הסתברות/משתנים מקריים רציפים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תוכן עניינים

[עריכה] מ"מ אחיד רציף

אחיד: \ X\sim U(a,b)
פונקצית התפלגות
Uniform distribution CDF.png
פונקצית צפיפות
Uniform distribution PDF.png
פרמטרים a,b \in (-\infty,\infty)
תומך a \le x \le b
פונקצית התפלגות \ \begin{cases} 0\ ,\ x<a \\ \frac{x-a}{b-a}\ ,\ x\in [a,b] \\ 1\ ,\ x\ge b \end{cases}
פונקצית צפיפות \ \begin{cases} \frac{1}{b-a}\ ,\ x\in [a,b] \\ 0\ ,\ x<a,x>b \end{cases}
תוחלת \frac{a+b}{2}
חציון \ {a+b\over 2}
שונות \frac{(b-a)^2}{12}
פונקציה יוצרת מומנטים \frac{e^{sb}-e^{sa}}{s(b-a)}
פונקציה אופיינית \frac{e^{isb}-e^{isa}}{is(b-a)}


שימו לב כי ההסתברות לבחור נקודה מסויימת בתחום היא אפס כי מרחב המדגם אינסופי. כאן יש משמעות רק לתחומים.

[עריכה] דוגמאות

  • אם קפיצה משולשת של קופץ למרחק מתפלגת (ביום טוב) באחידות בין 16 ל-19 מטרים, מהי ההסתברות של אותו קופץ לשבור את שיא העולם הנוכחי, אשר עומד על 18.29 מ'?
\ \mathbb{P}(X\ge 18.29)= 1- \mathbb{P}(X\le 18.29)=
\ =1-\int\limits_a^{18.29} f(x)dx=

(כאן נוח יותר להשתמש בפונקצית התפלגות:)

\ =1-F(18.29)= 1-{18.29-16\over 19-16}\approx 0.2367

שימו לב כי בדוגמה לא-מציאותית זו, הקופץ ישיג לפחות 16 מטרים, בכל מקרה שלא יהיה.

[עריכה] הערה: סימולציה של מ"מ

המחשב מסוגל לייצר מספרים "פסאודו-אקראיים", אשר ההתפלגות שלהם אחידה בלבד. אם אנו מעוניינים להפוך את סדרת המספרים האלו לבעלי התפלגות אחרת, קיים משפט בחדו"א (המתבסס על הפיכות, חד-ערכיות ועל) אשר מבטיח קיומה של פונקצית טרנספורמציה מתאימה:



משפט: סימולציה של מ"מ

יהי X מ"מ בעל פילוג אחיד \ X\sim U[a,b]. אם רוצים לקבל מ"מ Y בעל התפלגות FY על ידי הטרנספורמציה \ Y=h(X), אז FY חייבת להיות מונוטונית עולה ממש בתומך שלה.



הוכחה: נגדיר את המ"מ \ Z=h(X). ניקח \ h=F_Y^{-1}, ונראה ש- \ F_Y=F_Z:
\ F_Z(y)= \mathbb{P}(Z\le y)= \mathbb{P}(h(X)\le y)= \mathbb{P}(X\le h^{-1}(y))= \mathbb{P}(X\le F_Y(y))= F_Y(y)

כאשר השיוויונים התאפשרו בזכות ההפיכות של FY.

[עריכה] מ"מ מעריכי

מעריכי: \ X\sim Exp(\lambda)
פונקצית התפלגות
Exponential distribution cdf.png
פונקצית צפיפות
Exponential distribution pdf.png
פרמטרים \ \lambda > 0
תומך \ x \in [0,\infty)
פונקצית התפלגות \ 1 - e^{-\lambda x}
פונקצית צפיפות \ \lambda e^{-\lambda x}
תוחלת \ 1\over\lambda
חציון \ \ln 2\over\lambda
שונות \ 1\over\lambda^2
פונקציה יוצרת מומנטים \ \left(1 - \frac{s}{\lambda}\right)^{-1}
פונקציה אופיינית \ \left(1 - \frac{is}{\lambda}\right)^{-1}


מ"מ מעריכי הוא קירוב טוב לזמן חיים כגון חומרים רדיואקטיביים ומערכות אלקטרוניות, כאשר λ נקרא קצב הדעיכה.

[עריכה] תכונות

  • חוסר זיכרון: \ \mathbb{P}(X>t+s|X>t)\ =\ {\mathbb{P}(X>t+s)\over\mathbb{P}(X>t)}\ =

\ =\ {e^{-\lambda(t+s)}\over e^{-\lambda t}}\ =\ e^{-\lambda s}\ =\ \mathbb{P}(X>s)

  • מומנטים: \ m_k={k!\over\lambda^k}

[עריכה] דוגמאות

  • אם קפיצה משולשת של קופץ למרחק מתפלגת (ביום רע) מעריכית עם פרמטר 3, מהי ההסתברות של אותו קופץ לשבור את שיא העולם הנוכחי, אשר עומד על 18.29 מ'?
שימו לב כי משתנה מעריכי מוגדר עבור x>0 ולכן בניגוד לדוגמה הקודמת, לקופץ יש סיכוי "לפשל" כבר בתחילת הקפיצה.
\ \mathbb{P}(X\ge 18.29)= 1- \mathbb{P}(X\le 18.29)=
\ =1-\int\limits_0^{18.29} f(x)dx=

(כאן נוח יותר להשתמש בפונקצית התפלגות:)

\ =1-F(18.29)= e^{-3\cdot 18.29}\approx 1.48\cdot 10^{-24}

התוצאה לא מפליאה כי רוב ההסתברות מוענקת לערכים הקרובים לאפס. אם למשל היינו יותר אופטימיים לגבי הקופץ ומעריכים שההתפלגות בעלת פרמטר 0.1 היינו מקבלים (באמצעות חישוב זהה) סיכוי של בערך 0.16, כלומר סיכוי של 16%.

[עריכה] התפלגות נורמלית

נורמלי: \ X\sim N(\mu,\sigma^2)
פונקצית התפלגות
Normal distribution cdf.png
פונקצית צפיפות
Normal distribution pdf.png
פרמטרים \ \mu; \sigma^2 > 0
תומך \ x \in (-\infty,+\infty)
פונקצית התפלגות \ \int\limits_{-\infty}^x {1\over\sqrt{2\pi}} e^{-{x^2\over 2}}
פונקצית צפיפות \ \frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right)
תוחלת \ \mu
חציון \ \mu
שונות \ \sigma^2
פונקציה יוצרת מומנטים \ \exp\left(\mu\,s+\frac{\sigma^2 s^2}{2}\right)
פונקציה אופיינית \ \exp\left(\mu\,i\,s-\frac{\sigma^2 s^2}{2}\right)


נקראת גם התפלגות גאוסית.

אם \ X\sim N(0,1) אז X נקרא מ"מ בעל התפלגות נורמלית תקנית (או: גאוסית תקנית).

מכיוון שלא ניתן לחשב אנליטית את האינטגרל המסויים של \ e^{-x^2}, קיימות טבלאות לערכים מסויימים של x.

סטיית התקן σ מציינת את חצי רוחב הפעמון אשר מוגדר כמרחק האופקי בין השיא לבין אחת מנקודות הפיתול.

[עריכה] תכונות

  • עבור גאוסי תקני:
  • \ \mathbb{P}(a<X<b)= \Phi(b)-\Phi(a)
  • סימטריה: \ \Phi(-x)= 1-\Phi(x)
  • נוסחת התקנון עבור גאוסי כללי: נגדיר \ Z\sim N(0,1) ואז:
\ \mathbb{P}(a<X<b)= \mathbb{P}\left( {a-\mu\over\sigma}<Z<{b-\mu\over\sigma}\right)=
\ =\Phi\left({b-\mu\over\sigma}\right)- \Phi\left({a-\mu\over\sigma} \right)

[עריכה] דוגמאות

  • אם קפיצה משולשת של קופץ למרחק מתפלגת (ביום בינוני) גאוסית עם תוחלת של 17 מ' ושונות 0.5 מ', מהי ההסתברות של אותו קופץ לשבור את שיא העולם הנוכחי, אשר עומד על 18.29 מ'?
שימו לב כי משתנה גאוסי מוגדר על כל הישר, אך מאחר והתוחלת רחוקה מאפס, נזניח את צפיפות ההסתברות המצטברת בתחום \ (-\infty,0). כאן, בניגוד לשתי הדוגמאות הקודמות, לקופץ יש סיכוי שווה לסטות הצידה מ-17 מ'.
\ \mathbb{P}(X>18.29)= \int\limits_{18.29}^\infty f(x)dx=

(כאן לא ניתן לחשב את האינטגרל על פונקצית הצפיפות:)

\ =\Phi\left(Z>{18.29-17\over 0.5}\right)= 1-\Phi(2.58)\approx 0.0049

שימו לב כי כל ההערכות כאן להסתברויות של תוצאות קפיצה הן שרירותיות למטרות הדוגמאות ואינן מתבססות על שום מחקר.

[עריכה] ראו גם

פעמון גאוס תקני
  • חישוב ערכי Φ:
University of New Brunswick
Australian National University
ויקיפדיה ערך בוויקיפדיה: התפלגות נורמלית

[עריכה] התפלגות קושי

קושי
פונקצית התפלגות
Cauchy distribution cdf.png
פונקצית צפיפות
Cauchy distribution pdf.png
פרמטרים \ x_0,\ \gamma > 0
תומך \ x \in (-\infty,\infty)
פונקצית התפלגות \ \frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2}
פונקצית צפיפות \ \frac{1}{\pi\gamma\,\left[1 + \left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]}
תוחלת לא קיימת
חציון \ x_0
שונות -
פונקציה יוצרת מומנטים -
פונקציה אופיינית \ \exp(x_0\,i\,t-\gamma\,|t|)


צפיפות קושי הסטנדרטית היא \ f_X(x)={\pi^{-1}\over 1+x^2} והיא סימטרית, אבל התוחלת אינה אפס אלא אינה קיימת כי האינטגרל מתבדר:

\ \int\limits_0^{\infty}x{\pi^{-1}\over 1+x^2}dx= \left[ {1\over 2\pi}\ln(1+x^2)\right]_0^{\infty}= \infty

[עריכה] ראו גם


מקור: http://he.wikibooks.org/wiki/%D7%94%D7%A1%D7%AA%D7%91%D7%A8%D7%95%D7%AA/%D7%9E%D7%A9%D7%AA%D7%A0%D7%99%D7%9D_%D7%9E%D7%A7%D7%A8%D7%99%D7%99%D7%9D_%D7%A8%D7%A6%D7%99%D7%A4%D7%99%D7%9D