הסתברות/שונות

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< הסתברות

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

השונות (Variance) היא מדד לפיזור התוצאות של מ"מ סביב התוחלת שלו. ככל שהשונות יותר קטנה, כך התוצאות מרוכזות יותר סביב התוחלת.

הגדרה: שונות

יהי X מ"מ. השונות של X מוגדרת על ידי: $\ Var X= \sigma_x^2= \mathbb{E}(X-\mathbb{E}X)^2= \mathbb{E}(X-\mu_x)^2$ , והיא קיימת כאשר המומנט השני קיים וסופי.

הגדרה זו מעניקה חשיבות רבה יותר עבור סטיות גדולות, מכיוון שהקשר הינו ריבועי. למעשה, ניתן לכנות את השונות כ"סטייה ריבועית מינימלית ממרכז הכובד".

על מנת שהשונות תקבל משמעות מעשית, מגדירים את סטיית התקן (SD - Standard Deviation):

הגדרה: סטיית תקן

יהי X מ"מ. סטיית התקן שלו מוגדרת על ידי: $\ stddev X= \sigma_x= \sqrt{VarX}$ .

כך, סטיית התקן היא באותן יחידות של X.

תוכן עניינים

1 תכונות
2 דוגמאות

[עריכה] תכונות

$\ \mathbb{E}(X-a)^2= \mathbb{E}(X-\mu)^2+ (\mu-a)^2$
$\ VarX= \mathbb{E}X^2-(\mathbb{E}X)^2= m_2-m_1^2$
אם X מ"מ מנוון המקבל את הערך x₀ בהסתברות 1, אז $\ VarX=0$ .
הזזה לא משפיעה על השונות: $\ Var(X+x_0)=Var(X)$
עבור קבוע a כלשהו: $\ Var (aX)=a^2VarX$ . בדומה, $\ \sigma_{aX}= |a|\sigma_X$ .

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] שונות של משתנה גאומטרי

יהי $\ X\sim Geom(p)\ ,\ \mathbb{E}X={1\over p}$ אז:

$\ VarX= \mathbb{E}X^2-(\mathbb{E}X)^2= \mathbb{E}X(X-1)+ \mathbb{E}X- (\mathbb{E}X)^2$

נחשב בנפרד את $\ \mathbb{E}X(X-1)$ :

$\ \mathbb{E}X(X-1)= \sum\limits_{k=1}^{\infty} k(k-1)pq^{k-1}= pq\sum\limits_{k=2}^{\infty}k(k-1)q^{k-2}= pq\left( \sum\limits_{k=0}^{\infty}q^k \right)''=$

$\ =pq\left({1\over 1-q}\right)''= pq\left({2\over (1-q)^3}\right)= {2q\over p^2}$

כעת נחבר ונקבל:

$\ VarX= {2q\over p^2}+ {1\over p}- {1\over p^2}= {q\over p^2}$

[עריכה] שונות של משתנה בינומי

יהי $\ X\sim Bin(n,p)\ ,\ \mathbb{E}X=np$ אז:

$\ \mathbb{E}X^2= \sum\limits_{k=0}^n k^2{n\choose k} p^kq^{n-k}= p^2 \sum\limits_{k=0}^n k(k-1){n\choose k}p^{k-2}q^{n-k}+ p\sum\limits_{k=0}^n k{n\choose k}p^{k-1}q^{n-k }=$

$\ =p^2\left(\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}p^kq^{n-k}\right)''+ p\left(\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}p^kq^{n-k}\right)'=$

$\ =\quad p^2[(p+q)^n]''\qquad+\qquad p[(p+q)^n]'\quad=$

$\ =p^2n(n-1)+pn= p^2n^2-p^2n+ pn= p^2n^2+npq$

שימו לב כי ניתן להציב p+q=1 רק לאחר שביצענו את הגזירה. השונות, אם כן, היא:

$\ VarX=\mathbb{E}X^2-(\mathbb{E}X)^2= p^2n^2+npq- (np)^2=npq$

[עריכה] שונות של משתנה פואסוני

יהי $\ x\sim Pois(\lambda)\ ,\ \mathbb{E}X=\lambda$ אז:

$\ VarX=\mathbb{E}X^2-(\mathbb{E}X)^2= \lambda^2+\lambda-\lambda^2= \lambda$

[עריכה] שונות של משתנה אחיד

יהי $\ X\sim U[0,1]\ ,\ \mathbb{E}X={1\over 2}$ אז:

$\ VarX= \mathbb{E}X^2- (\mathbb{E}X)^2= \int\limits_0^1x^2dx- \left({1\over 2}\right)^2= {1\over 3}-{1\over 4}= {1\over 12}$

[עריכה] הרחבה

יהי $\ X\sim U[a,b]\ ,\ \mathbb{E}X={a+b\over 2}$ אז:

$\ VarX= \mathbb{E}X^2-(\mathbb{E}X)^2= \int\limits_a^b x^2 {x-a\over b-a}dx- \left({a+b\over 2}\right)^2=...= {(b-a)^2\over 12}$

דרך אחרת: נגדיר מ"מ חדש: $\ Z={X-a\over b-a}\sim U[0,1]$ . ונשתמש בתכונת ההזזה של השונות:

$\ Var(Z)={1\over 12}= Var\left({X-a\over b-a}\right)= {1\over (b-a)^2}Var(X-a)= {1\over (b-a)^2}Var(X)$

ולכן: $\ VarX={(b-a)^2\over 12}$ .

[עריכה] שונות של משתנה מעריכי

יהי $\ X\sim Exp(\lambda)\ ,\ \mathbb{E}X={1\over\lambda}$ אז:

מחדו"א ידוע: $\ \mathbb{E}X^2= \int\limits_0^{\infty} x^2\lambda e^{-\lambda x}dx= {2\over\lambda^2}$ ,

ולכן: $\ VarX= \mathbb{E}X^2- (\mathbb{E}X)^2= {2\over\lambda^2}- {1\over\lambda^2}= {1\over\lambda^2}$

[עריכה] שונות של משתנה נורמלי

יהי $\ X\sim N(0,1)\ ,\ \mathbb{E}X=0$ אז:

$\ VarX= \mathbb{E}X^2-(\mathbb{E}X)^2= m_2-0^2=1$

שימו לב כי הצפיפות הגאוסית מוגדרת כך שהפרמטר הראשון הוא התוחלת, והשני הוא השונות, ולכן ברור רק מהסתכלות ש- $\ VarX=1$ .

[עריכה] שונות של משתנה גאוסי כללי

יהי $\ X\sim N(\mu,\sigma^2)$ אז:

נגדיר מ"מ חדש: $\ Z= {X-\mu\over\sigma}\sim N(0,1)$ . אז:

$\ Var(X)= Var(\sigma Z +\mu)= \sigma^2Var(Z)= \sigma^2$

שימו לב כי הצפיפות הגאוסית מוגדרת כך שהפרמטר הראשון הוא התוחלת, והשני הוא השונות, ולכן ברור רק מהסתכלות ש- $\ VarX=\sigma^2$ .

מקור: http://he.wikibooks.org/wiki/%D7%94%D7%A1%D7%AA%D7%91%D7%A8%D7%95%D7%AA/%D7%A9%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%AA

קטגוריה: הסתברות

צפיות

כלים אישיים

חיפוש

תיבת כלים