מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי שיויונות/אי שיויונות ממעלה ראשונה

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | אלגברה תיכונית | אי שיויונות(הופנה מהדף אלגברה תיכונית/אי שיויונות/אי שיויונות ממעלה ראשונה)

בדף זה תוצג דרך הפתרון של אי-שוויונות ממעלה ראשונה, וכן דרך הפתרון של מערכת אי-שוויונות.
שני הדברים חשובים ומהווים בסיס להמשך ההבנה של פרק האי-שוויונות.

תוכן עניינים

1 אי-שוויון בודד
- 1.1 דוגמה 1
- 1.2 דוגמה 2
2 מערכת של אי שוויונות
- 2.1 דוגמה 1
- 2.2 דוגמה 2

[עריכה] אי-שוויון בודד

שיטת הפתרון של אי-שוויונות כאלו היא זהה לשיטת הפתרון של משוואות, למעט ההבדל שצוין לעיל (כפל או חלוקה במספר שלילי הופכים את סימן אי-השוויון). דוגמאות:

[עריכה] דוגמה 1

$\frac{4(x+2)}{9}-\frac{17-2x}{36}<\frac{2x}{3}$

מכפילים במכנה המשותף-36. גם כאן אנו מכפילים במספר חיובי, ולכן אין צורך בשינוי הסימן.

$\ 16(x+2)-(17-2x)<24x$
$\Updownarrow$
$\ 16x+32-17+2x<24x$
$\Updownarrow$
$\ 18x+15<24x$
$\Updownarrow$
$\ 15<6x$
$\Updownarrow$
$\ 2.5<x$

כלומר עבור כל ערך שנציב במקום איקס שגדול מ-2.5, נקבל כי אי-השוויון הוא פסוק אמת.

[עריכה] דוגמה 2

$\frac{x+1}{2}-\frac{x-1}{3}<\frac{x+2}{6}$

מכפילים את אי-השוויון במכנה המשותף- 6. שימו לב- המכנה המשותף חיובי, ולכן סימן אי-השוויון נשאר כמות שהוא.

$\ 3(x+1)-2(x-1)<x+2$
$\Updownarrow$
$\ 3x+3-2x+2<x+2$
$\Updownarrow$
$\ x+5<x+2$
$\Updownarrow$
$\ 5<2$

כלומר לאי-שוויון זה אין פתרון עבור כל ערך של איקס. כלומר, לא משנה איזה ערך איקס נציב, אי השוויון לא יתקיים לעולם (וזאת משום שקיבלנו פסוק שקר- 5 לא קטן מ-2).

[עריכה] מערכת של אי שוויונות

ייתכנו מצבים, בהם תתבקשו לפתור מערכת של אי-שוויונות. במצב זה, יינתנו לכם 2 אי-שוויונות, כאשר ביניהם תבוא מילה: או (נקרא גם איחוד) או וגם (נקרא גם חיתוך). להלן השלבים בפתרון מערכת אי-שוויונות:

ראשית, יש לפתור כל אחד מאי-השוויונות הנתונים בנפרד, ולהגיע לאי-שוויון פשוט (איקס גדול או קטן מ-___).
שנית, יש לבדוק את הקשר הלוגי בין שני הביטויים:
- בקשר או, יש למצוא את התחום הכולל לשני האי-שוויונות הפשוטים (ראה קשרים לוגיים).
- בקשר וגם, יש למצוא את התחום המשותף לשני האי-שוויונות (קשרים לוגיים).
לבסוף יש לרשום את התשובה הסופית (התחום הנדרש).

כדי להקל על מציאת התחום הנדרש, ישנה שיטה. לפי שיטה זו, יש לשרטט בתחילה ציר מספרים אופקי. עליו, יש לשרטט את התחומים באופן הבא: משרטטים כל תחום בנפרד, כאשר תחום הכולל את הערך יסומן בעיגול מלא, לעומת תחום שאינו כולל את הערך שהוא יסומן בעזרת עיגול ריק. מלבד העיגולים, כמובן שיש לשרטט קווים היוצאים מהעיגולים, ואלו יסמנו את התחום (דוגמה בהמשך). עכשיו, למציאת הפתרון:
בקשר או, יש לחפש את הערכים עבורם יש קו אחד (או יותר). בקשר וגם יש לחפש את הערכים עבורם יש שני קווים (ולא פחות!).

[עריכה] דוגמה 1

נתונים שני האי-שוויונות הבאים:

$\left\{ \begin{matrix} \left(1\right) & 2x-6 & \ge & 0 \\ \left(2\right) & x-4 & < & 4 \end{matrix} \right.$

א. מצא את התחום המשותף (קשר וגם, חיתוך). ב. מצא את התחום הכולל (קשר או, איחוד).
ראשית, נפתור כל אחד מהאי-שוויונות בנפרד:

$\left\{ \begin{matrix} \left(1\right) & x & \ge & 3 \\ \left(2\right) & x & < & 8 \end{matrix} \right.$

כעת, נסמן את שני התחומים על אותו ציר מספרים:

כמו שצוין, התחום המשותף (וגם, חיתוך) הוא המקום בו ישנם שני קווים, כלומר במקרה שלנו התחום בין 3 (כולל) ל-8 (לא כולל). לכן התשובה לסעיף א' היא: $\ 3 \le x < 8$ .
התחום הכולל (איחוד, או) הוא המקום בו יש קו אחד, ובמקרה שלנו זה כל ציר המספרים, כלומר כל איקס (וזוהי התשובה לסעיף ב'). שימו לב- גם ב- $\;x=8$ יש קו אחד, ולכן גם הוא בתחום.

[עריכה] דוגמה 2

נתונים שני האי-שוויונות הבאים:

$\left\{ \begin{matrix} \left(1\right) & x & < & 6 \\ \left(2\right) & x+1 & < & 4 \end{matrix} \right.$

א. מצא את התחום המשותף (קשר וגם, חיתוך). ב. מצא את התחום הכולל (קשר או, איחוד).
ראשית, נפתור כל אחד מהאי-שוויונות בנפרד:

$\left\{ \begin{matrix} \left(1\right) & x & < & 6 \\ \left(2\right) & x & < & 3 \end{matrix} \right.$

כעת נסמן את שני התחומים על אותו ציר מספרים:

כמו שצוין, התחום המשותף (וגם) הוא המקום בו ישנם שני קווים, כלומר במקרה שלנו בכל איקס שקטן משלוש. כלומר התשובה לסעיף א' היא $\ x < 3$ .
התשובה לסעיף ב', כלומר שני אי-השוויונות בקשר של ואו היא המקום בו יש קו אחד או יותר, כלומר $\ x < 6$ .

הערה:
כאשר נתון אי-שוויון כפול בצורה הבאה: $\ -k<m<l$ ( $\;l$ , $\;k$ , ו- $\;m$ ייצגו משתנים או מספרים) יש להבין כי מדובר במערכת עם קשר לוגי וגם, ועל כן יש לפתור אותה כמו שפותרים מערכת רגילה. השוני הוא שלפני הפתרון יש להפריד את המערכת לשני אי שוויונות נפרדים רגילים וביניהם קשר וגם. בדוגמה שלנו:
$\ -k<m\$ וגם $\ m<l$ .