חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי לתלמידי תיכון/נגזרות

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

נגזרת היא פעולה שאפשר לבצע על פונקציה ושבאמצעותה אפשר לנתח את התנהגותה של הפונקציה. באמצעות הנגזרת הראשונה אפשר למצוא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה, כמו גם נקודות מינימום ומקסימום. באמצעות הנגזרת השנייה אפשר למצוא את תחומי הקעירות והקמירות של הפונקציה ואת נקודות הפיתול- נקודות המעבר מאיזור קעור לאיזור קמור בגרף או מקמור לקעור.

תוכן עניינים 1 המשמעות הגרפית של נגזרת 2 איך מוצאים נגזרת? 2.1 דוגמאות 2.1.1 שורה 1 2.1.1.1 דוגמה 1.1 2.1.1.2 דוגמה 1.2 2.1.2 שורה 2 2.1.2.1 דוגמה 2.1 2.1.3 שורה 3 2.1.3.1 דוגמה 3.1 2.1.3.2 דוגמה 3.2

[עריכה] המשמעות הגרפית של נגזרת

לכל פונקציה יש גרף.
לכל נקודה בגרף אפשר להעביר משיק. (למעט מקרים מסויימים, מהם נתעלם כרגע).
למשיק הזה יש שיפוע - מספר שתלוי בזוית של המשיק ביחס לצירים (אך אינו תלוי בשום צורה באורך של המשיק!).
השיפוע מחושב בתור הטנגנס של המשולש ישר הזוית, שאותו המשיק הוא היתר שלו.
זאת למעשה ההגדרה של נגזרת - נגזרת בנקודה מסויימת היא השיפוע של המשיק באותה נקודה.

המשמעות של ההגדרה הזו היא שהנגזרת תלויה בנקודה בה מבצעים את הנגזרת, בנקודה שלפניה, ובנקודה שאחריה. במלים אחרות, הנגזרת תלויה בנקודה ובסביבה בה הנקודה נמצאת בגרף. לכן הנגזרת נותנת מידע על תכונות מסויימות של הנקודה והקשר שלה עם הגרף. דוגמאות למידע שהנגזרת יכולה לתת הן האם הנקודה היא הגבוהה ביותר בסביבתה (נגזרת 0), הנמוכה ביותר בסביבתה (נגזרת 0, על מנת לדעת אם היא הגבוהה או הנמוכה יש צורך בפעולות נוספות), יותר גבוהה מהנקודה שקודמת לה אך יותר נמוכה מן הנקודה שאחריה (נגזרת חיובית - נקודה במעלה הגרף), יותר נמוכה מהנקודה שקודמת לה אך יותר גבוהה מן הנקודה שאחריה (נגזרת שלילית - נקודה במורד הגרף) ועוד.

אך בגרף, המשיק הוא תמיד לנקודה ספציפית. זה אומר שכדי לחשב נגזרת נצטרך לחשב את הפונקציה לסידרה של ערכי x, לקבל את ערכי y, לצייר את הגרף, לצייר משיק.... בלאגן. ואם נרצה למצוא נגזרת בנקודה אחרת, זה שוב לעבור את הכל.
בשביל זה המציאו שיטה אלגברית שמאפשרת לנו להגיע לנגזרת של פונקציה בנקודה ספציפית, אם נספק את ערך ה x של אותה נקודה. קיצור דרך מאוד יעיל.
אותה שיטה מייצרת נוסחה, פונקציה חדשה, שתיתן לנו את ערך הנגזרת ישירות מערך של x. אותה נוסחה נקראת "נגזרת של פונקציה", או בקיצור "נגזרת".

אם נתונה לנו הפונקציה f(x) = x², אז הנגזרת שלה היא f(x) = 2x, ומכאן שהשיפוע בנקודה בה x=0 יהיה 0 (כנראה מצאנו נקודה גבוהה או נמוכה!), והשיפוע בנקודה בה x=2 יהיה 4 (במעלה הפונקציה!). כל זה בלי לצייר גרף ובלי להתחיל עם חישובי מיקומים של נקודות.

אבל איך מצאנו שהנגזרת כאן היא 2x?

[עריכה] איך מוצאים נגזרת?

נהוג לקרוא לפונקציה של כך: , ולנגזרת קוראים כך: .

את הנגזרת אפשר למצוא באמצעות שימוש בנוסחאות הבאות (הסימונים מציינים פונקציות של x, ו- מציינים מספרים קבועים)

1
2
3
4
5

[עריכה] דוגמאות

להלן הסברים ומספר דוגמות למציאת הנגזרת של פונקציות שונות באמצעות הנוסחות הנתונות לעיל.

[עריכה] שורה 1

הנוסחה הראשונה מציגה את העקרון הבסיסי של נגזרת אלגברית.
שימו לב שבxⁿ נכללים בין השאר גם x¹ = x וגם x⁰ = 1.

[עריכה] דוגמה 1.1

אם נתונה הפונקציה
אז על פי הנוסחה הראשונה:

[עריכה] דוגמה 1.2

אם נתונה הפונקציה
אנו יודעים ששורש מx אפשר לכתוב גם כחזקה של חצי:

ולכן אפשר להשתמש בנוסחה הראשונה למציאת הנגזרת:

[עריכה] שורה 2

כאשר הפונקציה של x אינה פשוטה, ובעצמה מכילה פונקציות של x, תהליך הגזירה על פי העיקרון הבסיסי הופך למאוד לא נוח. וכשלא נוח עושים טעויות.
כדי שלא יהיו טעויות, ניסחו את הנוסחה השניה, שעוסקת בגזירה כאשר יש כפל של פונקציות פשוטות.

[עריכה] דוגמה 2.1

נתונה הפונקציה
מדובר במכפלה של פונקציות של x. אז נסמן אותן:

ואז נוכל להשתמש בנוסחה השניה:

ועכשיו, כשיש לנו את התשובה, כדאי שנשים לב שלמעשה הפונקציה שלנו היתה
אם נשתמש בנוסחה הראשונה על הביטוי הזה, נגלה שהנוסחה השניה עובדת כמו שצריך.

אז למה הסתבכנו עם הנוסחה השניה אם היינו יכולים להכפיל ולהשתמש בראשונה?
כדי להראות איך משתמשים בנוסחה השניה. לא כל התרגילים כל כך פשוטים שאפשר פשוט לבצע את הכפל, אחרת לא היו ממציאים את הנוסחה השניה.

[עריכה] שורה 3

נוסחה שימושית נוספת היא נגזרת של מנה. חשוב לציין, כי כאשר יש נגזרת של מנה, ובתוכה מכפלה או שורש וכו', הנגזרת של המנה קודמת לנגזרת של המונה או המכנה.

[עריכה] דוגמה 3.1

[עריכה] דוגמה 3.2