אלגברה לינארית/מבוא לשדות

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תוכן עניינים

[עריכה] מבוא

שדה, הוא מבנה אלגברי, המכיל קבוצה ושתי פעולות בינאריות על הקבוצה הזו.

[עריכה] הגדרה

תהי \mathbb{F} קבוצה, שמוגדרות עליה שתי פעולות, שתסומנה +_\mathbb{F}, *_\mathbb{F}

\mathbb{F} שדה ביחס לפעולות האלה, אם ורק אם מתקיימות התכונות הבאות:

  • חילוף: \forall a,b\in \mathbb{F}:a+_\mathbb{F}b=b+_\mathbb{F}a, a*_\mathbb{F}b=b*_\mathbb{F}a
  • קיבוץ: \forall a,b,c\in \mathbb{F}: (a+_\mathbb{F}b)+_\mathbb{F}c=a+_\mathbb{F}(b+_\mathbb{F}c), (a*_\mathbb{F}b)*_\mathbb{F}c=a*_\mathbb{F}(b*_\mathbb{F}c)
  • פילוג משמאל: \forall a,b,c\in \mathbb{F}:(a+_\mathbb{F}b)*_\mathbb{F}c=(a*_\mathbb{F}c)+_\mathbb{F}(b*_\mathbb{F}c)
  • קיימים 0_\mathbb{F}\ne 1_\mathbb{F}\in\mathbb{F}, המקיימים:
    • נייטרליות מימין: \forall a\in\mathbb{F}: a+_\mathbb{F}0_\mathbb{F}=a*_\mathbb{F}1_\mathbb{F}=a
    • נגדיות מימין: \forall a_\mathbb{F}\in\mathbb{F},\exists b\in\mathbb{F}:a+_\mathbb{F}b=0_\mathbb{F} וגם, \forall a\ne 0_\mathbb{F}\in\mathbb{F}, \exists b\in\mathbb{F}:a*_\mathbb{F}b=1_\mathbb{F}

הערה: הפעולות +_\mathbb{F}, *_\mathbb{F} נקראות בד"כ חיבור וכפל, ואיברי השדה 0_\mathbb{F},1_\mathbb{F} (שנראה בהמשך שהם יחידים) נקראים "הנייטרלי לחיבור" ו"הנייטרלי לכפל", או, אפס ואחד.

בהמשך, נסמן את +_\mathbb{F}, *_\mathbb{F}, 0_\mathbb{F}, 1_\mathbb{F} ב- + , * ,0,1 (כמובן, רק כאשר אין מקום לטעות)

במקום הסימן * לפעמים נרשום \cdot, ובד"כ אפילו נשמיטו לגמרי.

בגלל הקיבוץ, נשמיט את הסוגריים המציינות את סדר הפעולות כאשר יש כמה פעולות חיבור או כמה פעולות כפל, ואם יש גם חיבור וגם כפל בביטוי, ואין סוגריים, הכוונה לבצע קודם את הכפל.

[עריכה] תכונות

  • פילוג מימין: \forall a,b,c\in\mathbb{F}: a(b+c)=ab+ac
    • הוכחה: a(b + c) = (b + c)a = ba + ca = ab + ac
  • יחידות הנייטרלי: אם גם a וגם b נייטרלים לחיבור, או ששניהם נייטרלים לכפל, אזי a=b. הוכחה:
    • עבור נייטרלים לחיבור: a = a + b = b + a = b
    • עבור נייטרלים לכפל: a = ab = ba = b
  • נייטרליות משמאל:\forall a\in\mathbb{F}:0+a=a, 1a=a
    • הוכחה: 0 + a = a + 0 = a,1a = a1 = a
  • יחידות הנגדי לחיבור: יהי a ב-\mathbb{F} ויהיו b,c נגדיים לו לחיבור, אזי b=c
    • הוכחה: b = b + 0 = b + a + c = a + b + c = 0 + c = c
  • יחידות הנגדי לכפל: יהי 0\ne a\in\mathbb{F}, ויהיה b,c נגדיים לו לכפל, אזי b=c
    • הוכחה: b = b1 = bac = abc = 1c = c

סימון: יהיו a,b איברים ב-\mathbb{F}, הנגדי ל-a לחיבור יסומן − a, b + − a יסומן ב-b − a, ואם a\ne0, הנגדי ל-a לכפל, יסומן a − 1

  • נגדיות לחיבור משמאל: יהי a\in\mathbb{F}, אזי − a + a = 0
    • הוכחה: − a + a = a + − a = 0
  • נגדיות לכפל משמאל: יהי 0\ne a\in\mathbb{F}, אזי a − 1a = 1
    • הוכחה: a − 1a = a * a − 1 = 1
  • סימטריות הנגדי: מתכונות הנגדי משמאל, נקבל שלכל a\in\mathbb{F}, מתקיים − ( − a) = a, ואם a\ne 0, אז (a − 1) − 1 = a
  • איפוס הכפל באפס: לכל a\in\mathbb{F}, 0a = a0 = a
    • הוכחה: 0a = 0a + 0 = 0a + 0a + − (0a) = (0 + 0)a + − (0a) = 0a + − (0a) = 0, והשוויון השני מוכח ע"י החילוף.
  • שימור הנגדי לחיבור ע"י הכפל: לכל a,b\in\mathbb{F}, ( − a)b = a( − b) = − (ab)
    • הוכחה: ab + ( − a)b = (a + − a)b = 0b = 0', וע"פ הגדרת נגדי, − (ab) = ( − a)b. הכיוון השני מוכח ע"י החילוף.
  • אין מחלקי אפס: לכל a,b\in\mathbb{F}, אם ab=0 אז a=0 או b=0.
    • הוכחה: נניח בשלילה ab=0,a\ne 0,b\ne 0 אזי קיים b − 1 נכפול בו מימין, ונקבל a = 0b − 1 = 0, בסתירה.
  • אין נגדי לכפל לאפס: לכל a\in\mathbb{F}, 0a\ne 1
    • הוכחה: 0a=0\ne 1
  • פילוג הנגדי לכפל מעל הכפל: לכל 0\ne a,b\in\mathbb{F}, (ab) − 1 = a − 1b − 1
    • הוכחה: (ab) − 1 מוגדר, כי ab\ne 0 .(ab)(a − 1b − 1) = a * a − 1 * b * b − 1 = 1 * 1 = 1, ולכן, ע"פ הגדרת הנגדי לכפל, (ab) − 1 = a − 1b − 1

[עריכה] דוגמאות

  • \mathbb{N} אינו שדה ביחס לחיבור ולכפל הרגילים, כי לא קיים בו איבר נייטרלי לחיבור.
  • \mathbb{Z} אינו שדה ביחס לחיבור ולכפל הרגילים, כי ל-2 אין נגדי לכפל.
  • \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C} הם שדות ביחס לחיבור ולכפל הרגילים.
  • \mathbb{Q}[\sqrt{5}]=\{a+b\sqrt{5}|a,b\in\mathbb{Q}\} הוא שדה ביחס לחיבור ולכפל הרגילים.
  • לכל p\in\mathbb{N} ראשוני, \mathbb{Z}_p=\{x\in\mathbb{Z}|0\leq x<p\} שדה ביחס לחיבור a\oplus b=(a+b)\pmod{p} ולכפל a\otimes b=ab\pmod{p}
  • \mathbb{R} שדה ביחס לחיבור a\oplus b=\sqrt[3]{a^3+b^3} ולכפל הרגיל

[עריכה] תת שדה

יהי \mathbb{F} שדה, ו-\mathbb{H}\subseteq\mathbb{F} תת-קבוצה שלו.

אם \mathbb{H} שדה ביחס לפעולות המוגדרות ב-\mathbb{F}, אזי אומרים ש-\mathbb{H} תת-שדה של \mathbb{F}

[עריכה] מאפיין של שדה

[עריכה] כפל במספר טבעי

יהי \mathbb{F} שדה, a\in\mathbb{F} ו-n\in\mathbb{N}. אזי na מוגדר בצורה הבאה: na=\left\{\begin{matrix} a, & n=1 \\ (n-1)a+a, & n>1 \end{matrix}\right.

[עריכה] הגדרת המאפיין

יהי \mathbb{F} שדה, ויהי n המספר הטבעי הקטן ביותר המקיים n1_\mathbb{F}=0_\mathbb{F} המאפיין של \mathbb{F} מוגדר להיות char(\mathbb{F})\equiv n. אם לא קיים n כזה, char(\mathbb{F})\equiv 0. לדוגמא, בשדה השלמים מודולו p ראשוני - p הוא המאפיין של השדה.

[עריכה] תכונות

המאפיין של שדה הוא תמיד או 0 או מספר ראשוני.

יהי \mathbb{H} תת-שדה של \mathbb{F}. אזי char(\mathbb{F})=char(\mathbb{H})

יהי \mathbb{F} שדה. אם char(\mathbb{F})=0 ,אז \mathbb{Q} תת-שדה של \mathbb{F}, ואם לא, אז \mathbb{Z}_{char(\mathbb{F})} תת-שדה של \mathbb{F} (עד כדי שינוי שמות האיברים.


מקור: http://he.wikibooks.org/wiki/%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%94_%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA/%D7%9E%D7%91%D7%95%D7%90_%D7%9C%D7%A9%D7%93%D7%95%D7%AA