הסתברות/משפט הגבול המרכזי

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

פילוג בינומי וגאוסי

משפט הגבול המרכזי אומר שאם נקח סדרת מ"מ בתמ"ז, אז כעבור n קונבולוציות נקבל התפלגות שקרובה להתפלגות גאוסית.

המתמטיקאי אברהם דה-מואבר הציג את ההתפלגות הנורמלית לראשונה בשנת 1733 כקירוב להתפלגות הבינומית עבור מספר גדול של דגימות. יש לשים לב לדקות הבאה: בעוד שפונקצית ההתפלגות של מ"מ בינומי דומה להתפלגות הגאוסית, כאן מדובר במספר רב של מ"מ בינומיים, אשר מתפלגים יחד התפלגות גאוסית.

[עריכה] מקרה פרטי

משפט: הגבול המרכזי (עבור μ=0)

תהי {X_i} סדרת מ"מ בתמ"ז בעלי תוחלת μ=0 ושונות σ² אז $\ \lim\limits_{n\to\infty} \mathbb{P}\left({S_n\over \sigma\sqrt{n}}\le x\right)= \Phi(x)$ .

במילים אחרות, $\ {S_n\over\sqrt{n}} \to N(0,\sigma^2)$ בהתפלגות.

שימו לב כי:

$\ \mathbb{E}{S_n\over\sigma\sqrt{n}}=0$
$\ Var \left({S_n\over\sigma\sqrt{n}}\right)= {Var(S_n)\over n\sigma^2}={n\sigma^2\over n\sigma^2}=1$

[עריכה] הוכחה

נגדיר מ"מ חדשים: $\ \tilde{X}_i={X_i\over\sigma}$ , כך שמתקיים: $\ \mathbb{E}\tilde{X}_i=0\ ,\ Var\tilde{X}_i=1$ . על מנת להראות התכנסות להתפלגות הגאוסית נראה כי הפונקיות האופייניות זהות, כלומר ש: $\ \phi_{S_n\over\sqrt{n}} \to e^{-{s^2\over 2}}$ :

$\ \phi_{S_n\over\sqrt{n}}(s)\ =\ \phi_{S_n}\left({s\over\sqrt{n}}\right)\ =\ \prod\limits_{i=1}^n \phi_{\tilde{X}_i}\left({s\over\sqrt{n}}\right)\ =\ \left[\phi_{\tilde{X}_1}\left( {s\over\sqrt{n}} \right)\right]^n$

כעת נפתח לטור טיילור עם שלושה איברים מובילים (בהמשך נלך לגבול ושאר האיברים יפלו ממילא):

$\ \begin{array}{lcl} \phi(0) & = & 1 \\ \phi'(0) & = & i\mathbb{E}\tilde{X}_i\ =\ 0 \\ \phi''(0) & = & i^2\mathbb{E}\tilde{X}_i^2\ =\ -1 \\ \phi(s) & = & 1-{s^2\over 2}+ R_3 \end{array}$

נציב ונקבל:

$\ \left[\phi_{\tilde{X}_1}\left( {s\over\sqrt{n}} \right)\right]^n= \left( 1-{s^2\over 2n}+ {R_3\over\sqrt{n}} \right)^n= \left( 1+{-{s^2\over 2}+R_3\sqrt{n}\over n} \right)^n \to \left(1+{-{s^2\over 2}\over n}\right)^n \to e^{-{s^2\over 2}}$

כלומר קיבלנו שלסדרת המ"מ בתמ"ז שלנו יש אותה פונקציה אופיינית כמו לפילוג הגאוסי, ולכן פונקציות ההסתברות שלהן זהות.

[עריכה] מקרה כללי

משפט: הגבול המרכזי (כללי)

תהי {X_i} סדרת מ"מ בתמ"ז בעלי תוחלת μ ושונות σ² אז $\ \lim\limits_{n\to\infty} \mathbb{P}\left({S_n-n\mu\over \sigma\sqrt{n}}\le x\right)= \Phi(x)$ .

במילים אחרות, $\ {S_n-n\mu\over\sqrt{n}}\to N(0,\sigma^2)$ בהתפלגות.

שוב,

$\ \mathbb{E}{S_n-n\mu\over\sigma\sqrt{n}}=0$
$\ Var \left({S_n-n\mu\over\sigma\sqrt{n}}\right)=1$

[עריכה] הוכחה

נתקן את המ"מ לבעלי תוחלת 0 ונשתמש במקרה הפרטי: נגדיר $\ \hat{X}_i=X_i-\mu$ כך שמתקיים $\ \mathbb{E}\hat{X}_i=0\ ,\ Var\hat{X}_i=\sigma^2$ . על פי המקרה הפרטי מתקיים:

$\ \lim\limits_{n\to\infty} \mathbb{P}\left( {\hat{S}_n\over\sigma\sqrt{n}}\le x \right)= \Phi(x)$

אבל:

$\ \lim\limits_{n\to\infty} \mathbb{P}\left( {\hat{S}_n\over\sigma\sqrt{n}}\le x \right)= \lim\limits_{n\to\infty} \mathbb{P}\left( {S_n-n\mu\over\sigma\sqrt{n}}\le x \right)\ \Rightarrow\ \lim\limits_{n\to\infty} \mathbb{P}\left(S_n\le\overbrace{n\mu+x\sigma\sqrt{n}}^{\hat{x}}\right)= \Phi(x)$

ולכן:

$\ \lim\limits_{n\to\infty} \mathbb{P}(S_n\le\hat{x})= \Phi\left({\hat{x}-n\mu\over \sigma\sqrt{n}}\right)$

[עריכה] סיכום

אם S הוא סכום מ"מ בתמ"ז, אז הוא בקירוב מתפלג גאוסית עם התוחלת והשונות המקוריים שלו: $\ S\sim N(\mathbb{E}S,VarS)$ . בפירוט רב יותר:

$\ \begin{array}{lcl} {S_n-n\mu\over\sqrt{n}} & \to & N(0,\sigma^2) \\ S_n-n\mu & \to & N(0,n\sigma^2) \\ S_n & \to & N(n\mu,n\sigma^2) \\ \end{array}$

ואז:

$\ \begin{array}{lcl} \mathbb{P}\left({S_n-n\mu\over\sigma\sqrt{n}}\le x\right) & \approx & \Phi(x) \\ \mathbb{P}\left(S_n\le n\mu +\sigma\sqrt{n}x\right) & \approx & \Phi(x) \\ \mathbb{P}(S_n\le \hat{x}) & \approx & \Phi\left( {\hat{x}-n\mu\over \sigma\sqrt{n}} \right) \\ \end{array}$

כאשר מגדירים:

$\ \hat{x}= n\mu +\sigma\sqrt{n}x \quad,\quad x={\hat{x}-n\mu\over\sigma\sqrt{n}}$

לרוב המקרים, הנוסחה השימושית היא זו האחרונה, ועבור קטע היא מקבלת את הצורה:

$\mathbb{P}(a\le S_n\le b) \approx \Phi\left( {b-n\mu\over \sigma\sqrt{n}} \right)- \Phi\left( {a-n\mu\over \sigma\sqrt{n}} \right)$

[עריכה] דוגמאות

(להשלים)

[עריכה] קישורים חיצוניים

ערך בוויקיפדיה: משפט הגבול המרכזי

הסתברות/משפט הגבול המרכזי

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

[עריכה] מקרה פרטי

[עריכה] הוכחה

[עריכה] מקרה כללי

[עריכה] הוכחה

[עריכה] סיכום

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] קישורים חיצוניים

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא