}$
2. $\; m=-3\lor m=-\frac{4}{3}$
3. $\; \phi$
פתרון:
1. $\; m<0\lor m>2$
2. $\; m=2$
3. $\; 0<m<2$
פתרון:
1. $\; m<0\lor m>7$
2. $\; m=7$
3. $\; 0<m<7$
פתרון:
1. $\; m<4\lor 4<m<5\lor m>8$
2. $\; m=4\lor m=5\lor m=8$
3. $\; 5<m<8$
פתרון:
1. $\; m<-1\lor -1<m<1\lor m>7$
2. $\; m=-1\lor m=1\lor m=7$
3. $\; 1<m<7$
פתרון:
1. $\; m<-3\lor -3<m<1\lor m>1$
2. $\; m=-3\lor m=1$
3. $\; \phi$
פתרון:
1. $\; m<0\lor 0<m<2\lor m>2$
2. $\; m=0\lor m=2$
3. $\; \phi$
פתרון:
1. $\; m<-3\lor -3<m<4\lor m>4$
2. $\; m=-3\lor m=4$
3. $\; \phi$
פתרון:
1. $\; m<-2\lor m>-1$
2. $\; m=-2$
3. $\; -2<m<-1$
פתרון:
1. $\; m<1\lor 1<m<2\lor m>5$
2. $\; m=1\lor m=2\lor m=5$
3. $\; 2<m<5$
פתרון:
1. $\; m<-\frac{4}{3}\lor -\frac{4}{3}<m<1\lor m>8$
2. $\; m=-\frac{4}{3}\lor m=1\lor m=8$
3. $\; 1<m<8$
פתרון:
1. $\; m<\frac{2}{3}\lor \frac{2}{3}<m<2\lor m>6$
2. $\; m=\frac{2}{3}\lor m=2\lor m=6$
3. $\; 2<m<6$
פתרון:
1. $\; m<\frac{5}{3}\lor \frac{5}{3}<m<2\lor m>10$
2. $\; m=\frac{5}{3}\lor m=2\lor m=10$
3. $\; 2<m<10$
פתרון:
1. $\; m<-9\lor -1<m<\frac{5}{3}\lor m>\frac{5}{3}$
2. $\; m=-9\lor m=-1\lor m=\frac{5}{3}$
3. $\; -9<m<-1$
פתרון:
1. $\; m<-7\lor m>-1$
2. $\; m=-7$
3. $\; -7<m<-1$
פתרון:
1. $\; m<-6\lor m>0$
2. $\; m=-6$
3. $\; -6<m<0$
פתרון:
1. $\; m<-3\lor 0<m<1\lor m>1$
2. $\; m=-3\lor m=0\lor m=1$
3. $\; -3<m<0$
פתרון:
1. $\; m<-7\lor -1<m<1\lor m>1$
2. $\; m=-7\lor m=-1\lor m=1$
3. $\; -7<m<-1$
פתרון:
1. $\; m<-1\lor -1<m<4\lor m>4$
2. $\; m=-1\lor m=4$
3. $\; \phi$
פתרון:
1. $\; m<-5\lor m>-1$
2. $\; m=-5$
3. $\; -5<m<-1$
פתרון:
1. $\; m<-5\lor -3<m<-\frac{7}{3}\lor m>-\frac{7}{3}$
2. $\; m=-5\lor m=-3\lor m=-\frac{7}{3}$
3. $\; -5<m<-3$
פתרון:
1. $\; m<-\frac{10}{3}\lor -\frac{10}{3}<m<0\lor m>10$
2. $\; m=-\frac{10}{3}\lor m=0\lor m=10$
3. $\; 0<m<10$
פתרון:
1. $\; m<-9\lor -1<m<-\frac{2}{3}\lor m>-\frac{2}{3}$
2. $\; m=-9\lor m=-1\lor m=-\frac{2}{3}$
3. $\; -9<m<-1$
פתרון:
1. $\; m<-6\lor m>-1$
2. $\; m=-6$
3. $\; -6<m<-1$
פתרון:
1. $\; m<1\lor m>2$
2. $\; m=2$
3. $\; 1<m<2$
פתרון:
1. $\; m<0\lor 0<m<1\lor m>4$
2. $\; m=0\lor m=1\lor m=4$
3. $\; 1<m<4$
פתרון:
1. $\; m<-\frac{4}{3}\lor -\frac{4}{3}<m<1\lor m>8$
2. $\; m=-\frac{4}{3}\lor m=1\lor m=8$
3. $\; 1<m<8$
פתרון:
1. $\; m<1\lor m>2$
2. $\; m=2$
3. $\; 1<m<2$
פתרון:
1. $\; m<-3\lor m>-1$
2. $\; m=-3$
3. $\; -3<m<-1$
פתרון:
1. $\; m<-5\lor -5<m<-1\lor m>-1$
2. $\; m=-5\lor m=-1$
3. $\; \phi$
פתרון:
1. $\; m<-1\lor -1<m<3\lor m>3$
2. $\; m=-1\lor m=3$
3. $\; \phi$
פתרון:
1. $\; m<0\lor m>2$
2. $\; m=2$
3. $\; 0<m<2$
פתרון:
1. $\; m<-9\lor -1<m<-\frac{2}{3}\lor m>-\frac{2}{3}$
2. $\; m=-9\lor m=-1\lor m=-\frac{2}{3}$
3. $\; -9<m<-1$
פתרון:
1. $\; m<-3\lor -3<m<8\lor m>8$
2. $\; m=-3\lor m=8$
3. $\; \phi$
פתרון:
1. $\; m<\frac{2}{3}\lor \frac{2}{3}<m<1\lor m>6$
2. $\; m=\frac{2}{3}\lor m=1\lor m=6$
3. $\; 1<m<6$
פתרון:
1. $\; m<-3\lor m>2$
2. $\; m=-3$
3. $\; -3<m<2$
פתרון:
1. $\; m<0\lor 0<m<\frac{1}{3}\lor m>\frac{1}{3}$
2. $\; m=0\lor m=\frac{1}{3}$
3. $\; \phi$
פתרון:
1. $\; m<-1\lor m>7$
2. $\; m=7$
3. $\; -1<m<7$
פתרון:
1. $\; m<-3\lor -3<m<-2\lor m>-2$
2. $\; m=-3\lor m=-2$
3. $\; \phi$
פתרון:
1. $\; m<0\lor 0<m<1\lor m>4$
2. $\; m=0\lor m=1\lor m=4$
3. $\; 1<m<4$
פתרון:
1. $\; m<-1\lor -1<m<2\lor m>2$
2. $\; m=-1\lor m=2$
3. $\; \phi$
פתרון:
1. $\; m<-1\lor -1<m<0\lor m>3$
2. $\; m=-1\lor m=0\lor m=3$
3. $\; 0<m<3$
פתרון:
1. $\; m<-1\lor m>0$
2. $\; m=-1$
3. $\; -1<m<0$
פתרון:
1. $\; m<0\lor m>2$
2. $\; m=2$
3. $\; 0<m<2$
פתרון:
1. $\; m<0\lor m>4$
2. $\; m=4$
3. $\; 0<m<4$
פתרון:
1. $\; m<-2\lor m>0$
2. $\; m=0$
3. $\; -2<m<0$
פתרון:
1. $\; m<-9\lor -9<m<2\lor m>2$
2. $\; m=-9\lor m=2$
3. $\; \phi$
פתרון:
1. $\; m<-2\lor m>-1$
2. $\; m=-1$
3. $\; -2<m<-1$
פתרון:
1. $\; m<-10\lor -2<m<-\frac{5}{3}\lor m>-\frac{5}{3}$
2. $\; m=-10\lor m=-2\lor m=-\frac{5}{3}$
3. $\; -10<m<-2$
פתרון:
1. $\; m<-3\lor m>-1$
2. $\; m=-3$
3. $\; -3<m<-1$

אלגברה תיכונית/אי שיויונות/חקירת משוואה ריבועית/תרגילים/נוסחאות וייטה רמה א

אלגברה תיכונית/אי שיויונות/חקירת משוואה ריבועית/תרגילים/נוסחאות וייטה רמה ב

[עריכה] סדרות

[עריכה] הקדמה

נושא הסדרה הוא נושא מרכזי וחשוב באלגברה התיכונית, שיכול להופיע בהקשרים רבים ושונים. סדרות שימושיות מאוד גם במתמטיקה אוניברסיטאית, ומהוות את אחד הכלים הבסיסיים של המתמטיקאי או המדען במדעים המדוייקים.

מטרת פרק זה היא להציג את הנושאים הבסיסיים העוסקים בסדרות: מהי סדרה, מהן תכונותיהן של הסדרות החשבוניות והסדרות ההנדסיות, שהן שני מקרים פרטיים חשובים של סדרות, וכיצד ניתן לעבוד בחלק מהמקרים עם סדרות כלליות.

תוכן עניינים

[עריכה] מהי סדרה?

ניתן לחשוב על סדרה כעל אוסף של מספרים המסודרים בזה אחר זה. הנה מספר דוגמאות לסדרות:

$\ 1,2,3,4,5$
$\ 1,1,1$
$\ 2,5,-3,17.3,2,4$

בשלוש הדוגמאות שלנו כתבנו את איברי הסדרה משמאל לימין על פי הסדר, כאשר בין כל שני איברים סמוכים מפריד פסיק. בסדרה הראשונה האיבר הראשון הוא $\ 1$ , האיבר השני הוא $\ 2$ וכן הלאה. בסדרה השניה כל האיברים הם $\ 1$ . בסדרה השלישית האיבר הראשון הוא $\ 2$ וגם האיבר החמישי הוא $\ 2$ . מכאן אנחנו רואים כי סדרה יכולה להכיל את אותו מספר ביותר מאשר מקום אחד, והמספרים לא חייבים להיות מסודרים על פי גודלם.

[עריכה] כתיבת סדרות

ישנן מספר דרכים לכתוב סדרה. הדרך הבסיסית היא זו שראינו כבר, של כתיבת כל איבריה בזה אחר זה:

$\ 1,2,4,8,16$

שיטת כתיבה זו היא בעייתית בסדרות ארוכות, וגם בסדרות קצרות ישנן לעתים שיטות ייצוג שהן נוחות יותר. נראה כעת את שיטות הייצוג המקובלות.

[עריכה] שיטת הכתיבה הכללית

נהוג לסמן סדרות באמצעות אותיות לטיניות מתחילת האלף בית, ואיברים בסדרה באמצעות האות ומספר קטן לידם שמציין את מיקומם בסדרה. למשל $\ a_4$ פירושו האיבר הרביעי בסדרה $\ a$ . לעתים לא רוצים להתייחס לאיבר ספציפי אלא לאיבר כללי, ואז משתמשים לרוב בסימון $\ a_n$ , כאשר ה- $\ n$ הוא משתנה שיכול להיות כל מספר שלא גדול ממספרם של אברי הסדרה. נראה כעת את השימוש בסימן זה.

[עריכה] ייצוג באמצעות נוסחה לאיבר הכללי

לעתים קרובות קיים קשר מתמטי בין האיבר בסדרה ובין ערכו המספרי. במקרה זה נוח מאוד לכתוב את הסדרה בעזרת קשר זה. ניתן מספר דוגמאות.

[עריכה] דוגמה 1

נביט בסדרה

$\ 2,4,6,8,10$

סדרה זו מכילה חמישה איברים, שערכו של כל אחד מהם הוא פי שתיים ממקומו בסדרה. כלומר, האיבר שנמצא במקום ה- $\ n$ (כאשר $\ n$ מקבל ערכים בין $\ 1$ ו- $\ 5$ ) הוא בעל הערך $\ 2n$ . לכן ניתן לתאר את הסדרה באמצעות הנוסחה הבאה:

$\ a_n=2n$ .

[עריכה] דוגמה 2

נביט בסדרה

$\ 2,4,8,16,32$

כאן הסדרה מכילה חזקות של המספר $\ 2$ , בהתאם למיקום האיבר בסדרה. הנוסחה הכללית תהיה:

$\ a_n=2^n$ .

[עריכה] ייצוג באמצעות נוסחת נסיגה

לעתים נוח להציג איבר בסדרה כפונקציה של האיברים שבאו לפניו. נביא כאן את הדוגמה הקלאסית לסדרה שכזו:

[עריכה] סדרת פיבונאצ'י

נניח שאנחנו מגדלים ארנבים, ומתחילים כשבחצר שלנו זוג ארנבים בוגר אחד. בתוך חודש הופכים כל הארנבים הצעירים לארנבים בוגרים, וכל זוג של ארנבים בוגרים מוליד זוג של ארנבים צעירים. נניח גם כי אף ארנב לא מת. כמה זוגות של ארנבים בוגרים יש בחודש ה- $\ n$ ?

בחודש הראשון יש זוג בודד. בחודש השני הזוג הבודד הוליד זוג ארנבים חדש, אבל הארנבים הללו צעירים, ולכן יש עדיין זוג בודד של ארנבים בוגרים. בחודש השלישי הזוג הצעיר התבגר, והזוג הבוגר הוליד זוג צעיר נוסף, ולכן יש 2 זוגות של ארנבים בוגרים, וזוג ארנבים צעירים. בחודש הבא הזוג הזה מתבגר ולכן יהיו 3 זוגות של ארנבים בוגרים, ויוולדו 2 זוגות של ארנבים צעירים. נכתוב כסדרה את מספר זוגות הארנבים הבוגרים:

$\ 1,1,2,3,5,8,13,21,\dots$

סדרה זו נקראת סדרת פיבונאצ'י והיא אחת מהסדרות המפורסמות ביותר במתמטיקה. לסדרת פיבונאצ'י תכונות רבות ומפתיעות שקושרות אותה לרבים מתחומי המתמטיקה. הסדרה כה ידועה, עד כי קיים רבעון מתמטי העוסק בה ובתכונותיה.

הסדרה ניתנת לתיאור פשוט בצורה הבאה: שני האיברים הראשונים שלה הם 1, וכל איבר החל מהאיבר השלישי הוא סכום שני האיברים שקדמו לו. ניתן לכתוב זאת כך:

$\ a_1=1$
$\ a_2=1$
$\ a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ לכל $\ n\ge 3$

תיאור זה מכונה נוסחת נסיגה: הסיבה לשם היא שכדי לחשב את האיבר ה- $\ n$ אנחנו "נסוגים" לאיברים קודמים יותר, עד שאנחנו מגיעים לאיברים הבסיסיים ביותר שעבורם יש לנו הגדרה מפורשת.

נשים לב שכאן לא הגבלנו את מספר האיברים בסדרה, והמשתנה $\ n$ יכול לקבל כל ערך טבעי שהוא. לסדרה כזו אנו קוראים סדרה אינסופית. שלוש הנקודות שהופיעו בתיאור של הסדרה למעלה שבו כתבנו את איבריה מסמנות שהסדרה לא נגמרת במקום הופעתן אלא ממשיכה עד אינסוף.

בחזרה לארנבים, מדוע סדרת פיבונאצ'י אכן מתארת אותם? בכל חודש מספר זוגות הארנבים הבוגרים הוא מספר זוגות הארנבים שהיו בוגרים גם בחודש הקודם, ועוד מספר זוגות הארנבים שהיו צעירים בחודש הקודם, שכן מאז הם התבגרו. מספר זוגות הארנבים שהיו בוגרים גם בחודש הקודם הוא $\ a_{n-1}$ . מספר זוגות הארנבים הצעירים שהיו בחודש הקודם שווה למספר זוגות הארנבים שהיו בוגרים לפני חודשיים, כלומר $\ a_{n-2}$ , שכן כל זוג ארנבים בוגר ממליט זוג ארנבים צעיר אחד, ולכן בכל חודש מספר זוגות הארנבים הצעירים שווה למספר זוגות הארנבים שהיו בוגרים בחודש הקודם.

[עריכה] שימוש בנוסחאות נסיגה

באופן כללי, נוסחת נסיגה היא נוסחה כללית שבה האיבר ה- $\ n$ נתון על ידי חלק מהאיברים שקדמו לו. הנה עוד כמה דוגמאות לנוסחאות נסיגה:

$\ a_n=2a_{n-1}$
$\ a_n=a_{n-3}\cdot a_{n-5}$
$\ a_n=\frac{a_{n-2}}{a_{n-3}}$

בכל הנוסחאות הללו נדרשים גם תנאי התחלה - תיאור מפורש של ערכם של האיברים הראשונים של הסדרה. באופן כללי, אם מופיע בנוסחת הנסיגה האיבר $\ a_{n-k}$ נצטרך לדעת לפחות את $\ k$ האיברים הראשונים. בדוגמה הראשונה שהבאנו כאן מספיק לדעת את האיבר הראשון, אבל בדוגמה השנייה יש לדעת את חמשת האיברים הראשונים, ובשלישית את שלושת האיברים הראשונים.

תנאי התחלה שונים יכולים להביא לסדרות שונות. אפשר למשל לבחור להתחיל את סדרת פיבונאצ'י לא מצמד המספרים 1 ו-1, אלא מהמספרים $\ -4$ ו- $\ 2$ . במקרה זה נקבל את הסדרה הבאה:

$\ -4,2,-2,0,-2,-2,-4,-6\dots$

וקיבלנו סדרה שונה לגמרי, למרות שכלל הנסיגה היה זהה.

נוסחאות נסיגה נוחות מאוד לשימוש ולהבנה, אבל לא קל לחשב מהן את האיבר ה- $\ n$ עבור ערכים גדולים של $\ n$ . נסו למשל לחשב את האיבר ה- $\ 20$ של סדרת פיבונאצ'י: לשם כך יש לחשב את כל $\ 19$ האיברים הראשונים קודם! המצב נהיה חמור בהרבה כאשר רוצים את האיבר ה- $\ 1,000$ , למשל. על כן, לעתים מחפשים דרך לעבור מנוסחת נסיגה לנוסחה לאיבר הכללי שאינה תלויה באיברים הקודמים. נעסוק בכך בהמשך.

הפרק הקודם:
סדרות

מבוא
תרגילים

הפרק הבא:
סדרות חשבוניות

[עריכה] הגדרה

סדרה חשבונית היא סדרה של מספרים שבה ההפרש בין כל שני איברים סמוכים הוא קבוע. למשל:

$\ 1,2,3,4,5$ היא סדרה חשבונית שבה ההפרש הוא 1.
$\ 4,4,4,4$ היא סדרה חשבונית שבה ההפרש הוא 0.
$\ 2,5,8,11$ היא סדרה חשבונית שבה ההפרש הוא 3.

נהוג לסמן את ההפרש של הסדרה החשבונית בתור $\ d$ . סדרה חשבונית מאופיינת על ידי $\ d$ ועל ידי $\ a_1$ - האיבר הראשון שלה.

[עריכה] האיבר הכללי

אם ידועים לנו $\ d$ ו- $\ a_1$ ניתן למצוא את האיבר הכללי (שמיקומו בסדרה- n) של הסדרה באמצעות הנוסחה

$\ a_n=a_1+(n-1)d$

כדי להיווכח שהנוסחה נכונה פשוט נשים לב כי כדי לעבור מהאיבר $\ a_1$ לאיבר $\ a_n$ אנחנו מבצעים $\ n-1$ צעדים, כאשר בכל צעד גדל ערך האיבר ב- $\ d$ .

[עריכה] הסכום של סדרה חשבונית

לעתים קרובות נתעניין בסכום האיברים של הסדרה החשבונית. בצורה פורמלית הסכום של הסדרה $\ a_1,\dots,a_n$ מוגדר כך:

$\ S_n=a_1+a_2+\dots+a_n$

חשוב לשים לב שאנחנו סוכמים רק מספר סופי של איברים.

נוסחה לסכום זה היא:

$\ S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$

[עריכה] הוכחת הנוסחה

כדי לראות את נכונות הנוסחה נשים לב כי הסכום של האיבר הראשון והאחרון זהה לסכום האיבר השני והאיבר הלפני אחרון. הסיבה לכך היא שהאיבר השני אמנם גדול מהראשון ב- $\ d$ אבל האיבר הלפני אחרון קטן מהאיבר האחרון ב- $\ d$ . באופן כללי אפשר לראות באותה הדרך כי $\ a_1+a_n=a_k+a_{n-k+1}$ .

על כן, אם נסדר את איברי הסדרה זוגות זוגות - האיבר הראשון והאחרון, האיבר השני והאיבר הלפני אחרון, וכן הלאה - נקבל שסכום כל אחד מהזוגות הוא $\ a_1+a_n$ ולכן הסכום של כל האיברים הוא $\ a_1+a_n$ כפול מספר הזוגות, שהוא בדיוק חצי ממספר האיברים: $\ \frac{n}{2}$ . אם $\ n$ הוא אי זוגי זו אינה בעיה - אחד מהזוגות ייספר חצי פעם, במקום פעם אחת שלמה.

לדוגמה, בסדרה $\ 1,2,3,4,5$ סכום האיבר הראשון והאחרון הוא 6 וכך גם סכום האיבר השני והרביעי. אם מחברים את האיבר השלישי עם עצמו מקבלים גם כן 6, אבל הוא מופיע פעם אחת בלבד ולכן איבר זה נספר כחצי זוג ותורם רק 3 לסכום. על פי הנוסחה הסכום יהיה $\ \frac{5\cdot 6}{2}=15$ , וזהו אכן סכומם של האיברים.

מסופר על המתמטיקאי המפורסם קרל פרידריך גאוס שגילה הוכחה זו בגיל 7 לאחר שבבית ספרו הטיל המורה על התלמידים מטלה של סיכום כל המספרים מ-1 עד 100 במטרה להעסיק אותם שעה ארוכה, וגאוס פתר את התרגיל כמעט מייד.

[עריכה] נוסחאות נוספות

[עריכה] מקרה א' (האיבר הראשון וההפרש ידועים)

אם נציב בנוסחה שקיבלנו עבור הסכום את הנוסחה שיש לנו עבור האיבר הכללי של סדרה חשבונית נקבל:

$\ S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n[a_1+a_1+(n-1)d]}{2}=\frac{n[2a_1+(n-1)d]}{2}$

ואכן, זוהי נוסחה שדורשת הכרה רק של $\ d$ ושל $\ a_1$ .

[עריכה] מקרה ב' (האיבר האחרון וההפרש ידועים)

ראשית נבטא את האיבר הראשון באמצעות האיבר האחרון, באמצעות הנוסחה לאיבר כללי של סדרה:
$\ a_n=a_1+(n-1)d$
$\ a_1=a_n-(n-1)d$
כעת, נציב בנוסחת הסכום הראשונה:
$\ S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n[a_n-(n-1)d+a_n]}{2}=\frac{n[2a_n-(n-1)d]}{2}$
$\ S_n=\frac{n[2a_n-(n-1)d]}{2}$

הפרק הקודם:
מבוא

סדרות חשבוניות
תרגילים

הפרק הבא:
סדרות הנדסיות

[עריכה] הגדרה

סדרה הנדסית היא סדרה שבה כל איבר הוא מכפלה של האיבר הקודם במספר קבוע מסויים, הנקרא "מנת הסדרה". למשל:

$\ 1,2,4,8,16,\dots$ היא סדרה הנדסית עם מנה 2.
$\ 3,3,3,3$ היא סדרה הנדסית עם מנה 1.
$\ 100,50,25,12.5$ היא סדרה הנדסית עם מנה $\ \frac{1}{2}$ .

נהוג לסמן את המנה של סדרה הנדסית על ידי $\ q$ . סדרה הנדסית מאופיינת על ידי $\ q$ , על ידי $\ a_1$ - האיבר הראשון שלה, ועל ידי מספר האיברים שבה. כלומר, אם יודעים מהו האיבר הראשון של סדרה, מהי המנה שלה ומה האורך שלה, ניתן לדעת מה יהיו כל שאר אברי הסדרה.

נוסחת הנסיגה המתאימה לסדרה הנדסית היא $\ a_n=q\cdot a_{n-1}$ - כל איבר הוא מכפלה של האיבר הקודם ב- $\ q$ , כאשר האיבר הראשון נקבע באופן שרירותי.

[עריכה] האיבר הכללי

אם ידועים לנו $\ q$ ו- $\ a_1$ , ניתן למצוא את האיבר הכללי של הסדרה באמצעות הנוסחה

$\ a_n=a_1q^{n-1}$

כדי להיווכח בנכונות הנוסחה פשוט נשים לב כי כדי לעבור מ- $\ a_1$ אל $\ a_n$ אנחנו מבצעים $\ n-1$ צעדים כאשר בכל צעד גדל ערך האיבר פי $\ q$ .

[עריכה] הסכום של סדרה הנדסית סופית

כבר נתקלנו במושג הסכום אצל סדרה חשבונית. עבור סדרה הנדסית שהמנה שלה היא 1 כל האיברים זהים, ולכן הסכום הוא פשוט

$\ S_n=na_1$

כאשר $\ q\ne 1$ הסכום של הסדרה נתון על ידי הנוסחה

$\ S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$

שימו לב כי בנוסחה הכללית לא ניתן להשתמש כאשר $\ q=1$ , כי אז הצבת $\ q$ בנוסחה מובילה לחלוקה באפס, שאין לה משמעות (בפרט שימו לב שטענה שגויה כמו "תוצאת החלוקה היא אפס" או "תוצאת החלוקה היא אינסוף" לא מניבה את הסכום הנכון).

כדי להוכיח את הנוסחה הכללית נשים לב כי ניתן לכתוב את הסכום כך:

$\ S_n=a_1+a_2+\dots+a_n=a_1+a_1q+\dots+a_1q^{n-1}=a_1(1+q+\dots+q^{n-1})$

כאן השתמשנו בנוסחת האיבר הכללי. נותר למצוא את הגודל שבתוך הסוגריים. כאן נשתמש ב"טריק" לפישוט סכומים מסוג זה: נכפול ונחלק אותו באותו גורם, כך שהמכפלה תפשט את צורת הסכום. כאשר אנו כופלים ומחלקים איבר במספר ששונה מאפס, ערכו של האיבר לא משתנה כי מה שביצענו הוא בעצם כפל ב-1.

במקרה הנוכחי נכפול ונחלק ב- $\ q-1$ .

התוצאה תהיה שנקבל סכום שבו רוב האיברים מבטלים זה את זה, פרט לראשון ולאחרון (סכום כזה מכונה לעתים טור טלסקופי):

$\ (1+q+\dots+q^{n-1})(q-1)=q-1+q^2-q+\dots+q^n-q^{n-1}=q^n-1$ .

ומכאן נסיק:

$\ (1+q+\dots+q^{n-1})=\frac{q^n-1}{q-1}$

ועל ידי כפל ב- $\ a_1$ נקבל את נוסחת הסכום המבוקשת.

[עריכה] הסכום של סדרה הנדסית אינסופית

כאשר $\ |q|<1$ , הסכום של סדרה הנדסית אינסופית בעלת מנה $\ q$ ואיבר ראשון $\ a_1$ היא:

$\ S=\frac{a_1}{1-q}$

בחלק הבא, המיועד להעשרה והעמקה בלבד, ננסה להבין מה פירוש המושג "סכום של סדרה אינסופית", מדוע הסכום הוא זה שבנוסחה, ולמה צריך להתקיים $\ |q|<1$ . אינכם חייבים לקרוא חלק זה כדי להיות מסוגלים לפתור תרגילים העוסקים בסכומים של סדרה הנדסית אינסופית - לשם כך די להכיר את הנוסחה.

[עריכה] מהו סכום של סדרה אינסופית?

לכאורה נראה כי המושג "סכום של סדרה אינסופית" הוא חסר משמעות. כיצד ניתן לחבר אינסוף איברים? הרי זה תהליך שלא יסתיים לעולם, כי תמיד ניתן להמשיך ולחבר איברים נוספים. גם אם מניחים שקיימת אפשרות לחבר את כל האיברים "בבת אחת", עדיין נראה כאילו סכום של אינסוף איברים צריך להיות אינסוף.

הטיפול המתמטי המדוייק במושג זה נעשה במסגרת הענף המתמטי הנקרא "חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי", ולכן נציג כאן את הרעיון בלבד, ולא הוכחה מדוייקת.

בתור דוגמה נתבונן בסכום הבא:

$\ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots$

זהו סכום של הסדרה האינסופית שהאיבר הראשון שלה הוא $\ a_1=1$ והמנה שלה היא $\ q=\frac{1}{2}$ . על פי הנוסחה שהצגנו למעלה, הסכום הזה צריך להיות שווה ל-2. פירוש הדבר הוא שככל שנחבר עוד ועוד איברים בסכום, נגלה שאנחנו מתקרבים למספר 2. כדי להיווכח בכך, נשתמש בנוסחת הסכום הסופית שפיתחנו קודם, ונראה מה אנחנו מקבלים אחרי שאנחנו מחברים את האיברים הראשונים בסדרה. באופן כללי, אחרי שנחבר $\ n$ איברים נקבל את הסכום הבא:

$\ S_n=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n-1}{\frac{1}{2}-1}=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n-1}{-\frac{1}{2}}=-2\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n-1\right)=2\left(1-\frac{1}{2^n}\right)$

אם נציב ערכים בנוסחה באמצעות מחשבון, נראה כי נקבל את התוצאות הבאות:

$\ S_1=1$
$\ S_5=1.9375$
$\ S_{10}=1.9980$
$\ S_{15}=1.9999$

וככל שנמשיך נראה שהערכים הולכים ונהיים קרובים יותר ויותר ל- $\ 2$ , עד כי רמת הדיוק של המחשבון שלנו לא תאפשר לנו לראות את ההבדל. במקרה כזה אנו אומרים כי $\ S$ הוא הגבול של סדרת הסכומים החלקיים $\ S_n$ .

[עריכה] מתי קיים סכום לסדרה אינסופית?

מכיוון שלא הבאנו את ההגדרה המדוייקת של גבול (שאיננה פשוטה) עשוי להתקבל הרושם כי לכל סדרה קיים גבול. נציג כאן שני סכומים אינסופיים שבבירור לא ניתן לייחס להם ערך מסויים.

[עריכה] דוגמה 1

נתבונן בסדרה הבאה:

$\ 1,-1,1,-1,1,\dots$

זו סדרה הנדסית עם איבר ראשון $\ a_1=1$ ומנה $\ q=-1$ .

כאשר $\ n$ זוגי סכום $\ n$ האיברים הראשונים בסדרה הוא $\ S_n=0$ וכאשר n אי זוגי סכום $\ n$ האיברים הראשונים בסדרה הוא $\ S_n=1$ . ניתן לראות זאת על ידי הצבה בנוסחה הכללית. האם קיים סכום לסדרה האינסופית? הצבה בנוסחה של סכום של סדרה אינסופית מניבה $\ \frac{1}{2}$ , אולם מספר זה לא מקיים את התכונה שציפינו שיקיים: לא משנה כמה איברים נסכום, לא נראה כאילו אנחנו מתקרבים אליו, אלא כל הזמן מתנדנדים בין 0 ל-1. מאותה סיבה גם לא ניתן להגיד ש-1 הוא הסכום או 0 הוא הסכום. לכן אנו מסיקים שאין לסדרה סכום על פי המשמעות שאנו מייחסים למילה זו.

[עריכה] דוגמה 2

נתבונן בסדרה הבאה:

$\ 1,2,4,8,16,\dots$

זו סדרה הנדסית עם איבר ראשון $\ a_1=1$ ומנה $\ q=2$ .

נשים לב שככל שאנו סוכמים יותר ויותר איברים, הסכום הולך וגדל. למעשה, לכל מספר טבעי, ולא משנה כמה גדול יהיה, הסדרה מתישהו תעבור אותו. על פי נוסחת הסכום הכללית, במקרה של הסדרה הזו $\ S_n=\frac{2^n-1}{2-1}=2^n-1$ . נניח ש- $\ M$ הוא מספר טבעי כלשהו, מתי הסדרה תעבור אותו? אם אתם מכירים לוגריתמים תוכלו למצוא את הפתרון:

$\ 2^n-1>M$ גורר $\ 2^n>M+1$ , ובעזרת שימוש בלוגריתם נקבל $\ n>\log_2(M+1)$ .

מכיוון ש- $\ n$ יכול לקבל כל ערך שהוא מספר טבעי (כי יש אינסוף איברים לסדרה) ברור שמתישהו הוא יעבור את $\ \log_2(M+1)$ , ולכן גם במקרה הזה אין לסכום ערך מוגדר (אם כי ניתן, בהכללה, לומר שבמקרה זה הסכום הוא אינסוף).

ניתן להשתכנע שנסיון לייחס לסכום תכונות של מספר סופי כלשהו מוביל לאבסורד. נניח כי לסדרה קיים סכום סופי שנסמנו $\ A$ , ונראה שמהנחה זו אנו מגיעים לתוצאה אבסורדית.

אם $\ 1+2+4+\dots=A$ אז אפשר לכפול פי שתיים את שני האגפים. נקבל:

$\ 2+4+8+\dots=2A$ .

נוסיף 1 לשני האגפים, ונקבל:

$\ 1+2+4+8+\dots=2A+1$

אבל עכשיו באגף שמאל יש לנו את הסכום המקורי, והרי ערכו של סכום זה שווה ל- $\ A$ , כלומר קיבלנו:

$\ A=2A+1$

כעת נעביר אגפים ונקבל את ערכו של $\ A$ :

$\ A=-1$

תוצאה זו נראית אבסורדית - קיבלנו כי לכאורה, הסכום של אינסוף מספרים חיוביים הוא מספר שלילי. על כן אנו מסיקים שההנחה שלנו כי קיים מספר סופי שמתאר את סכום הסדרה היא שגויה.

[עריכה] מתי קיים סכום לסדרה הנדסית אינסופית?

לא תמיד קל לומר אם קיים או לא קיים סכום לסדרה אינסופית כללית. עבור סדרה הנדסית התשובה ידועה: קיים סכום אך ורק כאשר $\ |q|<1$ . לא ניתן להוכיח בצורה מדוייקת טענה זו כאן, אך כדי להצדיקה נתבונן בסכום הכללי של $\ n$ איברים: $\ S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ .

האיבר היחיד בסכום שהולך ומשתנה ככל שסוכמים יותר איברים הוא $\ q^n$ , ולכן במובן מסויים הסכום תלוי בשינויים שעוברים עליו. כאשר $\ |q|<1$ , ככל ש- $\ n$ גדול יותר כך $\ q^n$ קטן יותר (כי בכל פעם מכפילים במספר שקטן מ-1). במקרה שלנו די בכך כדי להבטיח את קיום הסכום. לעומת זאת, אם $\ |q|> 1$ הרי ש- $\ q^n$ רק יגדל עם הזמן, ואם $\ |q|=1$ או שנקבל סדרה "מתנדנדת" (כאשר $\ q=-1$ ) או שלא נוכל להשתמש בנוסחה הכללית (כאשר $\ q=1$ ) אלא בנוסחה $\ S_n=na_1$ שממנה ברור שככל ש- $\ n$ גדל הסכום עובר כל מספר טבעי.

עבור סדרה חשבונית אינסופית הסכום לא קיים אף פעם, בלי תלות בגודל ההפרש של הסדרה, ולכן לא עסקנו בסכומים אינסופיים במקרה של סדרות חשבוניות.

מדוע הסכום שמתקבל כאשר $\ |q|<1$ הוא דווקא $\ \frac{a_1}{1-q}$ ? כזכור, אחרי חיבור $\ n$ איברים הסכום הוא $\ S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ . ככל ש- $\ n$ הולך וגדל, $\ q^n$ הולך ומתקרב אל $\ 0$ . לכן כדי לראות את התוצאה הסופית נציב $\ q^n=0$ בנוסחה ונקבל $\ S=\frac{a_1(0-1)}{q-1}=\frac{a_1}{1-q}$ .

הפרק הקודם:
סדרות חשבוניות

סדרות הנדסיות
תרגילים

הפרק הבא:
סדרות כלליות

[עריכה] סדרות כלליות

סדרות כלליות, כך ניתן להסיק משמן, הן סדרות שאינן סדרה הנדסית או סדרה חשבונית. לרוב, החוקיות תהיה בעזרת סדרת ההפרשים, או סדרת הפרשי ההפרשים. את הסדרות הללו ניתן לפתור בעזרת טכניקה פשוטה ושינון מספר נוסחאות.

[עריכה] הנוסחאות

האיבר הכללי, כלומר $\ a_n$ , הוא פונקציה של $\ n$ , וכך, על ידי הצבה ניתן למצוא את איברי הסדרה.

לדוגמא: נתון האיבר הכללי של סדרה: $\ a_n = n^3+1$ . מצא את שלושת איבריה הראשונים.

דרך פתרון: נציב את $\ n=1$ בנוסחת האיבר הכללי הנתונה.

$\ a_1 = 1^3+1$

$\ a_1 = 1+1$

$\ a_1 = 2$

באופן דומה נמצא גם את שני האיברים הבאים:

$\ a_2 = 2^3+1$

$\ a_2 = 8+1$

$\ a_2 = 9$

$\ a_3 = 3^3+1$

$\ a_3 = 27+1$

$\ a_3 = 28$

נוסחת האיבר הכללי לפי סדרת ההפרשים:

הרבה פעמים אנו מתבקשים למצוא את האיבר הכללי של סדרה כללית, כאשר נתונים מספר איברים מתוכה. בכדי למצוא אותו, אנו צריכים מספר דברים. ראשית את איברה הראשון של הסדרה, ושנית את סכום סדרת ההפרשים. הנוסחא המתבקשת היא: $\ a_n = a_1 + S^*_{n-1}$ , כאשר ה* מסמנת הפרשים.

נקח דוגמא: מצא את האיבר הכללי של הסדרה הבאה: $\ -2, -2, 0, 4, 10, ...$

דרך פתרון: נתבונן בסדרת ההפרשים, שהיא: $\ 0, 2, 4, 6, ...$

אנו רואים שזוהי סדרה חשבונית, שאיברה הראשון ( $\ a_1$ ) הוא 0, והפרשה ( $\ d$ ) הוא 2. נמצא לפי הנוסחא של סכום סדרה חשבונית את סכומה.

תזכורת: הנוסחא לסכום סדרה חשבונית: $\ [2a_1 + (n-1)d] \cdot n \over 2$ $\ S_n =$

נציב את הנתונים שברשותינו בנוסחא:

$[2 \cdot 0 + (n-1) \cdot 2] \cdot n \over 2$ $\ S_n =$

$(n-1) \cdot 2n \over 2$ $\ S_n =$

$\ n^2 - n$ $\ S_n =$

כעת, בכדי למצוא את המבוקש, כלומר, $\ S_{n-1}$ , נציב $\ n-1$ במקום $\ n$ .

$\ S_{n-1}=(n-1)^2 - (n-1)$

$\ S_{n-1} = n^2 -3n +2$

כעת נחזור לסדרה המקורית. איברה הראשון הוא $\ -2$ . נציב בנוסחא למציאת האיבר הכללי:

$\ a_n = -2 + n^2 -3n +2$

$\ a_n = n^2 - 3n$

וזהו, פתרנו את התרגיל.

[עריכה] אינדוקציה מתמטית

אינדוקציה הינה כלי מתמטי. בעזרתה מוכיחים טענה מסוימת או תכונה של קבוצת מספרים. היופי שלה הוא שבליבה נמצא "אפקט הדומינו" - אנחנו מוכיחים טענה עבור מספר כלשהו, $\ k$ (שיכול להיות כל מספר טבעי שהוא), ועבור המספר העוקב שלו, $\ k+1$ . באופן כזה, אנחנו בעצם מראים שהטענה מתקיימת עבור כל המקרים האפשריים, וכך מוכיחים את נכונותה.

הערה חשובה: בפרק הזה נעבוד עם האות עם $\ k$ , למרות שניתן להשתמש בסימונים אחרים, כמו $\ p,m,n$ או כל אות לטינית אחרת.

ידע קודם דרוש: על הקורא להכיר את הנושאים הבאים: פעולות החשבון, סדרות, הצבה בנוסחה ומספר מיומנויות אנליטיות כמו פתרון משוואה ריבועית.

רשימת הנושאים

[עריכה] אינדוקציה של טענה כללית

הוכחה באינדוקציה הינו כלי בעל חשיבות רבה מאוד במתמטיקה. הוא בא לידי ביטוי במקרים רבים שבהם אנו נדרשים להוכיח נכונות של טענות המנוסחות בעזרת מספרים טבעיים. במקרים רבים אלו הדרך הקלה היא שימוש באינדוקציה מתמטית. אינדוקציה היא לא צורת חשיבה אינטואיטיבית למרבית האנשים ולכן יש מקום להסבר קצר. נהוג להסביר אינדוקציה באמצעות מבנה דומינו. כידוע, כאשר מסדרים קוביות דומינו בשורה, הפלה של הקוביה הראשונה גורמת לנפילת הקוביה הבאה וכן הלאה עד אשר כל שאר הקוביות נפלו. עקרון האינדוקציה מזכיר זאת במידה רבה. כל קובית דומינו מפילה את הקוביה שבאה אחריה וזו מפילה את זו שאחריה וכו' ולכן מספיק להפיל את הראשונה ושכל אחת תפיל את הבאה בתור על מנת שלבסוף כל הקוביות יפלו. הבא נתבונן על אינדוקציה בדומינו. נניח שישנה שורה של קוביות דומינו. ידוע שאם קוביה נופלת, היא מפילה את כל השאר. אם זלמן בוחר להפיל את הקוביה הראשונה, אז אנו יודעים (באינדוקציה) שכל שאר הקוביות יפלו (אילו בחר זלמן להפיל את הקוביה השניה, כל הקוביות היו נופלות פרט לראשונה). הפלת הקוביה הראשונה נקראת בסיס האינדוקציה ואילו העובדה שכל קוביה מפילה את הבאה אם היא בעצמה נופלת, היא שלב האינדוקציה. הטענה "קוביה מסויימת נפלה" תקרא הנחת האינדוקציה - כלומר, אנו מניחים שקוביה מסויימת נפלה ובודקים אם זו שבאה אחריה גם תיפול כתוצאה מזה. אם באמת נפילה של קוביה גורמת תמיד לנפילת הקוביה הבאה בתור והקוביה הראשונה נפלה, אז כל הקוביות יפלו. לאחר שהבנו זאת, נתבונן על עקרון ההוכחה באינדוקציה. בהוכחות באינדוקציה, ישנו מבנה קבוע ומוגדר מראש שצריך לעקוב אחריו. מבנה זה עשוי לעזור להבין אינטואיטיבית את ההוכחה, מקל על הבנתה והוא אף הכרחי על מנת שההוכחה תהיה קבילה כהוכחה מתמטית. בהוכחה באינדוקציה אין להשמיט אף אחד מהשלבים הללו. חוסר דיוק בהוכחות באינדוקציה עלול לאפשר לנו "להוכיח" טענות שאינן כלל נכונות או שהן טענות חסרות כל משמעות (כמו למשל הטענה "כל מספר טבעי הוא מעניין").

[עריכה] מבנה ההוכחה באינדוקציה

טענה שניתן להוכיח באינדוקציה היא טענה שתלויה במספר טבעי כלשהו (סימון מקובל במקרה זה - $\;n$ ). לגבי הטענה עלינו להוכיח שהיא מתקיימת לכל מספר טבעי בכלל ולצורך זה יש לבצע את שלושת שלבי ההוכחה באינדוקציה:

שלב א': בסיס האינדוקציה (מפילים את הדומינו הראשון): בדיקת הנוסחה למקרה פרטי (או למקרים פרטיים), שבו רואים את נכונות הטענה עבורו (או עבורם).
שלב ב': הנחת האינדוקציה (מניחים שקוביה מספר $\;n$ נפלה): מניחים שעבור מספר כלשהו - למשל , $\ n=k$ , הטענה נכונה ומנסחים את הטענה עבור אותו מספר.
שלב ג': צעד האינדוקציה (בודקים שהקוביה הבאה נופלת אם הקודמת נפלה): מנסחים את הטענה עבור המספר העוקב $\ n=k+1$ , ומוכיחים אותה. ניתן להעזר בהנחה לצורך ההוכחה, וברוב המקרים היא הכרחית.

לאחר ביצוע כל שלושת השלבים, יש להוסיף את המסקנה ש"על סמך משפט ההוכחה באינדוקציה הטענה נכונה לכל מספר טבעי". ניתן לסיים אותה בכל דרך שתרצו (כמו מ.ש.ל או מש"ל, Q.E.D, שרטוט ריבוע קטן וכולי).

[עריכה] אינדוקציה של טענה כללית

[עריכה] דוגמא

הוכיחו שהביטוי $\ 2n^2+3n-4$ חיובי לכל $\ n$ טבעי.

הוכחה:

שלב א': בסיס האינדוקציה: בדיקה עבור $\ n=1$ (אם בתרגיל עלינו להוכיח שהטענה מתקיימת החל ממספר מסויים $\ p$ , מתחילים את הבדיקה עבור $\ n=p$ ). מציבים במקום $\ n$ בטענה את המספר עבורו בודקים, ולאחר ההצבה מקבלים: $\ 2n^2+3n-4= 2\cdot 1^2+3\cdot 1-4= 2+3-4=1$ שהוא מספר חיובי. כלומר, הטענה נכונה עבור המקרה הפרטי של $\ n=1$ .
שלב ב': הנחת האינדוקציה: אנו מניחים שעבור $\ n=k$ , הביטוי $\ 2k^2+3k-4$ חיובי. על מה מתבססת ההנחה שלנו? - על השלב הקודם, בו הראינו שהטענה נכונה עבור $\ n$ מסויים.
שלב ג: צעד האינדוקציה: עלינו להוכיח, שעבור $\ n=k+1$ מתקיים:
$\ 2(k+1)^2+3(k+1)-4>0$ .

נפתח סוגריים, נפשט את הביטוי ונקבל:

$\ 2(k^2+2k+1)+3(k+1)-4=2k^2+4k+2+3k+3-4=2k^2+7k+1$

כלומר, מספיק להוכיח שהביטוי $\ 2k^2+7k+1$ חיובי לכל $\ k$ טבעי. על מנת להוכיח זאת ניעזר בהנחת האינדוקציה (במקרים אחרים היא הדרך היחידה לפתרון), ונפרק את הביטוי $\ 2k^2+7k+1$ , כך שנקבל את הנחת האינדוקציה ועוד איבר (או איברים). ואז, כל שיוותר לנו הוא להוכיח עבור האיברים הנוספים. נקבל:

$\ 2k^2+7k+1=2k^2+3k+4k-4+5=2k^2+3k-4+4k+5>0$

הביטוי $\ 2k^2+3k-4$ על פי הנחת האינדוקציה הוא חיובי לכל $\ k$ טבעי. והביטוי $\ 4k+5$ הוא חיובי לכל $\ k$ טבעי כי הוא סכום של מספרים חיוביים.
מסקנה: קיבלנו סכום של שני ביטויים חיוביים, שהוא תמיד חיובי, ולכן על פי משפט ההוכחה באינדוקציה הטענה נכונה לכל מספר טבעי.

הפרק הקודם:
סדרות

אינדוקציה של טענה כללית
תרגילים

הפרק הבא:
אינדוקציה על סכומים

[עריכה] תרגילים

נתונות מספר טענות.עליכם "להוכיח" את הטענות הבאות באינדוקציה. בכל סעיף יש להראות את כל שלבי ההוכחה כפי שהוצג בפרק. תרגילים אלו נועדו לתרגל את התחושה של האינדוקציה ורק חלקם הם בעלי ערך מתמטי כלשהו. למרות זאת, מומלץ כן לנסותם.

העוקב של מספר טבעי הופך את הזוגיות (כלומר העוקב של מספר אי זוגי הוא זוגי והעוקב של זוגי הוא אי-זוגי)
שורת אנשים עומדים בתור לסניף הדואר. ידוע שאדם מפיל את תיקו אם האדם שלפניו בתור מפיל את התיק שלו. יש להוכיח כי כל התור יפיל את תיקו אם האדם הראשון יחליט לעשות כך.
בעיית השד (ג'ין): אלאדין מוצא דוכן בו מוכרים מנורת פלאים בבזאר באגרבא. מחיר המנורה הוא $\ n$ . המוכר מזהיר את אלאדין כי אם הוא קונה את מנורת הקסמים הוא אמנם יקבל 3 משאלות, אך יהה עליו למכרה במחיר הקטן מהמחיר שבו הוא קנה אותה. באם לא יעשה כן, יאבד את כל רכושו, ויסבול נצח בגהנום. יש להוכיח כי לא כדאי לקנות את המנורה בכל סכום שהמוכר יציע.(רמז: ברור שלא ניתן לקנות את המנורה אם היא עולה אגורה אחת בלבד).

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/גרסא להדפסה

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

[עריכה] אלגברה תיכונית

[עריכה] הקדמה

[עריכה] איזה ידע קודם נדרש?

טכניקות בסיסיות

אלגברה אלמנטרית

[עריכה] קישורים חיצוניים

[עריכה] חוקי החשבון

[עריכה] המספרים הנייטרליים 0 ו-1

[עריכה] המספר ההופכי והמספר הנגדי

[עריכה] חוקי החילוף של החיבור והכפל

[עריכה] חוק הקיבוץ

[עריכה] חוק הפילוג

[עריכה] הסכם סדר הפעולות

[עריכה] חיבור וחיסור של שברים

[עריכה] תרגילי חזרה על חוקי פעולות החשבון הבסיסיות

[עריכה] שברים

[עריכה] תרגילים

[עריכה] פתרונות

[עריכה] סימון חזקות

[עריכה] משמעות החזקה

[עריכה] חזקה עם מעריך טבעי

[עריכה] פעולות על חזקות

[עריכה] חיבור וחיסור מעריכים בחזקות

[עריכה] חזקה של חזקה

[עריכה] חזקות שאינן חיוביות

[עריכה] חזקות של המעריך 0

[עריכה] חזקות עם מעריך שלילי

[עריכה] סיכום

[עריכה] תרגילים

[עריכה] תשובות סופיות

[עריכה] שורשים פשוטים

[עריכה] שורש ריבועי

[עריכה] שורש מסדר n

[עריכה] חזקות של מספרים רציונליים

[עריכה] שורשים של מספרים שליליים ומעריכים אי-רציונליים

[עריכה] תרגילים

[עריכה] תשובות

[עריכה] טכניקות אלגבריות פשוטות

[עריכה] טכניקות של פישוט

[עריכה] מינימום של פעולות חשבון

[עריכה] צמצום שברים וביטול אברים נגדיים

[עריכה] קו שבר יחיד

[עריכה] כינוס אברים

[עריכה] פתיחת סוגריים

[עריכה] הוצאת גורם מחוץ לסוגריים

[עריכה] דוגמא 1

[עריכה] דוגמא 2

[עריכה] דוגמא 3

[עריכה] נוסחאות הכפל המקוצר

[עריכה] תרגילים בנושא טכניקות של פישוט

[עריכה] רבי איבר

[עריכה] ייצוג של פולינומים

[עריכה] דרגה של פולינום

[עריכה] שורש של פולינום

[עריכה] כפל פולינומים

[עריכה] פירוק טרינום ריבועי לגורמים

[עריכה] תשובות

[עריכה] תשובות

[עריכה] דוגמאות ושימושים נוספים

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] דוגמא לשימוש בנוסחאת כפל מקוצר לצמצום

[עריכה] דוגמא לשימוש בפורוק טרינום בפישוט של שברים

[עריכה] כפל בצמוד

[עריכה] תרגילים נוספים

[עריכה] משוואות

[עריכה] מה היא משוואה

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] סוגי משוואות

[עריכה] תרגילים פשוטים

[עריכה] תשובות

[עריכה] הפעולות המותרות

[עריכה] חיבור או חיסור במספר

[עריכה] כפל במספר שאינו 0

[עריכה] חילוק במספר שאינו 0

[עריכה] הפעולות המותרות - תרגילים

[עריכה] תרגילים

[עריכה] מהי משוואה ריבועית

[עריכה] פתרון על ידי הוצאת שורש

[עריכה] שורש מסדר $n$