מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/סדרות/סדרות הנדסיות

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | אלגברה תיכונית | סדרות(הופנה מהדף אלגברה תיכונית/סדרות/סדרות הנדסיות)

תוכן עניינים

1 הגדרה
2 האיבר הכללי
3 הסכום של סדרה הנדסית סופית
4 הסכום של סדרה הנדסית אינסופית
- 4.1 מהו סכום של סדרה אינסופית?
- 4.2 מתי קיים סכום לסדרה אינסופית?

[עריכה] הגדרה

סדרה הנדסית היא סדרה שבה כל איבר הוא מכפלה של האיבר הקודם במספר קבוע מסויים, הנקרא "מנת הסדרה". למשל:

$\ 1,2,4,8,16,\dots$ היא סדרה הנדסית עם מנה 2.
$\ 3,3,3,3$ היא סדרה הנדסית עם מנה 1.
$\ 100,50,25,12.5$ היא סדרה הנדסית עם מנה $\ \frac{1}{2}$ .

נהוג לסמן את המנה של סדרה הנדסית על ידי $\ q$ . סדרה הנדסית מאופיינת על ידי $\ q$ , על ידי $\ a_1$ - האיבר הראשון שלה, ועל ידי מספר האיברים שבה. כלומר, אם יודעים מהו האיבר הראשון של סדרה, מהי המנה שלה ומה האורך שלה, ניתן לדעת מה יהיו כל שאר אברי הסדרה.

נוסחת הנסיגה המתאימה לסדרה הנדסית היא $\ a_n=q\cdot a_{n-1}$ - כל איבר הוא מכפלה של האיבר הקודם ב- $\ q$ , כאשר האיבר הראשון נקבע באופן שרירותי.

[עריכה] האיבר הכללי

אם ידועים לנו $\ q$ ו- $\ a_1$ , ניתן למצוא את האיבר הכללי של הסדרה באמצעות הנוסחה

$\ a_n=a_1q^{n-1}$

כדי להיווכח בנכונות הנוסחה פשוט נשים לב כי כדי לעבור מ- $\ a_1$ אל $\ a_n$ אנחנו מבצעים $\ n-1$ צעדים כאשר בכל צעד גדל ערך האיבר פי $\ q$ .

[עריכה] הסכום של סדרה הנדסית סופית

כבר נתקלנו במושג הסכום אצל סדרה חשבונית. עבור סדרה הנדסית שהמנה שלה היא 1 כל האיברים זהים, ולכן הסכום הוא פשוט

$\ S_n=na_1$

כאשר $\ q\ne 1$ הסכום של הסדרה נתון על ידי הנוסחה

$\ S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$

שימו לב כי בנוסחה הכללית לא ניתן להשתמש כאשר $\ q=1$ , כי אז הצבת $\ q$ בנוסחה מובילה לחלוקה באפס, שאין לה משמעות (בפרט שימו לב שטענה שגויה כמו "תוצאת החלוקה היא אפס" או "תוצאת החלוקה היא אינסוף" לא מניבה את הסכום הנכון).

כדי להוכיח את הנוסחה הכללית נשים לב כי ניתן לכתוב את הסכום כך:

$\ S_n=a_1+a_2+\dots+a_n=a_1+a_1q+\dots+a_1q^{n-1}=a_1(1+q+\dots+q^{n-1})$

כאן השתמשנו בנוסחת האיבר הכללי. נותר למצוא את הגודל שבתוך הסוגריים. כאן נשתמש ב"טריק" לפישוט סכומים מסוג זה: נכפול ונחלק אותו באותו גורם, כך שהמכפלה תפשט את צורת הסכום. כאשר אנו כופלים ומחלקים איבר במספר ששונה מאפס, ערכו של האיבר לא משתנה כי מה שביצענו הוא בעצם כפל ב-1.

במקרה הנוכחי נכפול ונחלק ב- $\ q-1$ .

התוצאה תהיה שנקבל סכום שבו רוב האיברים מבטלים זה את זה, פרט לראשון ולאחרון (סכום כזה מכונה לעתים טור טלסקופי):

$\ (1+q+\dots+q^{n-1})(q-1)=q-1+q^2-q+\dots+q^n-q^{n-1}=q^n-1$ .

ומכאן נסיק:

$\ (1+q+\dots+q^{n-1})=\frac{q^n-1}{q-1}$

ועל ידי כפל ב- $\ a_1$ נקבל את נוסחת הסכום המבוקשת.

[עריכה] הסכום של סדרה הנדסית אינסופית

כאשר $\ |q|<1$ , הסכום של סדרה הנדסית אינסופית בעלת מנה $\ q$ ואיבר ראשון $\ a_1$ היא:

$\ S=\frac{a_1}{1-q}$

בחלק הבא, המיועד להעשרה והעמקה בלבד, ננסה להבין מה פירוש המושג "סכום של סדרה אינסופית", מדוע הסכום הוא זה שבנוסחה, ולמה צריך להתקיים $\ |q|<1$ . אינכם חייבים לקרוא חלק זה כדי להיות מסוגלים לפתור תרגילים העוסקים בסכומים של סדרה הנדסית אינסופית - לשם כך די להכיר את הנוסחה.

[עריכה] מהו סכום של סדרה אינסופית?

לכאורה נראה כי המושג "סכום של סדרה אינסופית" הוא חסר משמעות. כיצד ניתן לחבר אינסוף איברים? הרי זה תהליך שלא יסתיים לעולם, כי תמיד ניתן להמשיך ולחבר איברים נוספים. גם אם מניחים שקיימת אפשרות לחבר את כל האיברים "בבת אחת", עדיין נראה כאילו סכום של אינסוף איברים צריך להיות אינסוף.

הטיפול המתמטי המדוייק במושג זה נעשה במסגרת הענף המתמטי הנקרא "חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי", ולכן נציג כאן את הרעיון בלבד, ולא הוכחה מדוייקת.

בתור דוגמה נתבונן בסכום הבא:

$\ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots$

זהו סכום של הסדרה האינסופית שהאיבר הראשון שלה הוא $\ a_1=1$ והמנה שלה היא $\ q=\frac{1}{2}$ . על פי הנוסחה שהצגנו למעלה, הסכום הזה צריך להיות שווה ל-2. פירוש הדבר הוא שככל שנחבר עוד ועוד איברים בסכום, נגלה שאנחנו מתקרבים למספר 2. כדי להיווכח בכך, נשתמש בנוסחת הסכום הסופית שפיתחנו קודם, ונראה מה אנחנו מקבלים אחרי שאנחנו מחברים את האיברים הראשונים בסדרה. באופן כללי, אחרי שנחבר $\ n$ איברים נקבל את הסכום הבא:

$\ S_n=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n-1}{\frac{1}{2}-1}=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n-1}{-\frac{1}{2}}=-2\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n-1\right)=2\left(1-\frac{1}{2^n}\right)$

אם נציב ערכים בנוסחה באמצעות מחשבון, נראה כי נקבל את התוצאות הבאות:

$\ S_1=1$
$\ S_5=1.9375$
$\ S_{10}=1.9980$
$\ S_{15}=1.9999$

וככל שנמשיך נראה שהערכים הולכים ונהיים קרובים יותר ויותר ל- $\ 2$ , עד כי רמת הדיוק של המחשבון שלנו לא תאפשר לנו לראות את ההבדל. במקרה כזה אנו אומרים כי $\ S$ הוא הגבול של סדרת הסכומים החלקיים $\ S_n$ .

[עריכה] מתי קיים סכום לסדרה אינסופית?

מכיוון שלא הבאנו את ההגדרה המדוייקת של גבול (שאיננה פשוטה) עשוי להתקבל הרושם כי לכל סדרה קיים גבול. נציג כאן שני סכומים אינסופיים שבבירור לא ניתן לייחס להם ערך מסויים.

[עריכה] דוגמה 1

נתבונן בסדרה הבאה:

$\ 1,-1,1,-1,1,\dots$

זו סדרה הנדסית עם איבר ראשון $\ a_1=1$ ומנה $\ q=-1$ .

כאשר $\ n$ זוגי סכום $\ n$ האיברים הראשונים בסדרה הוא $\ S_n=0$ וכאשר n אי זוגי סכום $\ n$ האיברים הראשונים בסדרה הוא $\ S_n=1$ . ניתן לראות זאת על ידי הצבה בנוסחה הכללית. האם קיים סכום לסדרה האינסופית? הצבה בנוסחה של סכום של סדרה אינסופית מניבה $\ \frac{1}{2}$ , אולם מספר זה לא מקיים את התכונה שציפינו שיקיים: לא משנה כמה איברים נסכום, לא נראה כאילו אנחנו מתקרבים אליו, אלא כל הזמן מתנדנדים בין 0 ל-1. מאותה סיבה גם לא ניתן להגיד ש-1 הוא הסכום או 0 הוא הסכום. לכן אנו מסיקים שאין לסדרה סכום על פי המשמעות שאנו מייחסים למילה זו.

[עריכה] דוגמה 2

נתבונן בסדרה הבאה:

$\ 1,2,4,8,16,\dots$

זו סדרה הנדסית עם איבר ראשון $\ a_1=1$ ומנה $\ q=2$ .

