מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי שיויונות/אי שיויונות עם שורשים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | אלגברה תיכונית | אי שיויונות(הופנה מהדף אלגברה תיכונית/אי שיויונות/אי שיויונות עם שורשים)

תוכן עניינים

1 תחומי הגדרה וסימונים
2 העלאה בריבוע
3 סימני אגפים ידועים
- 3.1 דוגמה
4 סימני אגפים לא ידועים
- 4.1 המרה לסימני אגפים ידועים
  - 4.1.1 דוגמה
- 4.2 חלוקה למקרים
  - 4.2.1 דוגמה

[עריכה] תחומי הגדרה וסימונים

ראשית ניזכר כי $\sqrt{x}$ מוגדר רק עבור x שאינו שלילי (כל עוד מדברים על מספרים ממשיים). לכן, לדוגמה, $\sqrt{9}$ מוגדר, אך $\sqrt{-9}$ איננו. כאשר מופיע שורש בתוך אי-שוויון כלשהו, נניח $\sqrt{f}$ (כאשר f הוא ביטוי כלשהו), אז צריך לזכור שתחום ההגדרה של האי-שוויון אינו כולל תחום שעבורם f שלילי.

עכשיו תורך:

מה תחום ההצבה של:

$\ \sqrt{x+1}<\sqrt{3-2x}$

פיתרון

$\ x+1 \ge 0$ וגם $3-2x \ge 0$
$\Updownarrow$
$\ x \ge -1$ וגם $x \le 1.5$
$\Updownarrow$
$\ -1 \le x \le 1.5$

כעת נניח $x > 0$ כלשהו. אז יש לו שני שורשים הפוכים בסימנם. לדוגמה, 3 הוא שורש ריבועי של 9, אבל גם $- 3$ הוא שורש ריבועי של 9. ישנה מוסכמה לפיה $\sqrt{x}$ היא סימון לשורש החיובי. כדי לציין את השורש השלילי, יש לכתוב $-\sqrt{x}$ .

[עריכה] העלאה בריבוע

כאשר באי שוויון עצמו מופיע שורש, טכניקת הפתרון היא לרוב העלאה בריבוע: מעלים בריבוע את שני אגפיו. כאשר עושים זאת, חשוב לשים לב מה קורה לסימנו של האי-שוויון:

אם כל אחד מאגפיו חיובי, הסימן נשאר.
אם כל אחד מאגפיו שלילי, הסימן מתהפך.

צריך לטפל בזהירות במקרים בהם אי אפשר לקבוע בוודאות את סימני כל אחד מהאגפים.

שאר הדף מסביר עוד על טכניקת ההעלאה בריבוע.

[עריכה] סימני אגפים ידועים

כאשר סימני האגפים ידועים, פשוט מעלים בריבוע (והופכים את הסימן אם יש צורך).

[עריכה] דוגמה

פתור את אי השוויון:

$\ \sqrt{x+1}<\sqrt{3-2x}$

כבר ראינו מקודם שתחום ההגדרה הוא

$\ -1 \le x \le 1.5$

כדי לפתור את אי השוויון, נשים לב ששני אגפיו אינם שליליים, ולכן נוכל להעלות בריבוע את אגפיו ולשמור על הסימן:

$\ x+1<3-2x$
$\Updownarrow$
$\ 3x<2$
$\Updownarrow$
$\ x< \frac{2}{3}$

כל שנותר הוא לחתוך את מה שקיבלנו כאן עם תחום ההגדרה:

$-1 \le x \le 1.5$ וגם $x< \frac{2}{3}$
$\Updownarrow$
$-1 \le x < \frac{2}{3}$

וזהו הפתרון.

[עריכה] סימני אגפים לא ידועים

לפעמים סימני האגפים אינם ידועים. נתבונן, לדוגמה בבעיה הבאה:

$\ \sqrt{x-4}-2 < \sqrt{x-1}$

קל למצוא את תחום ההצבה:

$\ x-4 \ge 0$ וגם $x-1 \ge 0$
$\Updownarrow$
$\ x \ge 4$ וגם $x \ge 1$
$\Updownarrow$
$\ x \ge 4$

קל גם לראות שאגף ימין אינו שלילי. אגף שמאל, לעומת זאת, יכול להיות שלילי או חיובי - קשה לקבוע זאת.

כאשר סימני האגפים אינם ידועים, אפשר לעשות אחת משתי אפשרויות: אפשר להמיר את הבעיה למצב בו הסימנים ידועים, או שאפשר להשתמש בחלוקה למקרים.

[עריכה] המרה לסימני אגפים ידועים

לפעמים סימני האגפים אינם ידועים, אך אפשר להמיר את הבעיה לבעיה עם סימני אגפים ידועים.

[עריכה] דוגמה

$\ \sqrt{x-4}-2 < \sqrt{x-1}$

בעלת סימן לא ידוע באגף השמאלי. נעביר את ה-2 לאגף ימין, בכך סימנו ישתנה לפלוס ובכך תיפתר הבעיה: שני האגפים יהיו אי-שליליים בהכרח.

$\ \sqrt{x-4} < \sqrt{x-1}+2$
$\Updownarrow$
$\ x-4 < x - 1 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x-1} + 4$
$\Updownarrow$
$\ x-4 < x +3 + 4 \cdot \sqrt{x-1}$
$\Updownarrow$

$\ -7 < 4 \cdot \sqrt{x-1}$

כאן אגף שמאל שלילי, ואגף ימין אי-שלילי. לכן האי-שוויון מתקיים תמיד (בתחום ההצבה). הפתרון לבעיה, אם כן, הוא חיתוך כל המספרים עם תחום ההצבה, או, באופן פשוט, תחום ההגדרה.

[עריכה] חלוקה למקרים

גישה נוספת לפתרון במקרה שאגף כלשהו בעל סימן לא ידוע, הוא לחלק את הבעיה לכל אחד מהמקרים האפשריים. כלומר, יש לבדוק מה קורה כשהאגף שלילי, ומה קורה כשהאגף חיובי.

[עריכה] דוגמה

נתבונן שוב באי השויון

$\ \sqrt{x-4}-2 < \sqrt{x-1}$

קל לראות שאגף ימין חיובי תמיד (נמצא בו רק שורש). לעומת זאת, אין אנו יודעים מה סימנו של אגף שמאל. לכן, נניח שתי הנחות לגביו:

נניח שאגף שמאל שלילי, כלומר $\ \sqrt{x-4}-2 < 0$ . המשמעות היא שעבור כל ערך של $\;x$ המקיים את הביטוי $\ \sqrt{x-4}-2 < 0$ (מיד נבדוק אלו ערכים אלו) אגף שמאל יהא שלילי! לכן, נקבל שעבור כל ערך של $x$ המתאים לביטוי $\ \sqrt{x-4}-2 < 0$ אי השוויון המקורי מתקיים (משום שאגף ימין החיובי תמיד גדול מאגף שמאל השלילי). נפתח את הביטוי כדי לראות באילו ערכים מדובר:

$\ \sqrt{x-4}<2$
$\Updownarrow$
$\ x-4<2^2$
$\Updownarrow$
$\ x<8$

כלומר עבור כל ערך של $\;x$ שקטן משמונה, נקבל שאגף שמאל של אי השוויון המקורי הוא שלילי ומכיוון שאגף ימין תמיד אי-שלילי, אי השוויון כולו מתקיים.

אם אגף שמאל אי-שלילי (למה בחרנו דוקא אי-שלילי?), כלומר $\ \sqrt{x-4}-2 \ge 0$ , אזי שני האגפים יהיו חיוביים ונוכל להעלות את הביטוי בריבוע. ראשית נבדוק באילו ערכים מדובר:

$\ \sqrt{x-4} \ge 2$
$\Updownarrow$
$\ x-4 \ge 4$
$\Updownarrow$
$\ x \ge 8$

כעת נעלה את אי השוויון המקורי בריבוע:

$\ x-4-2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x-4}+4<x-1$
$\Updownarrow$
$\ x-4 \cdot \sqrt{x-4}<x-1$
$\Updownarrow$
$\ -4 \cdot \sqrt{x-4}<-1$
$\Updownarrow$
$\ 4 \cdot \sqrt{x-4}>1$
$\Updownarrow$
$\ \sqrt{x-4}> \frac{1}{4}$
$\Updownarrow$
$\ x-4>\frac{1}{16}$
$\Updownarrow$
$\ x>4\frac{1}{16}$

כעת נחתוך את הערכים בהם מדובר כאן (סעיף זה) עם התוצאה ונקבל:

$x \ge 8$ וגם $x>4\frac{1}{16}$
$\Updownarrow$
$x \ge 8$

כעת יש לאחד את שני הפתרונות שיצאו משתי ההנחות (שיחד משלימות לכל ציר המספרים) בקשר של או:

$x \ge 8$ או $\;x<8$

כלומר כל $x$ , או בסימון שונה: $x\in\mathbb{R}$ .
זהו פתרון אי-השוויון לאחר העלאה בריבוע, ולכן יש לחזור לתחום ההצבה שחישבנו לפני ההעלאה בריבוע (כמו במשוואות, גם באי-שיויונות העלאה בריבוע מוסיפה פתרונות). נקבל שהפתרון הוא חיתוך של $x\in \mathbb{R}$ עם תחום ההצבה שחישבנו בתחילת הדוגמא, וזה בדיוק תחום ההצבה.

כדאי לדעת:

שיטת פתרון זו היא מעט מסובכת יותר, אך לא תמיד ניתן לפתור אי-שוויון בעזרת העלאה בריבוע. במקרים מסויימים, עלינו לחלק למקרים ולעיתים שיטה זו פשוטה יותר משיטות אחרות.

הפרק הקודם:
אי שוויונות ממעלה שנייה

אי שיויונות עם שורשים
תרגילים

הפרק הבא:
אי שוויונות עם ערך מוחלט

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי שיויונות/אי שיויונות עם שורשים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

[עריכה] תחומי הגדרה וסימונים

[עריכה] העלאה בריבוע

[עריכה] סימני אגפים ידועים

[עריכה] דוגמה

[עריכה] סימני אגפים לא ידועים

[עריכה] המרה לסימני אגפים ידועים

[עריכה] דוגמה

[עריכה] חלוקה למקרים

[עריכה] דוגמה

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא