מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חוקי החשבון/חוקי חשבון חזקות

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | אלגברה תיכונית | חוקי החשבון(הופנה מהדף אלגברה תיכונית/חוקי החשבון/חוקי חשבון חזקות)

דף זה מועמד לאיחוד
ערך זה דן בנושא של הדף [[: מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/שאלון ה/אלגברה/חוקי חזקות]] וככל הנראה מוסיף עליו מידע. על כן יש לאחד את שני הדפים. (דיון)

חזקות הן מעין הכללה של פעולת הכפל, ומאפשרות לכתוב ביטויים מסובכים בצורה פשוטה.

תוכן עניינים

1 סימון חזקות
2 משמעות החזקה
- 2.1 חזקה עם מעריך טבעי
3 פעולות על חזקות
- 3.1 חיבור וחיסור מעריכים בחזקות
- 3.2 חזקה של חזקה
4 חזקות שאינן חיוביות
- 4.1 חזקות של המעריך 0
- 4.2 חזקות עם מעריך שלילי
5 סיכום

[עריכה] סימון חזקות

את החזקה מסמנים כמעין אינדקס עליון למספר (או משתנה). לדוגמא, אם נרצה לכתוב 3 בחזקת 5 יש לכתוב זאת כך:

$\ 3^{5}$

במקרה זה נקרא את זה כ-3 בחזקת 5. ה-5 יקרא מעריך החזקה, ואילו ה-3 יקרא הבסיס שלה. אם המעריך הוא 2 אז אומרים בריבוע ואם הוא 3 או 4 אז אומרים בשלישית או ברביעית וכו'.

[עריכה] משמעות החזקה

[עריכה] חזקה עם מעריך טבעי

אם המעריך של חזקה הוא מספר טבעי (דוגמת 1,2,3... וכו') אז נגדיר את החזקה להיות הבסיס כפול עצמו כמספר הפעמים שכתוב במעריך. לדוגמא, אם כתוב $\ 3^{4}$ אז למעשה עלינו לכפול את 3 בעצמו 4 פעמים על מנת לקבל את הערך של החזקה. כלומר:

$\ 3^{4}=3 \times 3 \times 3 \times 3$

על כן, כאשר מדובר בחזקה עם מעריך טבעי $\ n$ ובסיס $\ a$ נקבל

$\ a^{n}= \underbrace{ a\times{a}\times{a}\cdots\times{a} }_{n\;\;times}$

כדוגמא נחשב כמה חזקות

$\ 5^{3}=5\times{5}\times{5}=125$
$2^{8}=2\times{2}\times\cdots\times{2}=256$
$(-1)^{3}=(-1)\times{(-1)}\times{(-1)}=(-1)$

וכן הלאה.

[עריכה] פעולות על חזקות

[עריכה] חיבור וחיסור מעריכים בחזקות

כאשר החזקות הן בעלות אותו הבסיס, כפל של שתי חזקות מביא לחיבור/חיסור המעריכים כלומר

$a^{2}\cdot{a}^{4}=a^{2+4}=a^{6}$

או באופן כללי

${a}^{b}\cdot{a}^{c}=a^{b+c}$

באופן דומה, חילוק שתי חזקות יביא לחיסור המעריכים.

$\frac{{a}^{b}}{{a}^{c}}={a}^{b-c}$

נשים לב שחיסור חזקות יוכל להביא לכך שהמעריך יהיה אפס או מספר שלילי. לכן נראה בהמשך כיצד ניתן להגדיר חזקות עם מעריך שאינו מספר חיובי בצורה שתהיה אחידה עם החוק שהצגנו כאן.

[עריכה] חזקה של חזקה

נבדוק מה קורה במקרה של חזקה של חזקה. למשל במקרה של

${\left(a^{b}\right)}^{c}$

על מנת לפתור את השאלה, נשתמש בחוקי חזקות

שכבר למדנו, לכפל של שתי חזקות עם אותו בסיס

.

${\left(a^{b}\right)}^{c}= \underbrace{ {\left(a^{b}\right)} \times{\left(a^{b}\right)}\cdots{\left(a^{b}\right)} }_{c\;\;times} = a^{\overbrace{b+b+b \cdots b}^{c\;\;times}} = a^{b\cdot c} = {\left(a^{c}\right)}^{b}$

[עריכה] חזקות שאינן חיוביות

[עריכה] חזקות של המעריך 0

חזקות אלו לפי ההגדרה תמיד שוות 1 לבסיס שונה מ-0. כלומר, לכל $\ a\ne 0$ מתקיים $\ a^0=1$ .

כדי להבין את המניע להגדרה הזו ניזכר בחוק החיסור של המעריכים. לכל $\ a\ne 0$ ועבור $\ n>0$ כלשהו מתקיים $\ \frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^{0}$ והרי $\ \frac{a^n}{a^n}=1$ כי המונה והמכנה שווים.

בהצדקה הזו לא ניתן להשתמש כאשר הבסיס הוא 0, ואכן לרוב הביטוי $\ 0^0$ נותר בלתי מוגדר. עם זאת נוח במקרים מסויימים להגדיר אותו בתור 1 גם כן. לא נציג כאן מקרים אלו.