מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי שיויונות/אי שיויונות ממעלה שלישית או יותר

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | אלגברה תיכונית | אי שיויונות(הופנה מהדף אלגברה תיכונית/אי שיויונות/אי שיויונות ממעלה שלישית או יותר)

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

[עריכה] אי שיויונות ממעלה שלישית או יותר

אי-שוויונות ממעלה הגבוהה ממעלה שנייה הם בדרך כלל קשים יותר. דרך הפתרון:

מעבירים את כל האיברים לאגף אחד בלבד. (בד"כ אי-שוויון מסוג כזה יינתן כבר במצב שבאגף אחד יש אפס)
מפרקים את הביטוי לגורמים ככל הניתן.
עורכים טבלה (זו השיטה העדיפה):
- הכותרות של השורות בטבלה הן כל אחד מהביטויים שהופיעו באי-שוויון לאחר הפירוק לגורמים.
- בכותרות העמודות יש לרשום את הערכים המאפסים כל אחד מהביטויים שהתקבלו, כאשר יש לשים גם עמודות בין תחום לתחום (עמודות נוספות בקצוות).
- רושמים בכל משבצת שנוצרה את סימן הערך- ( + או - או אפס).
- לבסוף מוסיפים שורה תחתונה שכותרתה- מכפלה, ומחשבים עבור כל עמודה את סימן המכפלה של כל המשבצות שבאותה עמודה- פלוס, מינוס או אפס.
- אם התבקשתם להראות מתי אי-השוויון גדול מאפס, יש לכתוב את התחומים בהם התקבלה מכפלה שהיא + (חיובית). אם התבקשתם להראות מתי אי-השוויון קטן מאפס, יש לכתוב את התחומים בהם התקבלה מכפלה שהיא - (שלילית). אם בנוסף התבקשתם להראות מתי זה שווה לאפס (לדוגמה גדול או שווה לאפס), אזי יש להוסיף את התחומים בהם התקבלה מכפלה 0.

[עריכה] דוגמה א'

$\ (x-1)(x^2-x-6) < 0$

$\ (x-1)(x^2-3x+2x-6) < 0$

$\ (x-1)[x(x-3)+2(x-3)] < 0$

$\ (x-1)(x+2)(x-3) < 0$

	$\ x<-2$	$\ -2$	$\ -2<x<1$	$\ 1$	$\ 1<x<3$	$\ 3$	$\ x>3$
$\ x-1$	$\ -$	$\ -$	$\ -$	$\ 0$	$\ +$	$\ +$	$\ +$
$\ x+2$	$\ -$	$\ 0$	$\ +$	$\ +$	$\ +$	$\ +$	$\ +$
$\ x-3$	$\ -$	$\ -$	$\ -$	$\ -$	$\ -$	$\ 0$	$\ +$
מכפלה	$\ (-)$	$\ 0$	$\ (+)$	$\ 0$	$\ (-)$	$\ 0$	$\ (+)$

התבקשנו להראות את ערכי X עבורם הביטוי קטן מ-0, ולכן אנו מחפשים מכפלה שלילית. לכן התוצאה היא:
$\ x<-2\quad or\quad 1<x<3$

[עריכה] דוגמה ב'

$\ (x^2-4x)(x^2-25) \ge 0$

$\ [x(x-4)][(x-5)(x+5)] \ge 0$

$\ x(x-4)(x-5)(x+5) \ge 0$

	$\ x<-5$	$\ -5$	$\ -5<x<0$	$\ 0$	$\ 0<x<4$	$\ 4$	$\ 4<x<5$	$\ 5$	$\ x>5$
$\ x$	$\ -$	$\ -$	$\ -$	$\ 0$	$\ +$	$\ +$	$\ +$	$\ +$	$\ +$
$\ x-5$	$\ -$	$\ -$	$\ -$	$\ -$	$\ -$	$\ -$	$\ -$	$\ 0$	$\ +$
$\ x+5$	$\ -$	$\ 0$	$\ +$	$\ +$	$\ +$	$\ +$	$\ +$	$\ +$	$\ +$
$\ x-4$	$\ -$	$\ -$	$\ -$	$\ -$	$\ -$	$\ 0$	$\ +$	$\ +$	$\ +$
מכפלה	$\ +$	$\ 0$	$\ -$	$\ 0$	$\ +$	$\ 0$	$\ -$	$\ 0$	$\ +$

התבקשנו להראות את ערכי X עבורם הביטוי גדול מ-0 או שווה לו, ולכן אנו מחפשים מכפלה חיובית (+) או אפס. לכן התוצאה היא:
$\ x \le -5\quad or\quad 0 \le x \le 4\quad or\quad x \ge 5$

הפרק הקודם:
אי שיויונות עם שברים

אי שיויונות ממעלה ממעלה שלישית או יותר
תרגילים

הפרק הבא:
הוכחת אי שיויונות

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי שיויונות/אי שיויונות ממעלה שלישית או יותר

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

[עריכה] אי שיויונות ממעלה שלישית או יותר

[עריכה] דוגמה א'

[עריכה] דוגמה ב'

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא