הסתברות/משתנים מקריים בדידים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תוכן עניינים

[עריכה] מ"מ בינומי

בינומי: \ X\sim Bin(n,p)
פונקצית התפלגות
-
פונקצית צפיפות
Binomial Distribution.svg
פרמטרים \ n\ge 0\ ,\ 0\le p\le 1
תומך \ k\in {0,1,...n}
פונקצית התפלגות -
פונקצית צפיפות \ \mathbb{P}_X(x)= {n\choose x}p^xq^{n-x}
תוחלת \ np
חציון אחד מ: \{\lfloor np\rfloor-1, \lfloor np\rfloor, \lfloor np\rfloor+1\}
שונות \ npq
פונקציה יוצרת מומנטים \ (1-p + pe^t)^n
פונקציה אופיינית \ (1-p + pe^{it})^n


מספר ההצלחות בזריקת p-מטבע n פעמים, באופן ב"ת. עבור p=0.5 נקבל את השורה ה-n-ית במשולש פסקל.

התפלגות בינומית בעלת מדגם גדול מספיק, ניתן לקרב להתפלגות נורמלית (גאוסית).

[עריכה] דוגמה

(להשלים)

[עריכה] מ"מ גאומטרי

גאומטרי: \ X\sim Geom(p)
פונקצית התפלגות
-
פונקצית צפיפות
-
פרמטרים \ 0<p\le 1
תומך \ k\in {0,1,...\infty}
פונקצית התפלגות \ 1-q^k
פונקצית צפיפות \ \mathbb{P}_X(k)= pq^{k-1}
תוחלת \ 1\over p
חציון \ 1\over p
שונות \ q\over p^2
פונקציה יוצרת מומנטים \ \frac{pe^s}{1-(1-p) e^s}
פונקציה אופיינית \ \frac{1-q}{1-qe^{is}}


מספר ההטלה שבה מתקבלת ההצלחה הראשונה, כאשר זורקים p-מטבע באופן ב"ת אינסוף פעמים.

[עריכה] חוסר זיכרון

המשתנה המקרי בגאומטרי הוא המ"מ הבדיד היחיד עם תכונת חוסר הזכרון:

\ \mathbb{P}(x>n+k|x>n)= {\mathbb{P}(x>n+k)\over \mathbb{P}(x>n)}= {q^{n+k}\over q^n}= q^k= \mathbb{P}(x>k)

[עריכה] דוגמה

(להשלים)

[עריכה] מ"מ פואסוני

פואסוני: \ X\sim Pois(\lambda)
פונקצית התפלגות
Poisson distribution CMF.png
פונקצית צפיפות
Poisson distribution PMF.png
פרמטרים \ \lambda\in (0,\infty)
תומך \ k\in \{0,1,...n\}
פונקצית התפלגות \frac{\Gamma(k+1, \lambda)}{k!}\!
פונקצית צפיפות \ \mathbb{P}_X(x)= {\lambda^k\over k!}e^{-\lambda}
תוחלת \ \lambda
חציון
שונות \ \lambda
פונקציה יוצרת מומנטים \ e^{\lambda (e^s-1)}
פונקציה אופיינית \ e^{\lambda (e^{is}-1)}


מספר מופעים בקטעים ב"ת (בדומה ל-n הטלות מטבע).

[עריכה] תכונות

  • פואסוני הוא קירוב לבינומי עבור n-ים גדולים ו-p קטנים:
\ \mathbb{P}(x=k)\simeq{n\choose k}\left({\lambda\over n}\right)^k \left(1-{\lambda\over n}\right)^{n-k}=...= {\lambda^k\over k!}e^{-\lambda}
  • קיים יחס בין שני איברים עוקבים:
\ {\mathbb{P}_X(k+1)\over \mathbb{P}_X(k)}={\lambda\over k+1}
  • הרכבה של משתנה בינומי ופואסוני הוא משתנה פואסוני חדש:



משפט:

יהי \ X\sim Pois(\lambda),\ Y\sim Bin(X,p) אז \ Y\sim Pois(\lambda p).



[עריכה] דוגמאות

  • מספר האלקטרונים הנפלטים בפרק זמן כלשהו מקתודה, מהווה בקירוב טוב מ"מ פואסוני. נגדיר את X כמספר האלקטרונים הנפלטים במשך שעה בעל התפלגות פואסונית עם פרמטר λ=3.
  • מהי ההסתברות שבמשך שעה נפלט אלקטרון אחד בלבד? נשתמש בהגדרת פונקצית ההסתברות הפואסונית:
\ \mathbb{P}(X=k)=e^{-3}{3^k\over k!}\ \Rightarrow\ \mathbb{P}(X=1)=3e^{-3}\approx 0.15
  • מהי ההסתברות שבמשך שעה נפלט לפחות אלקטרון אחד? נשתמש בשיטת המשלים:
\ \mathbb{P}(X\ge 1)= 1-\mathbb{P}(X<1)= 1-\mathbb{P}(X=0)= 1-e^{-3}= {e^3-1\over e^3}\approx 0.95
  • מהי ההסתברות שבמשך שעה נפלטו לכל היותר 2 אלקטרונים? זהו סכום של מאורעות זרים:
\ \mathbb{P}(X\le 2)= \sum\limits_{k=0}^2 \mathbb{P}(X=k)= e^{-3}\left({3^0\over 0!}+ {3^1\over 1!}+ {3^2\over 2!}\right)= {17\over 2e^3}\approx 0.42

[עריכה] מ"מ בינומי שלילי

בינומי שלילי: \ X\sim B(p,r)
פונקצית התפלגות
-
פונקצית צפיפות
-
פרמטרים \ r>0\ ,\ p\in(0,1)
תומך \ k\in \{0,1,...\infty\}
פונקצית התפלגות  ?
פונקצית צפיפות \ {k+r-1\choose k}p^rq^k=
\ ={-r\choose k}p^r(-q)^k
תוחלת \ \frac{rq}{p}
חציון
שונות \ r\frac{q}{p^2}
פונקציה יוצרת מומנטים \ \left(\frac{p}{1-q e^s}\right)^r
פונקציה אופיינית \ \left(\frac{p}{1-q e^{is}}\right)^r


ההסתברות להצלחה ה-r-ית לאחר k כשלונות בזריקת p-מטבע אינסוף פעמים. X הוא מספר הכשלונות לפני הצלחה מספר r, כאשר ההצלחה האחרונה בהחלט היא בניסוי האחרון.

[עריכה] דוגמה

(להשלים)

[עריכה] מ"מ פסקל

כאשר r הוא מספר שלם, הפילוג הבינומי-שלילי נקרא "התפלגות פסקל" ומשמעותה מספר הניסויים הדרושים עד להצלחה מספר r.

\ X\sim Pasc(p,r)

[עריכה] תכונות

  • אם Y הוא בינומי שלילי עם פרמטרים p,r אז X=Y+r.
  • אם X=Y+a אז \ \mathbb{P}_X(k)=\mathbb{P}_Y(k-a).
  • \ Pasc(1,p)=Geom(p)

[עריכה] דוגמה

(להשלים)

[עריכה] דוגמאות מסכמות

  • מודל לגלאי אלקטרונים: אם מספר האלקטרונים X הנפלטים מקתודה בשעה הוא מ"מ פואסוני עם פרמטר λ=3, וההסתברות של אלקטרונים אלו להגיע לגלאי היא p=0.75, מהי ההסתברות שמבין האלקטרונים שנפלטו בשעה, לפחות אחד יגיע לגלאי?
פתרון: כפי שראינו בדוגמה לעיל, \ X\sim Pois(3), ולכן \ \mathbb{P}(X=n)=e^{-3}{3^n\over n!}. נגדיר את מספר הפגיעות בלוח בתור H. שימו לב כי H מייצג את מספר ההצלחות מתוך n נסויי ברנולי, ולכן \ H\sim Bin(n,p). לשם הנוחות נסמן q=0.25. נחשב בשלבים:
\ \mathbb{P}(H\ge 1|X=n)= 1-\mathbb{P}(H=0|X=n)= 1-\left.{n\choose k}p^kq^{n-k}\right|_{k=0}= 1-q^n
כעת, בעזרת נוסחת ההסתברות השלמה נחשב את ההסתברות המבוקשת:
\ \mathbb{P}(H\ge 1)= \sum\limits_{n=0}^{\infty} \mathbb{P}(H\ge 1|X=n)\mathbb{P}(X=n)= \sum\limits_{n=0}^{\infty} (1-q^n)e^{-3}{3^n\over n!}=
\ =\sum\limits_{n=0}^{\infty}e^{-3}{3^n\over n!}- e^{-3}\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(3q)^n\over n!}= 1-e^{-3}e^{3q}=1-e^{-2.25}\approx 0.89

מקור: http://he.wikibooks.org/wiki/%D7%94%D7%A1%D7%AA%D7%91%D7%A8%D7%95%D7%AA/%D7%9E%D7%A9%D7%AA%D7%A0%D7%99%D7%9D_%D7%9E%D7%A7%D7%A8%D7%99%D7%99%D7%9D_%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%99%D7%9D