אלגברה לינארית/העתקות לינאריות

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תוכן עניינים

[עריכה] הגדרה

יהיו V,W מרחבים וקטוריים מעל \mathbb{F}, ותהי T:V\rightarrow W פונקציה. T תיקרא העתקה לינארית אמ"מ מתקיימים התנאים הבאים:

  • אדיטיביות: \forall u,v\in V:T(u+v)=T(u)+T(v)
  • הומוגניות: \forall \alpha\in\mathbb{F},u\in V:T(\alpha u)=\alpha T(u)

[עריכה] קריטריון מקוצר

תהי T:V\rightarrow W פונקציה. T היא ה"ל אמ"מ \forall u,v\in V,\alpha\in\mathbb{F};T(u+\alpha v)=T(u)+\alpha T(v)

הוכחה: אם T ה"ל, אזי T(u + αv) = T(u) + T(αv) = T(u) + αT(v)

בכיוון ההפוך, אם תנאי זה מתקיים, נקבל:

  • T(u + v) = T(u + 1v) = T(u) + 1T(v) = T(u) + T(v)
  • T(\vec 0_V)=T(\vec 0_V+(-1)\vec 0_V)=T(\vec 0_V)-T(\vec 0_V)=\vec 0_W\Rightarrow T(\alpha u)=T(\vec 0_V+\alpha u)=\vec 0_W+\alpha T(u)=\alpha T(u)

[עריכה] תכונות

תהי T:V\rightarrow W ה"ל, אזי:

  • מהוכחת הקריטריון המקוצר, נובע: T(\vec 0_V)=\vec 0_W
  • שמירה על צירופים לינאריים: T(\sum_{i=1}^n \alpha_iu_i)=\sum_{i=1}^n \alpha_iT(u_i)
    • הוכחה: T(\sum_{i=1}^n \alpha_iu_i)=\sum_{i=1}^n T(\alpha_iu_i)=\sum_{i=1}^n \alpha_iT(u_i)

[עריכה] פעולות על העתקות

תהיינה T,S:V\rightarrow W ה"ל, ו-\alpha\in\mathbb{F}. אזי:

  • סכום העתקות, יוגדר בצורה הבאה: T+S=\lambda u\in V : (T(u)+S(u))\in W
  • מכפלת העתקה בסקלר, תוגדר כך: \alpha T=\lambda u\in V : (\alpha T(u))\in W

קל לראות, ש-αT,T + S גם הן העתקות לינאריות מ-V ל-W.

מתכונות מרחבים וקטוריים, אפשר לראות שקבוצת ההעתקות הלינאריות מ-V ל-W מהווה מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}. קבוצה זו, תסומן Hom(V,W)

[עריכה] הרכבה

יהיו V,W,U מרחבים וקטוריים מעל \mathbb{F}, ותהיינה T:V\rightarrow W, S:W\rightarrow U העתקות לינאריות.

ההרכבה ST=\lambda u\in V : S(T(u))\in U, גם היא העתקה לינארית. נוכיח זאת לפי הקריטריון המקוצר:

יהיו u,v\in V, \alpha\in\mathbb{F}. אזי ST(u + αv) = S(T(u + αv)) = S(T(u) + αT(v)) = S(T(u)) + αS(T(v)) = ST(u) + αST(v)

[עריכה] גרעין

תהי T:V\rightarrow W ה"ל. הגרעין של T, יוגדר להיות: \operatorname{Ker}(T)=\{u\in V| T(u)=\vec 0_W\}\subseteq V.

