הסתברות/נוסחת ההסתברות השלמה

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

נוסחת ההסתברות השלמה (נקראת גם: ההסתברות הכוללת) היא יישום עקרון ההסתברות המותנית: כאשר מדובר בניסוי דו-שלבי וההסתברות של השלב השני תלויה בתוצאת השלב הראשון, אז:

משפט: הסתברות שלמה

יהיו A,B מאורעות, ונניח ש-B מחולק לתת-מאורעות כך שמתקיים $\ B=\bigcup_i B_i$ .
אז $\ \mathbb{P}(A\cap B)=\sum_i \mathbb{P}(A|B_i)\mathbb{P}(B_i)$ .

[עריכה] הוכחה

ע"פ הגדרת ההסתברות המותנית: $\mathbb{P}(A|B_i)={\mathbb{P}(A\cap B_i)\over \mathbb{P}(B_i)}$ .
לכן: $\sum_i \mathbb{P}(A|B_i)\mathbb{P}(B_i) = \sum_i \mathbb{P}(A \cap B_i)=\mathbb{P}(A\cap B)$ . מש"ל.

נשים לב כי כאשר $\ B=\Omega$ אז $\ A\cap B=A$ כי $\ \mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(A|B)\mathbb{P}(B)+ \mathbb{P}(A|B^c)\mathbb{P}(B^c)$ ובמקרה זה ההסתברות הכוללת $\ \mathbb{P}(A)$ היא הממוצע המשוקלל של ההסתברויות המותנות $\ \mathbb{P}(A|B_i)$ במשקלים $\ \mathbb{P}(B_i)$ :

משפט: הסתברות שלמה (B=Ω)

$\ \mathbb{P}(A)=\sum_i \mathbb{P}(A|B_i)\mathbb{P}(B_i)$ .

[עריכה] דוגמה

מתוך חפיסת קלפים, שבה 52 קלפים (26 אדומים ו-26 שחורים), מוציאים שני קלפים. מהי ההסתברות שהקלף השני שחור?

נסמן ב-B₁ את המאורע שבו הקלף הראשון הוא שחור. בדומה נסמן את המאורעות B₂, R₁, R₂.

משיקולי סימטריה: הסיכוי להוציא בפעם השניה קלף שחור זהה לסיכוי להוציא בפעם השנייה קלף אדום. כלומר: $\ \mathbb{P}(B_2)=\mathbb{P}(R_2)$ . כמו כן, על פי עקרון המשלים: $\ \mathbb{P}(B_2)+\mathbb{P}(R_2)=1$ . מכאן נובע ש- $\ \mathbb{P}(B_2)=\mathbb{P}(R_2)= 0.5$ .
פתרון מתמטי: אם הקלף הראשון הוא שחור, אז נשארו למשיכה השנייה 25 קלפים שחורים (מתוך 51 קלפים סה"כ), ואם הקלף הראשון הוא אדום, אז נשארו למשיכה השנייה 26 קלפים שחורים (מתוך 51 קלפים סה"כ). כלומר:

$\ \mathbb{P}(B_2)= \mathbb{P}(B_2|B_1)\mathbb{P}(B_1)+ \mathbb{P}(B_2|R_1)\mathbb{P}(R_1)= {25\over 51}{26\over 52}+ {26\over 51}{26\over 52}= {1\over 2}$

שימו לב כי במקרה זה, B^c=R.

הרחבה: גם כעבור n משיכות ההסתברות תישאר $\ \mathbb{P}(B_n)={1\over 2}$ , ובדומה, ההסתברות לקבל "אס" תישאר 1/13.

הסתברות/נוסחת ההסתברות השלמה

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

[עריכה] הוכחה

[עריכה] דוגמה

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא