הסתברות/תוחלת

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוחלת משמעה ממוצע, או ליתר דיוק מרכז הכובד (ולא: מרכז השטח או מרכז הנפח, כי הממוצע משוקלל לפי "צפיפות" ה"מסה"). התוחלת מגדירה את הממוצע במקרה שהיינו חוזרים על הניסוי אינסוף פעמים. לדוגמא בהטלת קוביה פעם אחת הממוצע יהיה אחת מהאפשרויות {1,2,3,4,5,6} אבל התוחלת היא 3.5 שזה יהיה הממוצע בהטלת אינסוף קוביות.

תוכן עניינים

1 תוחלת של משתנה מקרי בדיד
- 1.1 דוגמאות
2 תוחלת של משתנה מקרי רציף
- 2.1 דוגמאות
3 תוחלת של משתנה מקרי מעורב
- 3.1 דוגמאות
4 תוחלת של משתנה מקרי מורכב
- 4.1 הוכחה
- 4.2 דוגמאות
5 תכונות
6 קישורים חיצוניים

[עריכה] תוחלת של משתנה מקרי בדיד

הגדרה: תוחלת מ"מ בדיד

אם X מ"מ המקבל ערכים x_n בהסתברות p_n, אז התוחלת שווה ל- $\ \mathbb{E}X= \sum\limits_{n=1}^{\infty}p_nx_n$ , בתנאי שהטור מתכנס במידה שווה.

כלומר התוחלת היא ממוצע הערכים שמקבל המ"מ, כאשר הוא משוקלל לפי ההסתברות של כל תוצאה אפשרית.

[עריכה] דוגמאות

מ"מ גאומטרי: $\ X\sim Geom(p)$

$\ \mathbb{E}X= \sum\limits_{n=1}^{\infty} pq^{n-1}n= p\sum\limits_{n=1}^{\infty}nq^{n-1}= p\left( \sum\limits_{n=0}^{\infty}q^n \right)'= p\left({1\over 1-q}\right)'= p{1\over (1-q)^2}= {1\over p}$

מ"מ בינומי: $\ Y\sim Bin(n,p)$

$\ \mathbb{E}Y= \sum\limits_{k=0}^n {n\choose k}p^kq^{n-k}k= p\left( \sum\limits_{k=0}^n {n\choose k}p^kq^{n-k} \right)'= p((p+q)^n)'= np(p+q)^{n-1}= np$

מ"מ פואסוני: $\ Z\sim Pois(\lambda)$

$\ \mathbb{E}Z= \sum\limits_{n=0}^{\infty} e^{-\lambda} {\lambda^n\over n!}n= e^{-\lambda}\lambda\sum\limits_{n=1}^{\infty} {\lambda^{n-1}\over (n-1)!}= e^{-\lambda}\lambda e^{\lambda}= \lambda$

[עריכה] תוחלת של משתנה מקרי רציף

הגדרה: תוחלת מ"מ רציף

אם למ"מ רציף X יש צפיפות f_X, אז התוחלת שלו היא $\ \mathbb{E}X= \int\limits_{-\infty}^{\infty}xf_X(x)dx$ בתנאי שהאינטגרל מתכנס בהחלט, כלומר: $\ \int\limits_{-\infty}^{\infty}|x|f_X(x)dx<\infty$ .

[עריכה] דוגמאות

מ"מ אחיד: $\ X\sim U[a,b]$

$\ \mathbb{E}X= \int\limits_a^b x{1\over b-a}dx= {a+b\over 2}$

מ"מ מעריכי: $\ Y\sim Exp(\lambda)$

$\ \mathbb{E}Y= \int\limits_0^{\infty} x\lambda e^{-\lambda x}dx= {1\over\lambda}$

מ"מ גאוסי תקני: $\ Z\sim N(0,1)$

$\ \mathbb{E}Z= \int\limits_{-\infty}^{\infty} {x\over\sqrt{2\pi}}e^{-{x^2\over 2}}dx=0$ - בעקבות הסימטריות סביב 0. בדומה, התוחלת של גאוסי כללי הינה μ.

מ"מ W בעל פונקית צפיפות סימטרית סביב a:

$\ \mathbb{E}W=a$

[עריכה] תוחלת של משתנה מקרי מעורב

משפט: תוחלת של מ"מ מעורב

אם Y הוא משתנה בדיד ו-Z הוא משתנה רציף אז התוחלת של המ"מ המעורב X היא: $\ \mathbb{E}X=p\mathbb{E}Y+ (1-p)\mathbb{E}Z$ , כאשר פונקציות ההתפלגות מקיימות $\ F_X(x)= pF_Y(x)+(1-p)F_Z(x)$ .

[עריכה] דוגמאות

(להשלים)

[עריכה] תוחלת של משתנה מקרי מורכב

משפט: תוחלת של מ"מ מורכב

יהי X מ"מ בעל צפיפות f_X ותהי $\ Y=h(X)$ טרנספורמציה רציפה למקוטעין. אז התוחלת של Y נתונה על ידי: $\ \mathbb{E}h(X)= \int\limits_{-\infty}^{\infty}h(X)f_X(x)dx$ . במקרה הבדיד נבצע סכימה במקום אינטגרציה, ובמקרה המעורב נבצע סכימה על הצפיפות הבדידה ואינטגרציה על הצפיפות הרציפה.