הגרעין של העתקה ליניארית, הוא תת מרחב של המקור. הוכחה: נבדוק ע"פ הקריטריון המקוצר:

  • T(\vec 0_V)=0_W\Rightarrow \vec 0_V\in\operatorname{Ker}(T)\Rightarrow\operatorname{Ker}(T)\ne\empty
  • \forall \alpha\in\mathbb{F}, u,v\in\operatorname{Ker}(T):T(u+\alpha v)=T(u)+\alpha T(v)=\vec 0_W+\alpha\vec 0_W=\vec 0_W\Rightarrow (u+\alpha v)\in\operatorname{Ker (T)}

האפסיות של T, תוגדר להיות \nu T=\operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(T))

[עריכה] תמונה

תהי T:V\rightarrow W ה"ל. התמונה של T תוגדר להיות:

\operatorname{Im}(T)=\{T(u)|u\in V\}=\{w\in W|\exists u\in V:T(u)=w\}\subseteq W

הגרעין של העתקה לינארית, הוא מרחב וקטורי. הוכחה, ע"פ הקריטריון הקצר:

  • T(\vec o_V)\in\operatorname{Im}(T)\Rightarrow\operatorname{Im}(T)\ne\empty
  • \forall \alpha\in\mathbb{F}, w_1,w_2\in\operatorname{Im}(T),\exists u_1,u_2\in V:T(u_1)=w_1,T(u_2)=w_2\Rightarrow w_1+\alpha w_2=T(u_1)+\alpha T(u_2)=T(u_1+\alpha u_2)\in\operatorname{Im}(T)

הדרגה של T, תוגדר להיות \operatorname{rank}(T)=\operatorname{dim}(\operatorname{Im}(T))

[עריכה] משפט המימד על העתקות

תהי T:V\rightarrow W העתקה לינארית, כאשר V נוצר סופית. אזי \operatorname{rank}(T)+\nu(T)=\operatorname{dim}(V)

הוכחה: נסמן n=\operatorname{dim}(V), k=\nu(T). צריך להוכיח \operatorname{rank}(T)=n-k

יהי A = {u1,...,uk} בסיס ל-\operatorname{Ker}(T). אזי A בת"ל ב-V. מכיוון שכל קבוצה בת"ל מוכלת בבסיס, קיימת קבוצה B = {u1,...,un} שהיא בסיס ל-V.

נסמן C = {T(uk + 1),...T(un)}. אזי \# C=n-k

יהי \sum_{i=k+1}^n \alpha_iT(u_i)=\vec 0_W צירוף ליניארי של C, המתאפס.

אזי (כי ה"ל שומרת על צירופים לינאריים): T(\sum_{i=k+1}^n \alpha_iu_i)=\vec 0_W

לכן, \sum_{i=k+1}^n \alpha_iu_i\in\operatorname{Ker}(T).

בגלל שבסיס הוא קבוצה פורשת, קיימים סקלרים המקיימים \sum_{i=1}^k \beta_iu_i=\sum_{i=k+1}^n \alpha_iu_i, כלומר, \sum_{i=1}^k \beta_iu_i+\sum_{i=k+1}^n 0u_i=\sum_{i=1}^k 0u_i+\sum_{i=k+1}^n \alpha_iu_i

בגלל יחידות ההצגה לפי בסיס, נקבל \forall k<i\le n:\alpha_i=0. לכן, C בת"ל.

יהי x\in\operatorname{Im}(T). אזי \exists v\in V:T(v)=x

בגלל שבסיס פורש, קיימים סקלרים המקיימים v=\sum_{i=1}^n \alpha_iu_i

נקבל: x=T(v)=T(\sum_{i=1}^n \alpha_iu_i)=T(\sum_{i=1}^k \alpha_iu_i)+T(\sum_{i=k+1}^n\alpha_iu_i)=\vec 0_W+\sum_{i=k+1}^n \alpha_iT(u_i)=\sum_{i=k+1}^n \alpha_iT(u_i)\in\operatorname{span}(C).

לכן, C פורשת את \operatorname{Im}(T), ומכיוון שהיא בת"ל, היא בסיס לה.

לכן, \operatorname{rank}(T)=\operatorname{dim}(\operatorname{Im}(T))=\# C=n-k. מש"ל


מקור: http://he.wikibooks.org/wiki/%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%94_%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA/%D7%94%D7%A2%D7%AA%D7%A7%D7%95%D7%AA_%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%AA