הסתברות/משפט הגבול המרכזי

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
פילוג בינומי וגאוסי

משפט הגבול המרכזי אומר שאם נקח סדרת מ"מ בתמ"ז, אז כעבור n קונבולוציות נקבל התפלגות שקרובה להתפלגות גאוסית.

המתמטיקאי אברהם דה-מואבר הציג את ההתפלגות הנורמלית לראשונה בשנת 1733 כקירוב להתפלגות הבינומית עבור מספר גדול של דגימות. יש לשים לב לדקות הבאה: בעוד שפונקצית ההתפלגות של מ"מ בינומי דומה להתפלגות הגאוסית, כאן מדובר במספר רב של מ"מ בינומיים, אשר מתפלגים יחד התפלגות גאוסית.

מקרה פרטי[עריכה]

משפט: הגבול המרכזי (עבור μ=0)

תהי {Xi} סדרת מ"מ בתמ"ז בעלי תוחלת μ=0 ושונות σ2 אז \ \lim\limits_{n\to\infty} \mathbb{P}\left({S_n\over \sigma\sqrt{n}}\le x\right)= \Phi(x).

במילים אחרות, \ {S_n\over\sqrt{n}} \to N(0,\sigma^2) בהתפלגות.

שימו לב כי:

  • \ \mathbb{E}{S_n\over\sigma\sqrt{n}}=0
  • \ Var \left({S_n\over\sigma\sqrt{n}}\right)= {Var(S_n)\over n\sigma^2}={n\sigma^2\over n\sigma^2}=1

הוכחה[עריכה]

נגדיר מ"מ חדשים: \ \tilde{X}_i={X_i\over\sigma}, כך שמתקיים: \ \mathbb{E}\tilde{X}_i=0\ ,\ Var\tilde{X}_i=1. על מנת להראות התכנסות להתפלגות הגאוסית נראה כי הפונקיות האופייניות זהות, כלומר ש: \ \phi_{S_n\over\sqrt{n}} \to e^{-{s^2\over 2}}:

\ \phi_{S_n\over\sqrt{n}}(s)\ =\ \phi_{S_n}\left({s\over\sqrt{n}}\right)\ =\ \prod\limits_{i=1}^n \phi_{\tilde{X}_i}\left({s\over\sqrt{n}}\right)\ =\ \left[\phi_{\tilde{X}_1}\left( {s\over\sqrt{n}} \right)\right]^n

כעת נפתח לטור טיילור עם שלושה איברים מובילים (בהמשך נלך לגבול ושאר האיברים יפלו ממילא):

\ \begin{array}{lcl}
\phi(0) & = & 1 \\
\phi'(0) & = & i\mathbb{E}\tilde{X}_i\ =\ 0 \\
\phi''(0) & = & i^2\mathbb{E}\tilde{X}_i^2\ =\ -1 \\
\phi(s) & = & 1-{s^2\over 2}+ R_3
\end{array}

נציב ונקבל:

\ \left[\phi_{\tilde{X}_1}\left( {s\over\sqrt{n}} \right)\right]^n= \left( 1-{s^2\over 2n}+ {R_3\over\sqrt{n}} \right)^n= \left( 1+{-{s^2\over 2}+R_3\sqrt{n}\over n} \right)^n \to \left(1+{-{s^2\over 2}\over n}\right)^n \to e^{-{s^2\over 2}}

כלומר קיבלנו שלסדרת המ"מ בתמ"ז שלנו יש אותה פונקציה אופיינית כמו לפילוג הגאוסי, ולכן פונקציות ההסתברות שלהן זהות.

מקרה כללי[עריכה]

משפט: הגבול המרכזי (כללי)

תהי {Xi} סדרת מ"מ בתמ"ז בעלי תוחלת μ ושונות σ2 אז \ \lim\limits_{n\to\infty} \mathbb{P}\left({S_n-n\mu\over \sigma\sqrt{n}}\le x\right)= \Phi(x).

במילים אחרות, \ {S_n-n\mu\over\sqrt{n}}\to N(0,\sigma^2) בהתפלגות.

שוב,

  • \ \mathbb{E}{S_n-n\mu\over\sigma\sqrt{n}}=0
  • \ Var \left({S_n-n\mu\over\sigma\sqrt{n}}\right)=1

הוכחה[עריכה]

נתקן את המ"מ לבעלי תוחלת 0 ונשתמש במקרה הפרטי: נגדיר \ \hat{X}_i=X_i-\mu כך שמתקיים \ \mathbb{E}\hat{X}_i=0\ ,\ Var\hat{X}_i=\sigma^2. על פי המקרה הפרטי מתקיים:

\ \lim\limits_{n\to\infty} \mathbb{P}\left( {\hat{S}_n\over\sigma\sqrt{n}}\le x \right)= \Phi(x)

אבל:

\ \lim\limits_{n\to\infty} \mathbb{P}\left( {\hat{S}_n\over\sigma\sqrt{n}}\le x \right)= \lim\limits_{n\to\infty} \mathbb{P}\left( {S_n-n\mu\over\sigma\sqrt{n}}\le x \right)\ \Rightarrow\ \lim\limits_{n\to\infty} \mathbb{P}\left(S_n\le\overbrace{n\mu+x\sigma\sqrt{n}}^{\hat{x}}\right)= \Phi(x)

ולכן:

\ \lim\limits_{n\to\infty} \mathbb{P}(S_n\le\hat{x})= \Phi\left({\hat{x}-n\mu\over \sigma\sqrt{n}}\right)

סיכום[עריכה]

אם S הוא סכום מ"מ בתמ"ז, אז הוא בקירוב מתפלג גאוסית עם התוחלת והשונות המקוריים שלו: \ S\sim N(\mathbb{E}S,VarS). בפירוט רב יותר:

\ \begin{array}{lcl}
{S_n-n\mu\over\sqrt{n}} & \to & N(0,\sigma^2) \\
S_n-n\mu & \to & N(0,n\sigma^2) \\
S_n & \to & N(n\mu,n\sigma^2) \\
\end{array}

ואז:

\ \begin{array}{lcl}
\mathbb{P}\left({S_n-n\mu\over\sigma\sqrt{n}}\le x\right) & \approx & \Phi(x) \\
\mathbb{P}\left(S_n\le n\mu +\sigma\sqrt{n}x\right) & \approx & \Phi(x) \\
\mathbb{P}(S_n\le \hat{x}) & \approx & \Phi\left( {\hat{x}-n\mu\over \sigma\sqrt{n}} \right) \\
\end{array}

כאשר מגדירים:

\ \hat{x}= n\mu +\sigma\sqrt{n}x \quad,\quad x={\hat{x}-n\mu\over\sigma\sqrt{n}}

לרוב המקרים, הנוסחה השימושית היא זו האחרונה, ועבור קטע היא מקבלת את הצורה:

\mathbb{P}(a\le S_n\le b) \approx \Phi\left( {b-n\mu\over \sigma\sqrt{n}} \right)- \Phi\left( {a-n\mu\over \sigma\sqrt{n}} \right)

דוגמאות[עריכה]

(להשלים)

קישורים חיצוניים[עריכה]


- משפט הגבול המרכזי -