הסתברות/פונקציה יוצרת מומנטים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< הסתברות

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הגדרה: פונקציה יוצרת מומנטים

עבור מ"מ X, הפונקציה יוצרת המומנטים שלו היא $\ M_X(s)= \mathbb{E}e^{sX}$ והיא מוגדרת כאשר התוחלת קיימת, כך שעבור מ"מ רציף נקבל $\ M_X(s)= \int\limits_{-\infty}^\infty e^{sx}f_X(x)dx$ .

שימו לב כי הפונקציה יוצרת המומנטים היא התמרת לפלאס של הצפיפות.

[עריכה] תכונות

$\ M_X(0)=1$
אם M גזירה k פעמים בסביבת s=0 וב-s=0 עצמה אז: $\ M_X^{(k)}(0)=\mathbb{E}X^k$ .

[עריכה] דוגמה

יהי X מ"מ. מהו X אם ידוע כי קיימת סביבה $\ -\delta<s<\delta$ עבורה הפונקציה יוצרת המומנטים לינארית?

פתרון: נניח כי $\ M_X(s)=as+b$ באותה סביבה. אז:

$\ M_X(0)=1\ \Rightarrow\ b=1$

$\ \mathbb{E}X=M_X'(0)=a$

$\ \mathbb{E}X^2=M_X''(0)=0$

כעת ניזכר כי השונות חייבת להיות חיובית ואז:

$\ 0\le VarX=\mathbb{E}X^2-(\mathbb{E}X)^2=-a^2\ \Rightarrow\ a=0\ \Rightarrow\ VarX=0$

כלומר קיבלנו שהשונות היא אפס (כלומר מדובר במשתנה מקרי מנוון) והתוחלת היא אפס, לכן X מקבל ערך יחיד (0) בהסתברות 1.

מקור: http://he.wikibooks.org/wiki/%D7%94%D7%A1%D7%AA%D7%91%D7%A8%D7%95%D7%AA/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%99%D7%95%D7%A6%D7%A8%D7%AA_%D7%9E%D7%95%D7%9E%D7%A0%D7%98%D7%99%D7%9D

קטגוריה: הסתברות

צפיות

כלים אישיים

חיפוש

תיבת כלים