מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי שיויונות/אי שיויונות ממעלה שנייה

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | אלגברה תיכונית | אי שיויונות(הופנה מהדף אלגברה תיכונית/אי שיויונות/אי שיויונות ממעלה שנייה)

תוכן עניינים

1 פתרון אי שוויונות ממעלה שנייה
- 1.1 השיטה לפתרון
- 1.2 אי-שוויונות ריבועיים מיוחדים
  - 1.2.1 דוגמה 1
  - 1.2.2 דוגמה 2

[עריכה] פתרון אי שוויונות ממעלה שנייה

שיטות הפתרון של אי שוויונות ממעלה שניה שיוצגו פה מתבססות על ידע בסיסי מוקדם בחשבון דיפרנציאלי ואיטגרלי. הידע הנדרש הוא הכרה (בלבד) של פרבולה (במובן של פונקציה ריבועית).

לפתרון אי-שוויונות ממעלה שנייה ישנה טכניקה שונה מהטכניקה לפתרון אי-שוויונות ממעלה ראשונה. הטכניקה לפתרון אי-שוויונות ריבועיים היא לצייר בקירוב גס את הפונקציה (על ציר ה- $\;x$ בלבד- הסבר בהמשך), ולראות מתי היא קטנה או גדולה מאפס. ניקח דוגמה:
$\ 2x^2-8x<-6$
ראשית נפשט את הביטוי ונעביר את כל האיברים לאגף אחד בלבד. כדאי ורצוי להעביר לאגף בו המקדם של $\ x^2$ (a) חיובי (שיקולי נוחות).

$\ 2x^2-8x+6<0$
$\Updownarrow$
$\ x^2-4x+3<0$

כעת מה שנעשה הוא שלב עזר. נשווה את הביטוי שבאגף שמאל לאפס (משוואה), ונמצא את שורשי המשוואה.

$\ x^2-4x+3=0$

$\ x_{1,2}=\frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot 1\cdot 3}}{2\cdot 1}=\frac{4 \pm \sqrt{4}}{2}=\frac{4 \pm 2}{2}$

$\ x_1=\frac{4+2}{2}=3$
$\ x_2=\frac{4-2}{2}=1$

עכשיו משמצאנו את שורשי המשוואה, נוכל לשרטט את הפונקציה בקירוב גס (ואין צורך ביותר מזה):

כעתן ניתן לראות, שהביטוי לעיל קטן מ-0 (כי ביקשו קטן) כאשר ערכי איקס הינם בין 1 ל-3. כלומר פתרון אי-השוויון הוא:
$\ 1<x<3$
לחליפין אם היו שואלים מתי אי-השוויון המפורש (לאחר שפישטנו אותו) גדול מ-0, אזי הפתרון היה $\ x>3\$ או $\ x<1$ .

[עריכה] השיטה לפתרון

שלבי הפתרון של אי-שוויון ריבועי:

מפשטים את אי-השוויון למצב שכל האיברים באגף מסוים.
אם יש צורך, מכפילים את המשוואה ב-(1-) כדי שהמקדם של $\ x^2$ יהיה חיובי.
משווים ל-0 ומוצאים את שורשי המשוואה ( $\ x_1$ ו- $\ x_2$ ).
משרטטים ציר איקס בלבד, מסמנים עליו את השורשים, ומשרטטים פרבולה ישרה ("מחייכת") (היא ישרה כי דאגנו שהמקדם של האיקס בריבוע יהא חיובי. אלמלא דאגנו לכך, כי אז היה צורך לצייר את הפרבולה הפוכה).
בודקים איזה תחום נדרש מאיתנו (גדול או קטן מאפס) ומוצאים את התחום הזה בגרף.
רושמים את הפתרון.

כאשר אנו נדרשים להתיר אי שוויון ריבועי וחישבנו ומצאנו כי שורשי הביטוי הריבועי הם $\ x_1$ ו- $\ x_2$ . בהנחה ש- $\ x_1>x_2$ אזי:
א. אם הביטוי הריבועי קטן מאפס אזי הפתרון הוא מערכת וגם: $\ x_2<x<x_1$ ב. אם הביטוי הריבועי גדול מאפס אזי הפתרון הוא מערכת או: $\ x>x_1$ או $\ x<x_2$

ניתן להבין את קביעה זו לפי הגרף הבא:

[עריכה] אי-שוויונות ריבועיים מיוחדים

לעתים מופיעים תרגילים בהם נדרשת הוכחה כי אי-שוויון מסוים מתקיים לכל ערך של איקס, או לא מתקיים עבור אף ערך של איקס וכו'. בסעיף זה נלמד כיצד לפתור שאלות מסוג זה.
מלימודינו בחשבון דיפרנציאלי ראינו כי המקדם של $x 2$ מלמד על צורתה של הפרבולה: ישרה ("מחיכת") או הפוכה ("בוכה/עצובה"). נלמד כעת תכונה נוספת של ביטויים ריבועיים:
כידוע, הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית היא $\ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ . הביטוי שנמצא מתחת לשורש ( $\ b^2-4ac$ ) נקרא דיסקרימיננטה ומסומן באות היוונית- $\ \Delta$ (ד'לתא). לדלתא משמעות רבה לגבי צורת הגרף:

כאשר הדיסקרימיננטה גדולה מאפס, לגרף של הביטוי הריבועי יש שתי נקודות חיתוך עם ציר האיקס.
כאשר הדיסקרימיננטה שווה לאפס, לגרף של הביטוי הריבועי יש נקודת חיתוך אחת עם ציר האיקס (הגרף בעצם משיק לציר האיקס).
כאשר הדיסקרימיננטה קטנה מאפס, לגרף של הביטוי הריבועי אין נקודות חיתוך עם ציר האיקס.

כאשר יודעים את המקדם של ה- $a$ של $\ x^2$ ואת הדיסקרימיננטה, ניתן לשרטט (באופן סכמטי, אך אין צורך ביותר מזה) את גרף הפונקציה. שרטוט גרף הפונקציה בעזרת מרכיבים אלו מאפשר לנו להוכיח ולפתור אי-שוויונות מעט יותר מורכבים. דוגמאות:

[עריכה] דוגמה 1

הוכח כי אי-השוויון $\ x^2-2x+1 \ge 0$ מתקיים עבור כל ערך של איקס (ניסוחים אחרים: נכון עבור כל איקס, נכון תמיד, סימון: $x\in\mathbb{R}$ ).
לפתרון שאלה זו שתי דרכים:
א. הדרך הרלוונטית לנו: שרטוט הגרף. בכדי לשרטט את הגרף נזדקק לשני נתונים הכרחיים: $\;a$ והדיסקרימיננטה. נוכל לראות כי $\ a=1>0$ , כלומר הפרבולה ישרה. שנית, נחשב את הדיסקרימיננטה:
$\ \Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot 1=4-4=0$
קיבלנו כי הדיסקרימיננטה שווה לאפס, כלומר לגרף הפונקצייה נקודה אחת משותפת עם ציר ה- $\;x$ (הגרף משיק לציר ה- $\;x$ ). במונחים של משוואות, למשוואה יש רק פתרון אחד. כעת נוכל לשרטט באופן סכמטי את גרף הפונקציה:

מכאן נוכל לראות שאכן הביטוי הריבועי תמיד גדול או שווה ל-0 (הוא תמיד מעל (או על) ציר $\;x$ ).

ב. דרך שנייה היא לאלו מבינינו ששמו לב שמדובר בנוסחת כפל מקוצר. לכן:

$\ x^2-2x+1=(x-1)^2$

וכידוע, ביטוי ריבועי תמיד גדול או שווה לאפס.

[עריכה] דוגמה 2

הוכח כי עבור כל ערך של איקס הביטוי $\ -x^2+5x-7$ שלילי.

שוב, כדי לפתור שאלה זו מה שנעשה הוא ננסה לצייר את הפונקציה, וכך נוכיח את נכונות הטענה. בכדי לצייר את הפונקציה, אנו זקוקים לפרמטר $\;a$ (המקדם של ה- $\ x^2$ ) ולדיסקרימננטה. נבדוק את הפרמטרים:

$\ a=-1<0$ - שלילי.
$\ \Delta=5^2-4 \cdot (-1) \cdot (-7)=25-28=-3<0$ , כלומר הדיסקרימננטה שלילית גם כן.

משני נתונים אלו נוכל להסיק כי הפרבולה הפוכה, וכי אין לה נקודות חיתוך עם ציר ה- $\;x$ . נצייר:

נוכל לראות מהגרף כי גרף הפונקציה נמצא תמיד מתחת לציר ה- $\;x$ , כלומר תמיד שלילי. שוב, במונחים של משוואות, למשוואה הריבועית הזו אין אף פתרון. (בכך הוכחה הטענה)

הפרק הקודם:
אי שוויונות ממעלה ראשונה

אי שוויונות ממעלה שנייה
תרגילים

הפרק הבא:
אי שיויונות עם שורשים

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי שיויונות/אי שיויונות ממעלה שנייה

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

[עריכה] פתרון אי שוויונות ממעלה שנייה

[עריכה] השיטה לפתרון

[עריכה] אי-שוויונות ריבועיים מיוחדים

[עריכה] דוגמה 1

[עריכה] דוגמה 2

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא