הסתברות/התפלגויות וקטוריות

גאמה: $\ X\sim \Gamma(r,\lambda)$
	פונקצית התפלגות;
	פונקצית צפיפות;
פרמטרים
תומך
פונקצית התפלגות
פונקצית צפיפות
תוחלת
חציון	{{{חציון}}}
שונות
פונקציה יוצרת מומנטים
פונקציה אופיינית

ריילי: $\ R\sim Rayleigh(r)$
	פונקצית התפלגות;
	פונקצית צפיפות;
פרמטרים	-
תומך
פונקצית התפלגות
פונקצית צפיפות
תוחלת
חציון	{{{חציון}}}
שונות
פונקציה יוצרת מומנטים	?
פונקציה אופיינית	?

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< הסתברות

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תוכן עניינים

1 התפלגות ריילי
- 1.1 דוגמה
2 סכום מ"מ כקונבולוציה
- 2.1 דוגמה: מ"מ בדיד
- 2.2 דוגמה: מ"מ רציף
3 התפלגות גאמה
- 3.1 תכונות
- 3.2 דוגמה
4 התפלגות מולטינומית
- 4.1 דוגמה

[עריכה] התפלגות ריילי

אם במשולש ישר זווית שני הניצב הם מ"מ גאוסים תקניים אז R הוא היתר.

יהיו $\ X,Y\sim N(0,1)$ מ"מ בלתי תלויים. נחשב את ההתפלגות של $\ R=\sqrt{X^2+Y^2}$ :

$\ \mathbb{P}(R\le r)= \iint\limits_{X^2+Y^2\le r^2} {1\over\sqrt{2\pi}} e^{-{x^2\over 2}} {1\over\sqrt{2\pi}} e^{-{y^2\over 2}}dxdy=$

$\ {1\over 2\pi} \int\limits_0^{2\pi} \int_0^r e^{-{\rho^2\over 2}}\rho d\rho d\theta=1-e^{-{r^2\over 2}}$

את פונקציית הצפיפות ניתן לקבל על ידי גזירה.

[עריכה] דוגמה

(להשלים)

[עריכה] סכום מ"מ כקונבולוציה

נניח כי נתונים שני מ"מ X₁, X₂ בלתי תלויים ואנו מעוניינים למצוא את פונקצית הצפיפות של הסכום. נחשב את פונקצית ההתפלגות שלהם (אינטגרל על $\ A={x_1+x_2\le x}$ ):

$\ F_X(x)=\mathbb{P}(X_1+X_2\le x)= \int\limits_{-\infty}^\infty \int\limits_{-\infty}^{x-x_1} f_{X_1}(x_1)f_{X_2}(x_2)dx_2dx_1$

על מנת לקבל את פונקצית הצפיפות נגזור את הביטוי שהתקבל:

$\ f_X(x)=\int\limits_{-\infty}^\infty f_{X_1}(x_1)f_{X_2}(x-x_1)dx_1$

קיבלנו, אם כן, כי הצפיפות היא קונבולוציה של הצפיפויות. לסיכום:

משפט: סכום מ"מ כקונבולוציה

עבור שני מ"מ רציפים $\ X=X_1+X_2$ בלתי תלויים מתקיים: $\ f_{X_1+X_2}=f_{X_1}*f_{X_2}$
ובמקרה הבדיד: $\ p_{X_1+X_2}(n)= \sum\limits_{i=-\infty}^\infty p_{X_1}(i)p_{X_2}(n-i)$ .

[עריכה] דוגמה: מ"מ בדיד

נחשב סכום עבור המשתנים $\ X_1\sim Pois(\lambda_1)\ ,\ X_2\sim Pois(\lambda_2)$ :

$\ \mathbb{P}(X_1+X_2=n)= \sum\limits_{i=0}^n \mathbb{P}(X_1=i)\mathbb{P}(X_2=n-i)= \sum\limits_{i=o}^n e^{-\lambda_1}{\lambda_1^i\over i!}e^{-\lambda_2}{\lambda_2^{n-i}\over (n-i)!}=$

$\ = e^{-\lambda_1-\lambda_2}\sum\limits_{i=0}^n {n!\over i!(n-i)!}{\lambda_1^i\lambda_2^{n-i}\over n!}= e^{-\lambda_1-\lambda_2} \sum\limits_{i=0}^n {n\choose i} {\lambda_1^i\lambda_2^{n-i}\over n!}= e^{-\lambda_1-\lambda_2} {(\lambda_1+\lambda_2)^n\over n!} \sim Pois(\lambda_1+\lambda_2)$

לסיכום:

למה "סכום מ"מ פואסוניים"

$\ Pois(\lambda_1)*Pois(\lambda_2)= Pois(\lambda_1+\lambda_2)$

בדומה,

למה "סכום מ"מ בינומיים"

$\ Bin(n_1,p)*Bin(n_2,p)=Bin(n_1+n_2,p)$

[עריכה] דוגמה: מ"מ רציף

נחשב סכום עבור המשתנים $\ X_1\sim Exp(\lambda_1)\ ,\ X_2\sim Exp(\lambda_2)$ :

$\ \mathbb{P}(X_1+X_2=x)= f_{X_1+X_2}(x)= \int\limits_0^x \lambda_1e^{-\lambda_1x_1}\lambda_2e^{-\lambda_2(x-x_1)}dx_1= \lambda_1\lambda_2\int\limits_0^x e^{x_1(\lambda_2-\lambda_1)-\lambda_2x}dx_1=$