מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/אי שוויונות מעריכיים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | אלגברה תיכונית | מעריכים ולוגריתמים(הופנה מהדף אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/אי שוויונות מעריכיים)

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תוכן עניינים

1 אי שוויונות מעריכיים
2 אופן הפתרון
- 2.1 בסיס החזקה
- 2.2 הרעיון הכללי
3 דוגמאות
- 3.1 דוגמה א'
  - 3.1.1 דרך פתרון ראשונה
  - 3.1.2 דרך פתרון שנייה
- 3.2 דוגמה ב'

[עריכה] אי שוויונות מעריכיים

הגדרה: אי שוויונות מעריכיים הם אי שוויונות בהם מופיע משתנה במעריך של חזקה. דוגמה לכך היא:

$\ 2^x>8$

[עריכה] אופן הפתרון

[עריכה] בסיס החזקה

במידה ומופיע משתנה/משתנים בבסיס של חזקה (בה מופיע גם כן משתנה), אז בסיסי החזקה/החזקות חייבים להיות כולם חיוביים. תנאי זה קיים, כזכור, גם בפתרון משוואות מעריכיות, והוא נותן לפתרון התרגיל תחום-הגדרה ראשוני.

[עריכה] הרעיון הכללי

כדי לפתור אי שוויונות מעריכיים, מה שאנו עושים הוא מגיעים למצב בו בשני האגפים מופיע אותו בסיס חזקה. כך נוכל לקחת את מעריכי החזקות בשני האגפים, וליצור אי שוויון חדש ביניהם בהתאם לבסיס החזקה, כמפורט להלן:

אם בסיס החזקה גדול מ-1, אז ככל שמעריך החזקה גדול יותר, כך החזקה עצמה (התוצאה של העלאת החזקה) גדולה יותר. דבר זה קורה משום שאנו מכפילים מספר שגדול מ-1 כפול עצמו מספר פעמים, מה שמגדיל את התוצאה. מכיוון שהחזקה גדלה במקביל למעריך החזקה, אז הכיוון של אי השוויון בין המעריכים יהיה זהה לכיוון של אי השוויון בין החזקות. דוגמה לכך היא החזקה $\ 2^x$ . ככל ש- $\ x$ יותר גדול, כך החזקה תהיה גדולה יותר. למשל אם נציב 3 תהיה התוצאה 8, בעוד אם נציב 4 תהיה התוצאה 16 (וכן הלאה).
אם בסיס החזקה קטן מ-1, אז ככל שמעריך החזקה גדול יותר, כך החזקה קטנה יותר. דבר זה קורה משום שלמעשה, אנו מכפילים שבר בעצמו, מה שמקטין את התוצאה הסופית. מכיוון שהחזקה קטנה ככל שהמעריך גדל, הכיוון של אי השוויון בין המעריכים יהיה הפוך לכיוון של אי השוויון בין החזקות. דוגמה לכך היא $\ \left( \frac{1}{2} \right)^x$ . ככל ש- $\ x$ יהיה יותר גדול, כך נכפול את החצי בעצמו יותר פעמים, מה שיקטין את התוצאה. למשל, אם נציב 2, נקבל 0.25, בעוד אם נציב 3 נקבל 0.125 (וכך הלאה).

נראה זאת בצורה מעט יותר סכמתית:

הרעיון הכללי בפתרון אי שוויונות מעריכיים
הבסיס ( $\ x$ )		$\ x > 1$	$\ 0 < x < 1$
בכלליות	תנאי	$\ a_1>a_2$	$\ a_1>a_2$
בכלליות	תוצאה	$\ x^{a_1}>x^{a_2}$	$\ x^{a_1}<x^{a_2}$
דוגמה	תנאי	$\ x=3$	$\ x=0.5$
דוגמה	תוצאה	$\ 3^5 > 3^3$ $\ 243 > 27$	$\ 0.5^5 < 0.5^3$ $\ 0.03125 < 0.125$

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] דוגמה א'

התרגיל:

$\ \left( \frac{1}{16}\right)^{x^2-3x}<\left( \frac{1}{4} \right) ^{-4.5}$

נראה כאן שתי דרכי פתרון לתרגיל.

[עריכה] דרך פתרון ראשונה

אנו שמים לב כי $\ \left( \frac{1}{16} \right)$ שווה ל- $\ \left( \frac{1}{4} \right) ^2$ . מכאן:

$\ \left( \frac{1}{4} \right) ^{2(x^2-3x)}<\left( \frac{1}{4} \right) ^{-4.5}$

הגענו לשלב בו הבסיסים זהים. הבסיס (המשותף) קטן מ-1: $\ 0 < \left( \frac{1}{4} \right) < 1$ .
לכן, הכיוון של אי-השוויון של המעריכים הפוך לכיוון של אי-השוויון היסודי. לפי כך, נמשיך את פתרון התרגיל:

$\ 2(x^2-3x)>-4.5$

$\ 2x^2-6x>-4.5$
$\ 2x^2-6x+4.5>0$

$\ x^2-3x+2.25>0$

לפנינו נוסחה לביטוי ריבועי (הנוסחה השנייה). מכאן:

$\ (x-1.5)^2>0$
$\ x \ne 1.5$

וזהו הפתרון.

[עריכה] דרך פתרון שנייה

בדרך פתרון זו, אנו נהפוך את שתי החזקות, לחזקות עם בסיסים שלמים:

$\ \left( \frac{1}{4^2} \right)^{x^2-3x} < \left( \frac{1}{4} \right)^{-4.5}$

לפי חוקי חזקות (חוק של חזקה במכנה), נקבל:

$\ (4^{-2})^{x^2-3x}<(4^{-1})^{-4.5}$

נמשיך לפתור ע"פ חוקי חזקות:

$\ 4^{-2(x^2-3x)} < 4^{4.5}$

הבסיסים שווים. מכיוון שהבסיס (המשותף) גדול מ-1, $\ 4>1$ , אז כיוונו של אי-השוויון של המעריכים יהיה זהה לכיוונו של אי-השוויון היסודי:

$\ -2(x^2-3x)<4.5$

$\ -2x^2+6x<4.5$

$\ 2x^2-6x+4.5>0$

לפנינו נוסחה לביטוי ריבועי (הנוסחה השנייה). מכאן:

$\ (x-1.5)^2>0$
$\ x \ne 1.5$

וזהו הפתרון.

[עריכה] דוגמה ב'

$\ (3-x)^{3x}>(3-x)^{x^2}$

כאן, המשתנה מופיע הן במעריכי החזקות והן בבסיסיהן. לכן, יש לבדוק את תחום ההגדרה. בתחום ההגדרה נכללים רק בסיסים חיוביים. מכיוון שהבסיס זהה בשתי החזקות, נבדוק מתי הוא חיובי:

$\ 3-x>0$
$\ x<3$

זהו תחום ההגדרה. כעת ניגש לפתרון התרגיל. מכיוון שאין אנו יודעים אם הבסיס גדול מ-1, או קטן מ-1 (וגדול מ-0 על-פי תחום ההגדרה). לכן, יש להפריד בין שני המקרים: