הסתברות/iid

מתוך ויקיספר
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
סדרת משתנים מקריים בלתי תלויים ומפולגים זהה

אוסף של משתנים מקריים אשר לכל אחד מהם פונקצית הסתברות זהה, והם בלתי-תלויים, נקרא "סדרת משתנים מקריים בלתי תלויים ומפולגים זהה" - בתמ"ז (iid - independent and identically distributed).

כאשר מניחים שתצפית כלשהי היא סדרת מ"מ בתמ"ז, הטיפול המתמטי פשוט יותר, אך במקרים רבים הנחה זו אינה מציאותית.

אם למשל נגדיר את Xi בתור תוצאת הרולטה ה-i-ית, מבחינה מעשית Xi הם בתמ"ז, כי בכל סיבוב הסיכוי של כל מספר הוא זהה, ואין שום תלות בתוצאה שהתקבלה בכל הניסויים הקודמים.


הגדרה:

לכל \ 0\le i\le n נגדיר: \ \mathbb{E}X_i=\mu\ ,\ VarX_i=\sigma^2 ונניח שהם קיימים וסופיים.

סכום של מ"מ בתמ"ז[עריכה]

הגדרה: סכום מ"מ בתמ"ז

\ S_n= X_1+X_2+ ...+ X_n

הסכום הנ"ל הוא למעשה קונבולוציה n פעמים.

  1. התוחלת של Sn:
    מלינאריות התוחלת: \ \mathbb{E}S_n= \mathbb{E}\sum\limits_{i=1}^n X_i= \sum\limits_{i=1}^n \mathbb{E}X_i= n\mu
  2. השונות של Sn:
    עקב אי-תלות: \ Var(S_n)= Var\left( \sum\limits_{i=1}^n X_i \right)= \sum\limits_{i=1}^n Var(X_i)= n\sigma^2
  3. התוחלת של הממוצע \ {S_n\over n}:
    מלינאריות התוחלת: \ \mathbb{E}{S_n\over n}= {\mathbb{E}S_n\over n}= {n\mu\over n}= \mu
  4. השונות של הממוצע \ {S_n\over n}:
    עקב אי-תלות: \ Var\left({S_n\over n}\right)= {Var(S_n)\over n^2}= {n\sigma^2\over n^2}= {\sigma^2\over n}

שימו לב כי ככל ש-n גדל, השונות הולכת וקטנה פי n אך μ נשאר אותו הדבר. במילים אחרות, עבור n-ים גדולים, הממוצע רגיש פחות ופחות לשינויים.

דוגמאות[עריכה]

  • הפילוג המעריכי מהווה קירוב טוב לזמן חיים של נורה. אם \ X_i\sim Exp(\lambda) הוא זמן החיים של הנורה ה-i-ית, אז \ S_n\sim \Gamma(n,\lambda) הוא התפלגות זמן החיים של n הנורות הראשונות.

(להשלים: עוד דוגמאות)

קישורים חיצוניים[עריכה]


- iid -