מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי שיויונות/אי שיויונות עם שברים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | אלגברה תיכונית | אי שיויונות(הופנה מהדף אלגברה תיכונית/אי שיויונות/אי שיויונות עם שברים)

[עריכה] אי שיויונות עם שברים

בפרק זה נראה כיצד ניתן לפתור אי-שוויונות בהם יש שברים, כאשר המשתנה מופיע גם במכנה.

בתור דוגמה ניקח את התרגיל:

$\ \frac{x+2}{x-3} \ge -4$

תחילה כמו בכל פתרון של אי-שיויון או משוואה עלנו לשים לב ולרשום במדויק את תחום ההצבה של אי-השיויון: $\ x \ne 3$ , משום שכאשר ערכו של איקס הוא 3, אזי במכנה יהיה 0 ואז אי-השוויון יהא לא מוגדר.
באנלוגיה למשוואות נדמה שכדאי לכפול את אי-השוויון ב- $\;(x-3)$ כדי להיפטר מהמכנה. צורה זו אינה מותרת מכיוון ש $\;(x-3)$ יכול לקבל ערכים שליליים, מה שיהפוך את הסימן של אי השיויון. ניתן כמובן להפריד למקרים בהם המכנה $\;(x-3)$ שלילי ולמקרים בהם המכנה חיובי, אך דרך זו ארוכה יותר וטומנת יותר פחים שבהם אנו יכולים ליפול. ננצל, אם כן, מעין תכסיס שמקובל לעשות בהרבה מקרים של אי-שיויונות. כדי לפתור את הבעיה נכפיל את שני אגפי אי-השוויון ב- $\ (x-3)^2$ . ביטוי ריבועי זה הוא תמיד חיובי (3 אינו בתחום הגדרה - אחרת אסור לכפול ב-0 גם במקרה של אי-שיויונות), ולכן סימן אי השוויון נותר על כנו. נמשיך את הפתרון מנקודה זו:

$\ \frac{(x+2) \cdot(x-3)^2}{(x-3)} \ge -4(x-3)^2$

(הערה: בשלב זה ניתן להעביר אגף אחד לאגף השני, לשנות את סימנו ולהוציא גורם משותף. כאן נראה את הדרך הפשוטה)

$\ (x+2)(x-3) \ge -4(x^2-6x+9)$

$\ x^2+2x-3x-6 \ge -4x^2+24x-36$

$\ x^2-x-6 \ge -4x^2+24x-36$

$\ 5x^2-25x+30 \ge 0$

$\ x^2-5x+6 \ge 0$

$\ x_1=2 \quad x_2=3$

פתרון: $\ x \ge 3$ או $x \le 2$

אבל, תחום ההגדרה אומר ש-3 איננו פתרון, ולכן הפתרון הוא:
$\ x > 3$ או $x \le 2$

לסיום, סיכום והערות:

לסיכום, הטכניקה היא הכפלת אי-השוויון במכנה בריבוע (כדי שיווצר ביטוי חיובי). משם פותרים רגיל.
יש לשים לב כי מכפילים את שני האגפים בריבוע, ולא בטעות רק אחד מהם.
יש לשים לב שתחום ההגדרה אינו נכלל בפתרון. הכללת תחום ההגדרה מהווה שגיאה חמורה.

ישנה שיטה נוספת לפתרון אי שוויונות עם שברים:
מביאים את אי-השוויון למצב בו באחד האגפים יהיה 0, ואז על האגף עם התוכן עושים מכנה משותף כך שנוצר שבר אחד בלבד. לאחר מכן, מכפילים במכנה בריבוע (ואז בצד של ה-0 נשאר 0, והדבר מקל על הפתרון). בנוסף, במקום להכפיל במכנה בריבוע, ניתן להשתמש בכלל: שבר הוא חיובי אם המכנה והמונה שלו הם שווי סימן, והוא שלילי אם הם שוני סימן. נראה כאן דוגמה לכל אחת מן השיטות האחרונות: להדגמת שיטה זו נביא כאן שתי דוגמאות, אחת בה המשתנה במעלה ראשונה, ואחת בה המשתנה ממעלה שנייה.

[עריכה] דוגמא 1

פתרו את אי השוויון:

$\ \frac{x+2}{x-3} \ge -4$

פתרון:

$\ \frac{x+2}{x-3}+4 \ge 0$

$\ \frac{x+2}{x-3}+\frac{4(x-3)}{x-3} \ge 0$

$\ \frac{(x+2)+4(x-3)}{x-3} \ge 0$

$\ \frac{x+2+4x-12}{x-3} \ge 0$

עכשיו מכפילים במכנה בריבוע:

$\ \frac{5x-10}{x-3} \ge 0 \;\;\;\;\;/\cdot(x-3)^2$

$\ (5x-10)(x-3) \ge 0$

$\ x>3$ או $\ x \le 2$

[עריכה] דוגמא 2

פתרו את אי השיויון:

$\ \frac{x^2-9}{x+4} \le 0$

פתרון: נפתור את התרגיל בעזרת חלוקה למקרים. כדי שהשבר יהיה שלילי (רק שלילי) יש שתי אפשרויות:

$\ x^2-9<0\quad and\quad x+4>0$
$\ x^2-9>0\quad and\quad x+4<0$

נפתור את שתי האפשרויות בנפרד, ולבסוף נפעיל בין הפתרונות שלהן קשר או:

$\ Option\ A\ :$

$\ (x-3)(x+3)<0\quad and\quad x>-4$

$\ -3<x<3\quad and\quad x>-4$

$\ -3<x<3$

$\ Option\ B\ :$

$\ (x-3)(x+3)>0\quad and\quad x<-4$

$\ x>3\ or\ x<-3\quad and\quad x<-4$

$\ x<-4$

לכן הפתרון של שליליות השבר הוא: $\ -3<x<3\quad or\quad x<-4$
כמו-כן, יש לבדוק מתי השבר מתאפס (כך נתבקשנו) ולכן:

$\ \frac{x^2-9}{x+4}=0$

$\ x^2-9=0$

$\ x_1=-3\quad x_2=3$

ולכן הפתרון הסופי הוא:

$\ x<-4\quad or\quad -3 \le x \le 3$