חשבון/שבר עשרוני

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

עד כה למדנו על צורה אחת לכתיבת שבר, שבר פשוט; כעת נלמד על צורה שנייה - שבר עשרוני.

השבר העשרוני מתחיל במספר השלם (שיכול להיות 0 במקרה של שבר בין 0 ל-1). מימין למספר השלם באה נקודה עשרונית, ומימין לה בא השבר עצמו, המוצג כמספרים נוספים. המספר הראשון אחרי הנקודה מבטא את מספר העשיריות בשבר, המספר הבא מבטא את מספר המאיות, הבא - את מספר האלפיות, וכן הלאה, עד אינסוף.

נתבונן לדוגמה במספר $\ 25.7347$ . במספר הזה, החלק השלם הוא 25, והשבר הוא שבע עשיריות, שלוש מאיות, ארבע אלפיות ושבע חלקי עשרת אלפים. אם נרצה להציג אותו כשבר פשוט, נקבל $25\frac{7347}{10,000}$ .

דוגמה נוספת היא $\ 0.5$ . מספר זה הוא פשוט חצי - $\frac{1}{2}$ ; ואכן, אחת הצורות להצגת חצי היא $\frac{5}{10}$ , המתאימה לשבר העשרוני.

דוגמה נוספת, $\ -0.625$ , מראה שיש גם שברים עשרוניים שליליים. מספר זה הוא $-\frac{625}{1,000} = -\frac{625 : 125}{1,000: 125} = -\frac{5}{8}$ .

אפסים בסוף השבר העשרוני אינם משפיעים על ערכו ועל כן מקובל להשמיטם.

תוכן עניינים

1 שברים עשרוניים ושברים פשוטים
2 שברים עשרוניים אינסופיים
3 שברים פשוטים מול שברים עשרוניים
4 המרת שברים עשרוניים אינסופיים מחזוריים לשברים פשוטים
5 חיבור וחיסור שברים עשרוניים
6 כפל שברים עשרוניים
7 חילוק שברים עשרוניים

[עריכה] שברים עשרוניים ושברים פשוטים

כפי שכבר ראינו, כדי להמיר שבר עשרוני לשבר פשוט, צריך לחלק את החלק השבור במספר 1 ואחריו אפסים כמספר הספרות שאחרי הנקודה העשרונית, ולהוסיף את החלק השלם. לדוגמה: $3.593 = 3\frac{593}{1,000}$ . מובן שניתן לצמצם לאחר מכן אם צריך.

כדי להמיר שבר פשוט לשבר עשרוני, צריך להרחיב אותו עד שהמכנה שלו יהיה מהצורה של 1 ואחריו מספר כלשהו של אפסים ולהציג אותו בצורה של שבר אמיתי או מספר מעורב. אז יש לכתוב את המונה מימין לנקודה העשרונית (כאשר מספר המקומות אחרי הנקודה שווה למספר האפסים במכנה, וכאשר ספרת היחידות מופיעה במקום האחרון אחרי הנקודה - במידת הצורך ניתן להוסיף אפסים בין הנקודה העשרונית לספרה הראשונה של המונה כדי לעמוד בתנאים אלה), ואת החלק השלם משמאל לה. לדוגמה: $\frac{17}{500} = \frac{17 \times 2}{500 \times 2} = \frac{34}{1,000} = 0.034$ . אם לא ניתן להרחיב את השבר הפשוט לצורה כזו, אי אפשר להציגו כשבר עשרוני סופי - ר' להלן על שברים עשרוניים אינסופיים.

בשתי ההמרות לא משנים את הסימן של המספר, כלומר מספר חיובי נשאר חיובי, ומספר שלילי נשאר שלילי.

[עריכה] שברים עשרוניים אינסופיים

לא בכל השברים העשרוניים יש מספר סופי של ספרות אחרי הנקודה. בחלקם יש מספר אינסופי של ספרות אחרי הנקודה. יוזכר, עם זאת, שמספר הספרות שלפני הנקודה הוא תמיד סופי, גם אם גדול, בכל מספר ומספר.

נתבונן לדוגמה בשבר הפשוט $\frac{1}{3}$ . שבר זה אין דרך להציג כשבר עשרוני עם מספר סופי של ספרות אחרי הנקודות, כי אי אפשר להרחיב אותו כך שהמכנה שלו יהיה מהצורה של 1 ואחריו מספר כלשהו של אפסים. ניתן להציג אותו כשבר עשרוני אינסופי מהצורה הבאה: $\ 0.33333333333...$ . שבר מסוג זה נקרא שבר אינסופי מחזורי, והוא תמיד ניתן להצגה כשבר פשוט. לעיתים המחזור הוא של שתי ספרות: $\frac{1}{11} = 0.0909090909090909...$ , ולעיתים של יותר ספרות, למשל שש ספרות: $\frac{1}{7} = 0.142857142857142857...$ . לעיתים יש לשבר חלק סופי שאחריו בא חלק אינסופי מחזורי, לדוגמה: $\frac{1}{6} = 0.166666666666...$ . את כל השברים האינסופיים המחזוריים ניתן להציג כשברים פשוטים, ולכן גם הם מספרים רציונליים.

ישנם גם שברים עשרונים אינסופיים שאינם מחזוריים. שברים אלה מייצגים מספרים כמו פאי, שאינם ניתנים לייצוג כשברים פשוטים. מספרים אלה נקראים מספרים אי-רציונליים.

לסיכום, שברים עשרוניים סופיים ואינסופיים מחזוריים הם רציונליים; שברים עשרוניים אינסופיים שאינם מחזוריים הם אי-רציונליים.

[עריכה] שברים פשוטים מול שברים עשרוניים

לעיתים עולה השאלה האם כדאי לייצג מספרים שאינם שלמים באמצעות שברים פשוטים או באמצעות שברים עשרוניים. התשובה אינה פשוטה ותלויה בתנאי הבעיה המתמטית.

היתרונות של השברים העשרוניים:

לא דרוש בשבילם סימון מיוחד מעבר לנקודה העשרונית. יתרון זה חיוני במיוחד למחשבים ולמחשבונים, ועל כן הם בדרך כלל בשימוש שם במקום השברים הפשוטים.
הסימון הדומה לסימון הרגיל של המספרים, והמקל על השוואה בין השברים.
הספרות ערוכות בסדר חשיבות פוחת: ככל שהספרות רחוקות יותר מהנקודה העשרונית, הן חשובות פחות ומשנות פחות את המספר. כאשר הדיוק פחות חשוב, ניתן להשמיט ספרות אלה, ולרוב ניתן להסתפק בייצוג עם שתיים או שלוש ספרות לאחר הנקודה; עם זאת, לא כדאי לעשות זאת כשעוסקים בחשבון בפני עצמו.
המספרים העשרוניים הם היחידים שיכולים לייצג (גם אם בייצוג שאינו מדויק לחלוטין) מספרים אי-רציונליים, כגון פאי שהוזכר בפיסקה הקודמת; מספרים אלה כוללים אינסוף ספרות אחרי הנקודה העשרונית ואינם מחזוריים, ולפי הגדרתם, אינם ניתנים להצגה כשבר פשוט.

היתרונות של השברים הפשוטים:

ניתן לייצג באמצעותם בפשטות כל מספר רציונלי, בלי להסתבך בייצוגים עם אינסוף ספרות (הגם שמחזוריים).
קל מאוד לשמור על הדיוק המתמטי ואין סיבה להשמיט ספרות לאחר הנקודה.
ייצוג קצר, פשוט ואינטואיטיבי: השוו את $\frac{1}{16}$ עם $\ 0.0625$ (שניהם מייצגים את אותו המספר).

בעיקרו של דבר, מומלץ לבחור בשברים הפשוטים כאשר מבקשים לייצג במדויק מספרים שכשברים עשרוניים יהיו אינסופיים ומחזוריים, ואין ברירה אלא לבחור בשברים העשרוניים כדי לייצג מספרים אי-רציונליים (אלא אם מסמנים אותם באותיות, דוגמת $\ \pi$ - פאי). במספרים אחרים, זה בעיקר עניין של טעם אישי.

[עריכה] המרת שברים עשרוניים אינסופיים מחזוריים לשברים פשוטים

כאמור, שברים עשרוניים אינסופיים מחזוריים ניתנים להמרה לשברים פשוטים, באופן הבא:

אם לשבר יש רק חלק מחזורי, לדוגמה 0.6363636363, יש לחלק את החלק המחזורי במספר בעל אותו מספר ספרות שכולן 9. במקרה זה החלק המחזורי הוא 63, ועל כן השבר הינו $\frac{63}{99}$ וניתן לצמצם אותו ל- $\frac{7}{11}$ .
אם לשבר יש חלק סופי ואחריו חלק מחזורי, לדוגמה 0.13592592592, יש לחבר שני שברים: החלק הסופי (13) שיומר לשבר פשוט באופן הרגיל ( $\frac{13}{100}$ ), והחלק המחזורי (592), שמחלקים אותו במספר הכולל ספרות שכולן 9 באורך החלק המחזורי, ואחריהן ספרות שכולן 0 באורך החלק הסופי. כלומר: $\frac{13}{100} + \frac{592}{99900}$ . ניתן לצמצם שבר זה ל- $\frac{13579}{99900}$ .

[עריכה] חיבור וחיסור שברים עשרוניים

חיבור וחיסור שברים עשרוניים דומה לחיבור וחיסור מספרים שלמים. כאשר הוא מבוצע במאונך, הכלל החשוב ביותר הוא למקם את שתי הנקודות העשרוניות זו מעל זו (כאשר גם הנקודה העשרונית בתוצאה תישאר באותה נקודה). במילים אחרות, צריך תמיד לחבר/לחסר את ספרת העשיריות לספרת העשיריות, את ספרת המאיות לספרת המאיות, וכיוצא בזה.

לדוגמה:

  1
 23.53
+
  4.9
 --
 28.43

 23.53
-
  4.9
 --
 18.63

[עריכה] כפל שברים עשרוניים

כפל שברים עשרוניים מבוצע בדרך הבאה: ראשית, מבצעים את הכפל תוך התעלמות מהנקודות העשרוניות, ושנית, בוחרים את המיקום בו מוסיפים את הנקודה העשרונית - בוחרים מקום שמפריד בין מספר ספרות אחרונות, ימניות, לשאר הספרות, השמאליות. מספר הספרות שמימין לנקודה העשרונית בתוצאה שווה לסכום של מספרי הספרות שמימין לנקודה העשרונית בשני המספרים הראשונים. ניתן, כמובן, להסיר אחר כך אפסים מסוף המספר.

לדוגמה: $1.5 \times 3.35 = 5.025$ .

[עריכה] חילוק שברים עשרוניים

בעת חלוקת שברים עשרוניים, רצוי לשנות את המספרים כך שלא תופיע בהם עוד נקודה עשרונית. כיוון שניתן לראות כל תרגיל חילוק כשבר פשוט, ניתן לומר שבעת חלוקת שברים עשרוניים יש להרחיב את השבר באמצעות הכפלה ב-10, 100 או מספר מתאים דומה כך שלא תהיה עוד נקודה עשרונית באף אחד מהשברים. (כאשר מכפילים מספר ב-10, למעשה מזיזים את הנקודה העשרונית מיקום אחד ימינה, וכאשר מחלקים ב-10 מזיזים אותה מיקום אחד שמאלה; כמו כן, כאשר מכפילים/מחלקים ב-100 מזיזים אותה שני מיקומים, וכן הלאה.) כאשר מקבלים את התוצאה, ניתן להפוך אותה חזרה לשבר עשרוני.

לדוגמה: $\frac{0.35}{0.5} = \frac{35}{50} = \frac{7}{10} = 0.7$ .

הפרק הקודם:
שבר פשוט

שבר עשרוני

-

חשבון/שבר עשרוני

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

[עריכה] שברים עשרוניים ושברים פשוטים

[עריכה] שברים עשרוניים אינסופיים

[עריכה] שברים פשוטים מול שברים עשרוניים

[עריכה] המרת שברים עשרוניים אינסופיים מחזוריים לשברים פשוטים

[עריכה] חיבור וחיסור שברים עשרוניים

[עריכה] כפל שברים עשרוניים

[עריכה] חילוק שברים עשרוניים

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא