הסתברות/המודל ההסתברותי

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

1 מושגים בסיסיים
- 1.1 מרחב מדגם אינסופי
- 1.2 דוגמה מסכמת
2 תכונות פונקצית ההסתברות
- 2.1 אקסיומות
- 2.2 משפטים
3 קישורים חיצוניים

[עריכה] מושגים בסיסיים

לפני שנוכל לדבר על סיכויים ותחזיות, עלינו להכיר את המושגים: מאורע, אוסף מאורעות, מרחב מדגם, פונקצית הסתברות ובחירה מקרית:

הגדרה: מושגים בסיסיים בהסתברות

מאורע - תוצאה של ניסוי, התרחשות כלשהי, שאנו מחפשים את הסיכוי להתממשותה. למשל: המאורע "קבלת המספר 6 בהטלת קובייה הוגנת", הינו בעל סיכוי של 1:6. בדרך כלל נסמן מאורעות על ידי אותיות לטיניות גדולות: A, B, C וכך הלאה.
אקסיומות ההסתברות:
1. ההסתברות של מרחב המדגם שווה 1.
2. לכל מאורע הסתברות אי-שלילית
3. אדיטיביות בת מניה: לכל סדרה בת מניה של מאורעות זרים בזוגות (שהחיתוך של כל שניים ריק): הסתברות איחודם = סכום ההסתברויות.
4. מ-3 אקסיומות אלו נובע:
  1. אדיטיביות סופית: (כנ"ל לסדרה סופית).
  2. לכל מאורע הסתברות בין 0 ל 1
  3. הסתברות מאורע + הסתברות המשלים לו = 1.

מאורעות זרים - מאורעות אשר החיתוך ביניהם הוא קבוצה ריקה, ולכן (דורש תיקון - זה נובע מאקסיומות ההסתברות) הסתברות החיתוך היא אפס. למשל: המאורעות "קבלת המספר 2 בהטלת קוביה הוגנת" ו-"קבלת מספר זוגי בהטלת קוביה הוגנת" אינם זרים כי השני מכיל את הראשון.
בחירה מקרית - בחירה כזו, שהסיכוי של כל מאורע להתרחש הוא זהה. במילים אחרות, זהו למעשה "סיכוי סימטרי". למשל: הסיכוי לקבל את המספר 2 בהטלת קוביה הוגנת זהה לסיכוי לקבל 3 באותו ניסוי.
מרחב מדגם ( $\ \Omega$ ) - זהו אוסף כל התוצאות האפשריות של הניסוי שאנו עורכים. למשל: מרחב המדגם של הניסוי "הטלת קוביה הוגנת" הוא המספרים $\ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ ומרחב המדגם של משבצת שחמט אקראית הוא: $\ \Omega=\{(1,1),(1,2)...(8,8)\}$ . מרחב מדגם סימטרי הוא קבוצה של מאורעות אשר לכל אחד מהם סיכוי זהה להתרחש. מאורע הוא תת-קבוצה של Ω.
אוסף מאורעות ( $\ \Sigma$ ) - אוסף של תת-קבוצות של מרחב המדגם, שיש להן הסתברות.
פונקצית הסתברות ( $\ \mathbb{P}$ ) - פונקציה אשר מקשרת בין מאורע לסיכוי קבלתו, בהתאם לניסוי שאנו עורכים. למשל אם A הוא המאורע "קבלת מספר זוגי בהטלת קוביה הוגנת" אז $\ \mathbb{P}(A)=0.5$ כי קיימים 3 מספרים זוגיים בין 1 ל-6 וסה"כ ישנן 6 אפשרויות, ומרחב המדגם הינו סימטרי. ניתן להכליל זאת: אם A היא תת-קבוצה של Ω אשר מייצגת מאורע (או מאורעות), אז הסיכוי לקבלתה, במידה ומרחב המדגם סימטרי הוא: $\ \mathbb{P}(A)={|A|\over |\Omega|}$ . $\ |A|$ מציין את מספר האיברים בקבוצה זו, או במילים אחרות: מספר הדרכים השונות שבו A יכול להתרחש. אם מרחב המדגם אינו סימטרי יש לבצע ממוצע משוקלל, ונגיע לזה בהמשך.

[עריכה] מרחב מדגם אינסופי

שימו לב כי מרחב מדגם אינסופי לא יכול להיות סימטרי, כי סכום ההסברויות צריך להתכנס ל-1.

דוגמה: אם אנו מגרילים כדור מתוך אוסף אינסופי של כדורים, כאשר לכדור ה-k-י יש הסתברות p_k להבחר. במקרה זה מנסח השאלה יכול להגדיר שהסדרה {p_k} היא, למשל, סדרה הנדסית עם מנה q, ואז ניתן למצוא את p_k:

$\ \sum\limits_{k=1}^\infty p_k=1\ \Rightarrow\ p_k=(1-q)q^{k-1}$

כעת, על מנת לקבל את ההסתברות להגרלת כדור זוגי, נחשב את הטור המתאים:

$\ \mathbb{P}(Even)= \sum\limits_{k=1}^\infty (1-q)q^{2k-1}= {1-q\over q}\sum\limits_{k=1}^\infty q^{2k}= {1-q\over q}{q^2\over 1-q^2}= {q\over 1+q}$

דוגמה: שני שחקנים, א' ו-ב', מוציאים זה אחר זה כדור אחד מתוך קופסה המכילה n כדורים לבנים וכדור אחד אדום. אם התקבל כדור אדום - אותו שחקן ניצח. אם התקבל כדור לבן - הוא מוחזר לקופסה והתור עובר לשחקן האחר. אם שחקן א' מתחיל, מה צריך להיות n המינימלי כדי שההסתברות של שחקן ב' לנצח תהיה לפחות 45% ..?

פתרון: כדי ששחקן ב' ינצח בתור הראשון שלו, שחקן א' צריך להפסיד. נחלק את המשחק לסבבים:

$\ \mathbb{P}(B_1)= {n\over n+1}{1\over n+1}$

בדומה, ההסתברות ששחקן ב' ינצח בסיבוב השני גוררת שני הפסדים לא' והפסד אחד ל-ב':

$\ \mathbb{P}(B_2)= \left({n\over n+1}\right)^3{1\over n+1}$

כללית, ההסתברות של שחקן ב' לנצח בסבב ה-k-י היא:

$\ \mathbb{P}(B_k)= \left({n\over n+1}\right)^{2k-1}{1\over n+1}$

כעת, כדי למצוא את ההסתברות של שחקן ב' לנצח במשחק, נסכם את כל תוצאות המשחק האפשריות:

$\ \mathbb{P}(B)= \sum\limits_{k=1}^{\infty}\left({n\over n+1}\right)^{2k-1}{1\over n+1}= {1\over n+1}{{n\over n+1}\over 1-\left({n\over n+1}\right)^2}= {n\over 2n+1}$

כעת נמצא את ה-n המבוקש:

$\ {n\over 2n+1}>0.45\ \Rightarrow\ n>4.5\ \Rightarrow\ n=5$

[עריכה] דוגמה מסכמת

דוגמה זו ממחישה כי כאשר מדובר בבחירה מקרית ובמרחב מדגם סימטרי, ההסתברות מתנהגת כמו פרופורציה. נניח כי בקבוצה G של אנשים יש M=9 גברים ו-W=11 נשים. מכאן, אחוז הגברים בקבוצה הוא $\ {M\over M+W}=0.45=45%$ ולכן הסיכוי לבחור מיקרית גבר מן הקבוצה הוא 45%. באופן דומה, אחוז הנשים הוא 55%. במקרה הנידון: $\ \Omega=\{W_1,W_2,...W_{11},M_1,M_2...M_9\}\ ,\ |\Omega|=20$ כך שההסתברות לבחור אדם ספציפי מן הקבוצה היא $\ {1\over 20}$ .

נבחן כעת דוגמה אחרת: בוחרים באופן מקרי 3 אנשים מתוך הקבוצה. הבחירה היא ללא חזרות וללא חשיבות לסדר, כי מדובר בבני אדם. נרצה לדעת כמה אפשרויות (צירופים) כאלה קיימות. במקרה זה:

$\ \Omega=\{ (W_1,W_2,W_3), (W_1,W_2,W_4), (W_1,W_2,W_5)...(W_1,W_2,M_1), (W_1,W_2,M_2)...$

$\ (M_1,M_2,M_3), (M_1,M_2,M_4)...(M_7,M_8,M_9) \}$

או בקיצור:

$\ {20\choose 3}={20!\over 3!17!}=1140\ ,\ |\Omega|=1140$

מה הסיכוי ששלושתם גברים?
מספר האפשרויות לבחור 3 גברים: $\ {9\choose 3}=84$ ולכן $\ \mathbb{P}(A_{M=3})={84\over 1140}={7\over 95}\approx 7%$ .
או בקיצור: $\ \mathbb{P}(A_{M=3})={{9\choose 3}\over{20\choose 3}}={7\over 95}$ .
מה הסיכוי שייבחר אדם ספציפי מתוך ה-3?
בכך קבענו מראש את אחד האנשים ולכן יש לבחור עוד 2. מספר האפשרויות לבחור 2 אנשים מתוך 20-1=19 הוא $\ {19\choose 2}=171$ ולכן $\ \mathbb{P}(A_i)={171\over 1140}=0.15$ .
דרך אחרת: $\ \mathbb{P}(A_i)={1\over 20}+{19\over 20}{1\over 19}+{19\over 20}{18\over 19}{1\over 18}={3\over 20}=0.15$ .

[עריכה] תכונות פונקצית ההסתברות

[עריכה] אקסיומות

$\ 0\le \mathbb{P}(A)\le 1\ ,\ \forall A\in\Sigma$
$\ \mathbb{P}(\Omega)=1\ ,\ \mathbb{P}(\empty)=0$
שימו לב כי לכל מאורע השייך ל-Σ קיימת הסתברות. במילים אחרות: $\ \mathbb{P}(A)=0 \iff A=\empty$ .

[עריכה] משפטים

איחוד מאורעות A_i זרים: $\ \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^n A_i \right)=\sum_{i=1}^n \mathbb{P}(A_i)$
איחוד מאורעות לא זרים:
- $\ \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^n A_i \right) \le \sum_{i=1}^n \mathbb{P}(A_i)$
- $\ \mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+ \mathbb{P}(B)- \mathbb{P}(A\cap B)$
- $\ \mathbb{P}(A\cup B\cup C)= \mathbb{P}(A)+ \mathbb{P}(B)+ \mathbb{P}(C)- [ \mathbb{P}(A\cap B)+ \mathbb{P}(B\cap C)+ \mathbb{P}(A\cap C)]+ \mathbb{P}(A\cap B\cap C)$
- (להשלים: הכללה)
הכלה: $\ A\subseteq B \ \Rightarrow \ \mathbb{P}(A)\le \mathbb{P}(B)$
תכונת המשלים: $\ \mathbb{P}(A\cup A^c)= \mathbb{P}(\Omega)=1 \ \Rightarrow \ \mathbb{P}(A^c)= 1-\mathbb{P}(A)$