מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות ריבועיות

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | אלגברה תיכונית | משוואות(הופנה מהדף אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות ריבועיות)

תוכן עניינים

1 מהי משוואה ריבועית

[עריכה] מהי משוואה ריבועית

משוואה ריבועית היא משוואה מהצורה $\;ax^2+bx+c=0$ כאשר נתון ש- $\;a\ne0$ ו $\;a,b$ וגם $\;c$ הם מספרים קבועים (יתכן והם יופיעו בצורה מפורשת - כלומר מספרים כמו 1 או 3 וגם יתכן שהם יופיעו בצורה פרמטרית, כלומר כאותיות, במקרה זה יש לשים לב שאנו מתייחסים אל האותיות הללו כמספרים קבועים ולא כנעלמים. אנו מחפשים את הערך של $\;x$ ולא של $\;a$ למשל). זו משוואה לא לינארית (הנעלם מופיע בה בחזקה שניה).
למשוואה ריבועית יכולים להיות:

שני פתרונות (כלומר שני מספרים שאם נציב אותם במקום $\;x$ נקבל פסוק שהוא אמיתי).
פתרון אחד.
אין אף פתרון (במספרים ממשיים) כלומר, אין אף מספר שניתן להציב במקום $\;x$ שעבורו נקבל פסוק אמת.

ניתן לפתור כל משוואה ריבועית או לפחות להגיע לקביעה שאין פתרון ממשי. הפתרון מתבסס על הנוסחא לפתרון משוואה ריבועית שעליה נדבר בהמשך. הנוסחא היא הדרך הבטוחה לפתור כל סוג של משוואה ריבועית אך היא אינה הדרך הקצרה ביותר או הפשוטה ביותר. במקרים רבים קל יותר לנצל את הטרינום הריבועי על מנת לפתור את המשוואה בדרך מהירה יותר. נדגים את שתי השיטות בהמשך על המשוואה הריבועית

$\;x^2+5x-14=0$

אך ראשית נסביר את הבעייתיות שמופיעה מרגע שנוספת חזקה שניה של הנעלם למשוואה.

[עריכה] פתרון על ידי הוצאת שורש

כעת נדון בפעולה בעלת חשיבות רבה, אם כי, היא איננה פעולה מותרת במובן שהגדרנו. פעולה זו היא הוצאת שורש. בפעולה זו אנו מפעילים את הפעולה המתמטית של מציאת שורש ריבועי על שני אגפי המשוואה על מנת למצוא את השורש של המספר. שיטה זו טובה רק במקרים מאוד מסויימים, אך הם מופיעים רבות.
ראשית, נזכיר מהו שורש ריבועי. שורש ריבועי הינו הפעולה ההפוכה להעלאה בריבוע כלומר, השורש של מספר הוא המספר שאותו, אם נעלה בריבוע נקבל את המספר המקורי. לפרטים נוספים חזור לפרק חזקות ושורשים.
עלינו לשים לב שכאן ישנו מלכוד משום שלמעשה ישנם שני מספרים שונים אשר יכולים להוות שורש של מספר אחר. למשל במקרה של המספר 81, המספרים $\;9$ וגם $\;-9$ שניהם יכולים להיות השורש. במתמטיקה נהוג לבחור באופן שרירותי את הפתרון החיובי אך במשוואות עלינו להיות מדוייקים יותר, שכן גם $\;-9$ וגם $\;9$ הם שורשים של 81.
מכיוון שכך, עלינו לשים לב שבפעולת הוצאת השורש אנו לא מאבדים פתרונות. על כן, אם נתונה המשוואה:

$\;x^2=81$

הפתרון הוא:

$\;x_{1,2}=\pm 9$

ולא, כפי שתלמידים רבים טועים: $\;x=9$ .

[עריכה] פתרון על ידי הטרינום הריבועי

נחזור למשוואה שהצגנו בראש העמוד. נתחיל את פתרון המשוואה בפירוק הטרינום לבינומים כפי שהוצג בפרק הטרינום הריבועי. לאחר חישוב מתקבל:

$\;x^2+5x-14=\left(x+7\right)\cdot\left(x-2\right)$

ביטוי זה אינו המשוואה שאנו מעוניינים לפתור. זהו רק אגף שמאל שלה, אשר פירקנו לגורמים בעזרת פירוק טרינום. במשוואה המקורית כתוב שאגף ימין שווה ל-0 כלומר

$\;x^2+5x-14=0$

או במילים אחרות

$\;\left(x+7\right)\cdot\left(x-2\right)=0$

נמשיך בפתרון כפי שעשינו בפרק הקודם. נחלק את המשוואה למקרים.

$\;x+7=0\Rightarrow x_1=-7$
$\;x-2=0\Rightarrow x_2=2$

ואז הפתרון של המשוואה המקורית שלנו הוא:
$\;x_1=-7,x_2=2$

[עריכה] הנוסחא לפתרון משוואה ריבועית

נציג את הפתרון בדרך השניה, כלומר בעזרת הנוסחא. אם נתונה לנו משוואה מהצורה $\ ax^2+bx+c=0$ הפתרונות יתקבלו על ידי: $\ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

זוהי נוסחה פשוטה יחסית שנותנת את הפתרון. נוסחה זו כוללת רק פעולות בסיסיות: חיבור, חיסור, כפל, חילוק והוצאת שורש. יש נוסחאות דומות אך מסובכות הרבה יותר עבור משוואות ממעלה שלישית ורביעית, וקיימת הוכחה שאין נוסחה כללית שמבוססת רק על פעולות בסיסיות עבור משוואה ממעלה חמישית ומעלה.
נשתמש כעת בנוסחא זו על מנת לפתור את המשוואה שפתרנו בעזרת הטרינום. במקרה זה $\;a=1,b=5$ ו $\;c=-14$ . נציב את הערכים הללו בנוסחא ונקבל:

$\ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}=\frac{-5 \pm \sqrt {5^2-4\cdot 1 \cdot\left(-14\right)}}{2\cdot 1}$

כאן מפרידים לפלוס ולמינוס ומקבלים:

$x_1=\frac{-5 + \sqrt {5^2-4\cdot 1 \cdot\left(-14\right)}}{2\cdot 1} = \frac{-5 + \sqrt {25+4\cdot 14}}{2} = \frac{-5 + \sqrt {81}}{2} = 2$
$x_2= \frac{-5 - \sqrt {5^2-4\cdot 1 \cdot\left(-14\right)}}{2\cdot 1} = \frac{-5 - \sqrt {25+4\cdot 14}}{2} = \frac{-5 - \sqrt {81}}{2} = -7$

והגענו בדיוק לאותם פתרונות שהגענו בדרך של הטרינום. קל לראות שהדרך של הטרינום היא קצרה בהרבה מהדרך של הנוסחא אך זו נחמה פורתא משום שהדרך של הטרינום אינה עובדת בחלק נכבד מהמקרים ובמקרים אלו נאלץ להשתמש בשיטה של הנוסחא.
מומלץ מאוד ללמוד נוסחא זו בעל-פה שכן היא נוסחא בעלת חשיבות טכנית עליונה.

[עריכה] הוכחת פתרון המשוואה הריבועית

כדי להוכיח את נכונות פתרון המשוואה הריבועית נשתמש בטכניקת ה"השלמה לריבוע"

$\!\, ax^2+bx+c=0$

נכפיל את המשוואה ב- $\;4a$ ונקבל:

$\!\, 4a^2 x^2 + 4abx + 4ac=0$

עכשיו נשתמש בהשלמה לריבוע ונוסיף לכל אגף את הביטוי $\ b^2 -4ac$ :

$\ 4a^2 x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac$

על האגף השמאלי נפעיל את נוסחאות הכפל המקוצר:

$\left(2ax+b\right)^2 = b^2-4ac$

נוציא שורש ריבועי משני האגפים:

$2ax_{1,2}+b=\pm\sqrt{b^2-4ac}$

מכיוון שביצענו פעולה של "הוצאת שורש" עלינו לשים לב שישנם שני פתרונות אפשריים. פתרונות אלו מסומנים בסימון $\ x_{1,2}$ ומתקבלים בעזרת הסימן $\pm$ כפי שהודגם בראש העמוד.
נחסיר $\;b$ משני אגפי המשוואה כדי לבודד את $\;x_{1,2}$ :

$2ax_{1,2}=-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }$

נחלק ב $\ 2a$ , ומכאן נקבל ש

$x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}$

כנדרש.

[עריכה] בחינת הפתרונות האפשריים

נשים לב לביטוי : $\ b^2-4ac$ שמופיע מתחת לשורש בנוסחה הכללית. לביטוי זה חשיבות כה גדולה עד כי ניתן לו שם מיוחד: הדיסקרימיננטה של המשוואה ונהוג לסמן אותו באות היוונית $\ \Delta$ (ד'לתה). על פי ערכה של הדיסקרימיננטה ניתן לדעת כמה פתרונות יש למשוואה:

אם $\ \Delta>0$ יש למשוואה שני פתרונות.
אם $\ \Delta=0$ יש למשוואה פתרון יחיד.
אם $\ \Delta<0$ אין למשוואה פתרונות במספרים ממשיים.

בעזרת שיטת הטרינום, לא ניתן לדעת בוודואות שאין פתרון למשוואה כלל. על מנת לדעת זאת, עלינו לנצל את הדיסקרימיננטה. נדון בנושא זה יותר לעומק בפרק חקירת משוואה ריבועית בהמשך.

הפרק הקודם:
הפעולות המותרות

משוואות ריבועיות
תרגילים

הפרק הבא:
משוואות עם שברים

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות ריבועיות

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

[עריכה] מהי משוואה ריבועית

[עריכה] פתרון על ידי הוצאת שורש

[עריכה] פתרון על ידי הטרינום הריבועי

[עריכה] הנוסחא לפתרון משוואה ריבועית

[עריכה] הוכחת פתרון המשוואה הריבועית

[עריכה] בחינת הפתרונות האפשריים

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא