הוכחות מתמטיות/אלגברה ליניארית/מרחבים וקטוריים, בסיס ומימד

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

[עריכה] משפט המימדים לתתי מרחבים

משפט: אם $U, W$ הם תתי מרחבים של מרחב וקטורי $V$ , אזי מתקיים: $\dim \left( {U + W} \right) = \dim \left( U \right) + \dim \left( W \right) - \dim \left( {U \cap W} \right)$ .

הוכחה: נסמן את מימד החיתוך ב- $k$ , את מימד $U$ ב- $m$ ואת מימד $W$ ב- $n$ ונוכיח כי $\dim \left( {U + W} \right) = m + n - k$ .

יהי $\left\{ {v_1 ,v_2 ,...,v_k } \right\}$ בסיס לחיתוך. מעצם הגדרת החיתוך, איברי הבסיס הם בלתי תלויים לינארית הן ב- $U$ והן ב- $W$ . כל קבוצה בלתי תלויה לינארית ניתנת להשלמה לבסיס ונשלים קבוצה זו לבסיסים של $U$ ושל $W$ בהתאמה:

$\left\{ {v_1 ,v_2 ,...,v_k ,u_{k + 1} ,u_{k + 2} ,...,u_m } \right\}$

$\left\{ {v_1 ,v_2 ,...,v_k ,w_{k + 1} ,w_{k + 2} ,...,w_n } \right\}$

נסמן ב- $B$ את האיחוד של שתי הקבוצות הנ"ל. מספר האיברים ב- $B$ הוא $k + \left( {m - k} \right) + \left( {n - k} \right) = m + n - k$ . לכן, נותר רק להוכיח ש- $B$ היא בסיס למרחב הסכום.

מהגדרת בסיס, יש להוכיח כי $B$ קבוצה פורשת ובלתי תלויה לינארית. תחילה נראה כי היא פורשת. איברים בתת-המרחב $U + W$ הם כולם מהצורה $u + w$ , כאשר $u \in U,w \in W$ , מעצם הגדרת מרחב הסכום. $u$ הוא צירוף לינארי של $v 1, v 2,..., v k, u k + 1, u k + 2,..., u m,$ שכן זהו הבסיס שמצאנו עבור $U$ . $w$ הוא צירוף לינארי של $v 1, v 2,..., v k, w k + 1, w k + 2,..., w n,$ שכן זהו הבסיס שמצאנו עבור $W$ . לפיכך, $u + w$ הוא צירוף לינארי של איברי $B$ . לכן, $B$ קבוצה פורשת.

כעת נוכיח כי $B$ בלתי תלויה לינארית. מעצם הגדרת אי-תלות לינארית, עלינו להוכיח כי הפתרון היחיד למשוואה

$α 1 v 1 + α 2 v 2 + ... + α k v k + β k + 1 u k + 1 + ... + β m u m + γ k + 1 w k + 1 + ... + γ n w n = 0$

הוא $\forall i:\alpha _i = \beta _i = \gamma _i = 0$ .

לאחר העברת אגפים נקבל כי:

$α 1 v 1 + α 2 v 2 + ... + α k v k + β k + 1 u k + 1 + ... + β m u m = - γ k + 1 w k + 1 - ... - γ n w n$

האגף השמאלי הוא צירוף לינארי של איברי בסיס של $U$ , לכן הוא שייך ל- $U$ . האגף השמאלי הוא צירוף לינארי של איברי בסיס של $W$ ולכן הוא שייך ל- $W$ . לכן, כל אחד מהאגפים שייך לחיתוך $U \cap W$ . לכן, ניתן לכתוב את האגף השמאלי כצירוף לינארי של איברי הבסיס של החיתוך.

$- γ k + 1 w k + 1 - ... - γ n w n = δ 1 v 1 + ... + δ k v k$

נעביר אגפים ונקבל:

$δ 1 v 1 + ... + δ k v k + γ k + 1 w k + 1 + ... + γ n w n = 0$

קיבלנו צירוף לינארי של איברי הבסיס של $W$ ומכיוון שאיברי בסיס הם בלתי תלויים לינארית מעצם הגדרתו, נובע מכך כי $\forall i:\delta _i = \gamma _i = 0$ . נציב זאת לצירוף הלינארי של איברי $B$ אשר התחלנו ממנו ונקבל:

$α 1 v 1 + α 2 v 2 + ... + α k v k + β k + 1 u k + 1 + ... + β n u n = 0$

זהו צירוף לינארי של איברי הבסיס של $U$ , לכן $\forall i:\alpha _i = \beta _i = 0$ .

הוכחנו $\forall i:\alpha _i = \beta _i = \gamma _i = 0$ כדרוש ובזאת סיימנו ההוכחה. מ.ש.ל.

הוכחות מתמטיות/אלגברה ליניארית/מרחבים וקטוריים, בסיס ומימד

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

[עריכה] משפט המימדים לתתי מרחבים

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

יצירת ספר