נשים לב שככל שאנו סוכמים יותר ויותר איברים, הסכום הולך וגדל. למעשה, לכל מספר טבעי, ולא משנה כמה גדול יהיה, הסדרה מתישהו תעבור אותו. על פי נוסחת הסכום הכללית, במקרה של הסדרה הזו $\ S_n=\frac{2^n-1}{2-1}=2^n-1$ . נניח ש- $\ M$ הוא מספר טבעי כלשהו, מתי הסדרה תעבור אותו? אם אתם מכירים לוגריתמים תוכלו למצוא את הפתרון:

$\ 2^n-1>M$ גורר $\ 2^n>M+1$ , ובעזרת שימוש בלוגריתם נקבל $\ n>\log_2(M+1)$ .

מכיוון ש- $\ n$ יכול לקבל כל ערך שהוא מספר טבעי (כי יש אינסוף איברים לסדרה) ברור שמתישהו הוא יעבור את $\ \log_2(M+1)$ , ולכן גם במקרה הזה אין לסכום ערך מוגדר (אם כי ניתן, בהכללה, לומר שבמקרה זה הסכום הוא אינסוף).

ניתן להשתכנע שנסיון לייחס לסכום תכונות של מספר סופי כלשהו מוביל לאבסורד. נניח כי לסדרה קיים סכום סופי שנסמנו $\ A$ , ונראה שמהנחה זו אנו מגיעים לתוצאה אבסורדית.

אם $\ 1+2+4+\dots=A$ אז אפשר לכפול פי שתיים את שני האגפים. נקבל:

$\ 2+4+8+\dots=2A$ .

נוסיף 1 לשני האגפים, ונקבל:

$\ 1+2+4+8+\dots=2A+1$

אבל עכשיו באגף שמאל יש לנו את הסכום המקורי, והרי ערכו של סכום זה שווה ל- $\ A$ , כלומר קיבלנו:

$\ A=2A+1$

כעת נעביר אגפים ונקבל את ערכו של $\ A$ :

$\ A=-1$

תוצאה זו נראית אבסורדית - קיבלנו כי לכאורה, הסכום של אינסוף מספרים חיוביים הוא מספר שלילי. על כן אנו מסיקים שההנחה שלנו כי קיים מספר סופי שמתאר את סכום הסדרה היא שגויה.

[עריכה] מתי קיים סכום לסדרה הנדסית אינסופית?

לא תמיד קל לומר אם קיים או לא קיים סכום לסדרה אינסופית כללית. עבור סדרה הנדסית התשובה ידועה: קיים סכום אך ורק כאשר $\ |q|<1$ . לא ניתן להוכיח בצורה מדוייקת טענה זו כאן, אך כדי להצדיקה נתבונן בסכום הכללי של $\ n$ איברים: $\ S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ .

האיבר היחיד בסכום שהולך ומשתנה ככל שסוכמים יותר איברים הוא $\ q^n$ , ולכן במובן מסויים הסכום תלוי בשינויים שעוברים עליו. כאשר $\ |q|<1$ , ככל ש- $\ n$ גדול יותר כך $\ q^n$ קטן יותר (כי בכל פעם מכפילים במספר שקטן מ-1). במקרה שלנו די בכך כדי להבטיח את קיום הסכום. לעומת זאת, אם $\ |q|> 1$ הרי ש- $\ q^n$ רק יגדל עם הזמן, ואם $\ |q|=1$ או שנקבל סדרה "מתנדנדת" (כאשר $\ q=-1$ ) או שלא נוכל להשתמש בנוסחה הכללית (כאשר $\ q=1$ ) אלא בנוסחה $\ S_n=na_1$ שממנה ברור שככל ש- $\ n$ גדל הסכום עובר כל מספר טבעי.

עבור סדרה חשבונית אינסופית הסכום לא קיים אף פעם, בלי תלות בגודל ההפרש של הסדרה, ולכן לא עסקנו בסכומים אינסופיים במקרה של סדרות חשבוניות.

מדוע הסכום שמתקבל כאשר $\ |q|<1$ הוא דווקא $\ \frac{a_1}{1-q}$ ? כזכור, אחרי חיבור $\ n$ איברים הסכום הוא $\ S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ . ככל ש- $\ n$ הולך וגדל, $\ q^n$ הולך ומתקרב אל $\ 0$ . לכן כדי לראות את התוצאה הסופית נציב $\ q^n=0$ בנוסחה ונקבל $\ S=\frac{a_1(0-1)}{q-1}=\frac{a_1}{1-q}$ .

הפרק הקודם:
סדרות חשבוניות

סדרות הנדסיות
תרגילים

הפרק הבא:
סדרות כלליות

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/סדרות/סדרות הנדסיות

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

[עריכה] הגדרה

[עריכה] האיבר הכללי

[עריכה] הסכום של סדרה הנדסית סופית

[עריכה] הסכום של סדרה הנדסית אינסופית

[עריכה] מהו סכום של סדרה אינסופית?

[עריכה] מתי קיים סכום לסדרה אינסופית?

[עריכה] דוגמה 1

[עריכה] דוגמה 2

[עריכה] מתי קיים סכום לסדרה הנדסית אינסופית?

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא