הסתברות/ניסויי ברנולי

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

ניסוי ברנולי הוא הכללה של הטלת מטבע. כאן הסיכוי לקבלת עץ או פלי אינו שווה. במקום להגדיר "עץ" ו"פלי", נהוג להגדיר "הצלחה" ו"כישלון", כך שההסתברות להצלחה היא p וההסתברות לכישלון היא q=1-p, ותוצאה של ניסוי בו מטילים מטבע n פעמים (ובאופן בלתי תלוי כמובן) היא מילה בינארית באורך n.

מספר דוגמאות עבור ערכי p,q אפשריים

תוכן עניינים

[עריכה] הסיכוי למספר הצלחות

נניח כי אנו מעוניינים בהסתברות לקבלת k "הצלחות" כעבור n זריקות (נקרא למאורע זה Ak). במקרה זה ישנם n-k כשלונות.



משפט: ניסוי ברנולי (k הצלחות)

\ \mathbb{P}(A_k)={n \choose k}p^kq^{n-k}.


וזה בדיוק משתנה מקרי בינומי.

[עריכה] דוגמה

(להשלים)

[עריכה] הסיכוי לתוצאה ספציפית

ננחי כי אנו מעוניינים בהסתברות לקבלת מילה בינארית ספציפית כלשהי (נקרא למאורע זה A).



משפט: ניסוי ברנולי (סידור ספציפי)

\ \mathbb{P}(A)=p^kq^{n-k}


.

[עריכה] דוגמה

(להשלים)

[עריכה] הסיכוי למקסימום הצלחות

נניח כי אנו מעוניינים בהסתברות לקבלת k הצלחות לכל היותר כעבור n זריקות (נקרא למאורע זה \ A_{\le k}).



משפט: ניסוי ברנולי (מקסימום הצלחות)

\ \mathbb{P}(A_{\le k})=\sum\limits_{i=0}^k {n \choose i}p^iq^{n-i}.



[עריכה] דוגמה

(להשלים)

[עריכה] הסיכוי למינימום הצלחות

נניח כי אנו מעוניינים בהסתברות לקבלת k הצלחות לפחות כעבור n זריקות (נקרא למאורע זה \ A_{\ge k}).



משפט: ניסוי ברנולי (מינימום הצלחות)

\ \mathbb{P}(A_{\ge k})=\sum\limits_{i=k}^n {n \choose i}p^iq^{n-i}.



[עריכה] דוגמה

(להשלים)

[עריכה] הסיכוי להצלחה ראשונה בניסוי ה-n

Geometrical distribution diagram.png

נניח כי אנו מעוניינים בהסתברות לקבלת הצלחה ראשונה בניסוי מספר n (נקרא למאורע זה \ A_{p(n)}). במקרה זה ישנם n-1 כשלונות רצופים.



משפט: ניסוי ברנולי (הצלחה ראשונה)

\ \mathbb{P}(A_{p(n)})=pq^{n-1}.


וזהו בדיוק משתנה מקרי גאומטרי.

[עריכה] דוגמה

(להשלים)

[עריכה] הסיכוי להצלחה אחת ב-n ניסויים לכל היותר

נניח כי אנו מעוניינים לקבל הצלחה בודדת כעבור n ניסויים או פחות (נקרא למאורע זה \ A_{p_1(n)}). מקרה זה הוא האיחוד \ A_{p_1(n)}= \bigcup_{k=1}^n A_{p(n)} ואז:

\ \mathbb{P}(A_{p_1(n)})= \sum_{k=1}^n pq^{k-1}

שימו לב כי עבור מספר ניסיונות אינסופי (\ n\to\infty),ובהנחה שכמובן p!=0 ההצלחה ודאית: \ \sum_{k=1}^\infty pq^{k-1}={p\over 1-q}=1.

[עריכה] דוגמה

(להשלים)

[עריכה] ראו גם


מקור: http://he.wikibooks.org/wiki/%D7%94%D7%A1%D7%AA%D7%91%D7%A8%D7%95%D7%AA/%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%95%D7%99%D7%99_%D7%91%D7%A8%D7%A0%D7%95%D7%9C%D7%99