מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/סדרות/סדרות חשבוניות

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | אלגברה תיכונית | סדרות(הופנה מהדף אלגברה תיכונית/סדרות/סדרות חשבוניות)

תוכן עניינים

1 הגדרה
2 האיבר הכללי
3 הסכום של סדרה חשבונית
- 3.1 הוכחת הנוסחה
- 3.2 נוסחאות נוספות
  - 3.2.1 מקרה א' (האיבר הראשון וההפרש ידועים)
  - 3.2.2 מקרה ב' (האיבר האחרון וההפרש ידועים)

[עריכה] הגדרה

סדרה חשבונית היא סדרה של מספרים שבה ההפרש בין כל שני איברים סמוכים הוא קבוע. למשל:

$\ 1,2,3,4,5$ היא סדרה חשבונית שבה ההפרש הוא 1.
$\ 4,4,4,4$ היא סדרה חשבונית שבה ההפרש הוא 0.
$\ 2,5,8,11$ היא סדרה חשבונית שבה ההפרש הוא 3.

נהוג לסמן את ההפרש של הסדרה החשבונית בתור $\ d$ . סדרה חשבונית מאופיינת על ידי $\ d$ ועל ידי $\ a_1$ - האיבר הראשון שלה.

[עריכה] האיבר הכללי

אם ידועים לנו $\ d$ ו- $\ a_1$ ניתן למצוא את האיבר הכללי (שמיקומו בסדרה- n) של הסדרה באמצעות הנוסחה

$\ a_n=a_1+(n-1)d$

כדי להיווכח שהנוסחה נכונה פשוט נשים לב כי כדי לעבור מהאיבר $\ a_1$ לאיבר $\ a_n$ אנחנו מבצעים $\ n-1$ צעדים, כאשר בכל צעד גדל ערך האיבר ב- $\ d$ .

[עריכה] הסכום של סדרה חשבונית

לעתים קרובות נתעניין בסכום האיברים של הסדרה החשבונית. בצורה פורמלית הסכום של הסדרה $\ a_1,\dots,a_n$ מוגדר כך:

$\ S_n=a_1+a_2+\dots+a_n$

חשוב לשים לב שאנחנו סוכמים רק מספר סופי של איברים.

נוסחה לסכום זה היא:

$\ S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$

[עריכה] הוכחת הנוסחה

כדי לראות את נכונות הנוסחה נשים לב כי הסכום של האיבר הראשון והאחרון זהה לסכום האיבר השני והאיבר הלפני אחרון. הסיבה לכך היא שהאיבר השני אמנם גדול מהראשון ב- $\ d$ אבל האיבר הלפני אחרון קטן מהאיבר האחרון ב- $\ d$ . באופן כללי אפשר לראות באותה הדרך כי $\ a_1+a_n=a_k+a_{n-k+1}$ .

על כן, אם נסדר את איברי הסדרה זוגות זוגות - האיבר הראשון והאחרון, האיבר השני והאיבר הלפני אחרון, וכן הלאה - נקבל שסכום כל אחד מהזוגות הוא $\ a_1+a_n$ ולכן הסכום של כל האיברים הוא $\ a_1+a_n$ כפול מספר הזוגות, שהוא בדיוק חצי ממספר האיברים: $\ \frac{n}{2}$ . אם $\ n$ הוא אי זוגי זו אינה בעיה - אחד מהזוגות ייספר חצי פעם, במקום פעם אחת שלמה.

לדוגמה, בסדרה $\ 1,2,3,4,5$ סכום האיבר הראשון והאחרון הוא 6 וכך גם סכום האיבר השני והרביעי. אם מחברים את האיבר השלישי עם עצמו מקבלים גם כן 6, אבל הוא מופיע פעם אחת בלבד ולכן איבר זה נספר כחצי זוג ותורם רק 3 לסכום. על פי הנוסחה הסכום יהיה $\ \frac{5\cdot 6}{2}=15$ , וזהו אכן סכומם של האיברים.

מסופר על המתמטיקאי המפורסם קרל פרידריך גאוס שגילה הוכחה זו בגיל 7 לאחר שבבית ספרו הטיל המורה על התלמידים מטלה של סיכום כל המספרים מ-1 עד 100 במטרה להעסיק אותם שעה ארוכה, וגאוס פתר את התרגיל כמעט מייד.

[עריכה] נוסחאות נוספות

[עריכה] מקרה א' (האיבר הראשון וההפרש ידועים)

אם נציב בנוסחה שקיבלנו עבור הסכום את הנוסחה שיש לנו עבור האיבר הכללי של סדרה חשבונית נקבל:

$\ S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n[a_1+a_1+(n-1)d]}{2}=\frac{n[2a_1+(n-1)d]}{2}$

ואכן, זוהי נוסחה שדורשת הכרה רק של $\ d$ ושל $\ a_1$ .

[עריכה] מקרה ב' (האיבר האחרון וההפרש ידועים)

ראשית נבטא את האיבר הראשון באמצעות האיבר האחרון, באמצעות הנוסחה לאיבר כללי של סדרה:
$\ a_n=a_1+(n-1)d$
$\ a_1=a_n-(n-1)d$
כעת, נציב בנוסחת הסכום הראשונה:
$\ S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n[a_n-(n-1)d+a_n]}{2}=\frac{n[2a_n-(n-1)d]}{2}$
$\ S_n=\frac{n[2a_n-(n-1)d]}{2}$

הפרק הקודם:
מבוא

סדרות חשבוניות
תרגילים

הפרק הבא:
סדרות הנדסיות

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/סדרות/סדרות חשבוניות

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

[עריכה] הגדרה

[עריכה] האיבר הכללי

[עריכה] הסכום של סדרה חשבונית

[עריכה] הוכחת הנוסחה

[עריכה] נוסחאות נוספות

[עריכה] מקרה א' (האיבר הראשון וההפרש ידועים)

[עריכה] מקרה ב' (האיבר האחרון וההפרש ידועים)

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא