מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חוקי החשבון/חזקות ושורשים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | אלגברה תיכונית | חוקי החשבון(הופנה מהדף אלגברה תיכונית/חוקי החשבון/חזקות ושורשים)

תוכן עניינים

1 שורשים פשוטים
- 1.1 שורש ריבועי
- 1.2 שורש מסדר n
2 חזקות של מספרים רציונליים
3 שורשים של מספרים שליליים ומעריכים אי-רציונליים

[עריכה] שורשים פשוטים

[עריכה] שורש ריבועי

לפעולת השורש קרבה גדולה לפעולת החזקה. למעשה קיימות שתי פעולות אשר ניתן לומר עליהן שהן פעולות ההפוכות לחזקה. פעולה אחת היא פעולת הלוגריתם, אשר לא נדון בה כעת, והשניה היא הפעולה ההפוכה להעלאת בסיס בחזקה עם מעריך מסויים. זוהי פעולת השורש. השורש הנפוץ והשימושי ביותר הינו כמובן השורש הריבועי. שורש זה הוא הפעולה ההפוכה להעלאה בריבוע (חזקת 2). אילו העלינו מספר כלשהו, למשל 3 בריבוע, הפעולה שהיתה מחזירה את התוצאה חזרה ל-3 הינה פעולת השורש הריבועי. את פעולת השורש הריבועי של $a$ מסמנים כך

$\sqrt{a}$

על מנת לנסות להמחיש את הפעולה לאשורה, ניקח למשל את המספר 25. ננסה למצוא שורש למספר זה. מכיוון שאנו כבר יודעים מראש ש-25 הוא מכפלה של 5 בעצמו, או במילים אחרות 5 בריבוע, הרי ששורש שלו הוא 5. כלומר

$\sqrt{25}=5$

זאת מכיוון ש

${(\sqrt{25})}^2={5}^{2}=25$

[עריכה] שורש מסדר $n$

השורש הריבועי הוא רק מקרה פרטי של שורשים. ניתן להעלות מספר בחזקת כל מספר טבעי. לכן, לכל מספר טבעי גם קיים שורש מהסדר שלו. לשורש זה קוראים שורש n-י. כלומר, לו הייתי מחפש שורש למספר שהועלה בשלישית הייתי מחפש שורש שלישי. שורש זה מסומן כך

$\sqrt[n]{a}$

כלומר פעולת השורש מסדר n צריכה לקיים

${(\sqrt[n]{a})}^{n}={a}^{1}=a$

אנו כבר יכולים לנחש שאילו היינו רוצים לייצג את פעולת שורש כפעולה של חזקה (כשם שהחילוק היא למעשה פעולה של הכפל כלומר כפל בהופכי) היינו רוצים למצוא חזקה נכונה שתתאים לחוקי החזקות הקודמים שמצאנו ועדיין תקיים את כל התכונות של השורש. למזלנו, חזקה כזו כבר נמצאה, ולכן השורש כחזקה מוגדר באופן הבא

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$

לדוגמא, שורש ריבועי ניתן גם לסמן כך

$\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$

לדוגמא, בעזרת חוקי החזקה ניתן לחשב את השורש של 256 כך

$\sqrt{256}=256^{\frac{1}{2}}={(2^{8})}^{\frac{1}{2}}={2^{8\cdot{\frac{1}{2}}}}=2^4=16$

הערה: נשים לב, שבמקרה שמדובר בשורש מסדר זוגי, קיימים שני מספרים אשר יכולים להתאים כתשובה לשאלה "איזה מספר בריבוע נותן את המספר שבשורש". אחד חיובי והשני שלילי. במובן של "מי באמת השורש" שתי התשובות נכונות. מכיוון שבמתמטיקה מעוניינים לחקור יותר לעומק את התכונות של השורשים הללו, כאשר מדובר בשורשים של מספרים ממשיים, אנו מקבלים את התשובה החיובית בלבד. זוהי הגדרה. אין להבין מכך שהשורש השלילי איננו שורש מחד, אך אין להציגו בחישוב שורשים מאידך. לסיכום, התוצאה של פעולת השורש מסדר זוגי, היא תמיד חיובית (במספרים הממשיים).

[עריכה] חזקות של מספרים רציונליים

כזכור, מספרים רציונליים הינם מספרים אשר ניתן להציגם כמנה של מספרים שלמים (יתכן שליליים). קבוצה זו של מספרים מסומנת במתמטיקה באות המיוחדת $\mathbb Q$ . למשל חצי או שליש או שני שליש הינם כולם מספרים רציונליים. כעת התקרבנו צעד נוסף לקראת הגדרת החזקה לכל מעריך. למעשה בעזרת הגדרת השורש כחזקה עם מעריך מסויים הגדרנו (בעזרתם של חוקי החזקה הנותרים) גם את החזקה לכל מעריך רציונלי. בזאת ניתן להווכח אם נתבונן במספר רציונלי כלשהו, למשל $r$ . את המספר הזה ניתן להציג כיחס של שני מספרים שלמים, אחד במונה והשני במכנה. נסמנם ב- $n$ וב $m$ בהתאמה. לכן ניתן לכתוב את המספר שלנו כך

$r=\frac{n}{m}$

ומהסימונים שלנו ניתן גם לקבל ש

$a^{r}=a^{\frac{n}{m}}$

מכאן לפי חוקי החזקות לעיל ניתן גם להסיק את השוויון הבא.

$a^r=a^{\frac{n}{m}}=a^{\frac{1}{m}\cdot{n}}={(a^{\frac{1}{m}})}^n={(\sqrt[m]{a})}^n$

כאשר ידוע ש a הוא מספר חיובי אז גם מתקיים

${\left(\sqrt[m]{a}\right)}^n=\sqrt[m]{a^n}$

אנו ממליצים למשתמש בספר זה להתבונן היטב ולוודא שהוא אכן מבין את כל אחד מהמעברים.

[עריכה] שורשים של מספרים שליליים ומעריכים אי-רציונליים

שורשים של מספרים שליליים מוגבלים לשורשים מסדר אי-זוגי, למשל 3,5 וכו'. זאת מכיוון שלא קיים מספר ממשי אשר כאשר מעלים אותו בריבוע מביא לתוצאה שלילית. מסיבה זו, גם חזקות של מעריכים לא שלמים מוגבלות באותו אופן. ההגדרה המדוייקת של חזקה של מספר אי-רציונלי אינה חלק מהחומר אשר אנו מקווים לכסות בספר זה. נדגיש כאן, עם זאת, שהעלאת מספר בחזקה אי רציונלית מוגדרת רק עבור בסיס אי שלילי.

הפרק הקודם:
חוקי חשבון חזקות

חזקות ושורשים
תרגילים

הפרק הבא:
סוף הכרך

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חוקי החשבון/חזקות ושורשים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

[עריכה] שורשים פשוטים

[עריכה] שורש ריבועי

[עריכה] שורש מסדר $n$

[עריכה] חזקות של מספרים רציונליים

[עריכה] שורשים של מספרים שליליים ומעריכים אי-רציונליים

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חוקי החשבון/חזקות ושורשים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

[עריכה] שורשים פשוטים

[עריכה] שורש ריבועי

[עריכה] שורש מסדר n

[עריכה] חזקות של מספרים רציונליים

[עריכה] שורשים של מספרים שליליים ומעריכים אי-רציונליים

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא

[עריכה] שורש מסדר $n$