מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/קומבינטוריקה/חליפות

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | אלגברה תיכונית | קומבינטוריקה(הופנה מהדף אלגברה תיכונית/קומבינטוריקה/חליפות)

[עריכה] חליפות

בפרק הקודם עסקנו בצירופים - בחירה בלי חשיבות לסדר ובלי החזרה. כעת נעסוק בבחירה שבה יש חשיבות לסדר אך אין החזרה. נפתח בדוגמה.

נניח כי בכיתה ישנם 40 תלמידים, ואנו רוצים להרכיב משלחת שתכלול יושב ראש, סגן וגזבר. עלינו לבחור שלושה תלמידים מבין ה-40, אבל כאן יש חשיבות לסדר שבו נבחר את התלמידים: הראשון ייבחר לתפקיד יושב הראש, השני לתפקיד הסגן והשלישי לתפקיד הגזבר.

כדי לבצע את הבחירה הזו פשוט נבחר קודם כל את יושב הראש מבין 40 התלמידים, אחר כך נבחר את הסגן מבין 39 התלמידים שנותרו, ולבסוף נבחר את הגזבר מבין 38 התלמידים שטרם נבחרו.

נעבור לטפל במקרה הכללי.

נניח כי יש לנו $\ n$ איברים ואנו רוצים לבחור $\ k$ עם חשיבות לסדר הבחירה. נבחר את האיבר הראשון מבין $\ n$ האיברים, את השני מבין $\ n-1$ האיברים הנותרים, ובאופן כללי את האיבר ה- $\ i$ נבחר מתוך $\ n-(i-1)$ האיברים הנותרים. על פי עקרון הכפל נקבל שמספר האפשרויות הכולל הוא:

$\ n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)$

יש דרך נוחה יותר להציג ביטוי זה:

$\ n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$ .

נדגים כעת דרך נוספת לקבלת ביטוי זה.

קודם כל נבחר $\ k$ . איברים ללא חשיבות לסדר. אלו הם צירופים, ולמדנו לטפל בהם בפרק הקודם. מספר האפשרויות הוא $\ \frac{n!}{k!(n-k)!}$ .

כעת נמספר את האיברים שבחרנו, כלומר נסדר אותם בשורה. זוהי תמורה, ולכן יש $\ k!$ אפשרויות. לכן על פי עקרון הכפל יש בסך הכל $\ \frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot k!= \frac{n!}{(n-k)!}$ .

הפרק הקודם:
צירופים

חליפות
תרגילים

הפרק הבא:
הבינום של ניוטון ומשולש פסקל

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/קומבינטוריקה/חליפות

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

[עריכה] חליפות

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא